高中数学 2.5.1《平面几何中的向量方法》课件 新人教A版必修4
D
C
A
a
B
|AB|2＝|a|2， |AD|2＝|b|2． 遇到有关长度的问题时，我们 常常需要考虑向量的数量积．
D
解： |AC|2＝AC·AC ＝(a＋b)·(a＋b) b
C
A
a
B
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b
＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
同理 |BD|2＝|a|2－2a·b＋|b|2 ．
所以
由于向量a，b不共线， n－m＝0 n＋ m-1 ＝0 2 1 ． 解得：n＝m＝ 3
E
R
T B
A
1 AC， 所以AR＝ 3 1 AC， 同理TC＝ 3 于是RT＝ 1 AC， 3 第三步：[向量和数到形] 故AT＝RT＝TC．
D E R
F T
C
A
B
已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线； 求证：AD、BE、CF交于一点．
D
C
已知点A(1，0)，直线l：y=2x－6，点R是直线l 上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x1，y1)
则RA＝(1-x1，-y1)，AP＝(x-1，y)， 由RA＝AP得(1-x1，-y1) ＝2(x-1，y)，
即x1＝-2x+3，y1＝-2y
代入直线l的方程得 y＝2x． 所以，点P的轨迹方程为 y＝2x．
|AC|2 ＋|BD|2＝2(|a|2＋|b|2) ＝2(|AB|2＋|AD|2) ．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等问题； 3) 把运算结果“翻译”成几何元素． 可简单的表述为： [形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形]
例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D
猜想： AR＝RT＝TC
F T
C
E
R
A
B
解：第一步：[形到向量]
设 AB＝a，AD ＝b， AR＝r，AT ＝t， 则 AC＝a＋b．
第二步：[向量的运算] 由于AR与AC共线，
用向量法证明：三角形三条高线交于一点．
证明：设H是高线BE、CF的交点， 且设AB＝a，AC＝b，AH＝h， 则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a． A F H E
因为BH⊥AC，CH⊥AB．
所以( h－a )·b＝ ( h－b )·a ＝0． 化简得 h·( a－b )＝0 AH⊥BC． 所以，三角形三条高线交于一点． B
证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE． 易知△GDE∽△GAB，DE＝ 1 AB． A 2 所以，BG＝ 2 BE． 3 CG＝CB+BG ＝CB+ 2 BE F 3 G 2 ( 1 CA- CB) ＝CB+ 3 2 ＝ 1 ( CB+CA) B D 3
E
C
已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线； 求证：AD、BE、CF交于一点． 即CG ＝ 1 ( CB＋CA) 3 又因为CF＝ 1 (CB＋CA)． 2 所以CG＝ 2 CF， 3 因此C、G、F三点在同一直线上． 所以，AD、BE、CF交于一点． B
A(x1，y2)，B(x1，y2)， C(x1， x +x +x y +y +y ( 1 2 3， 1 2 3 ) y2)，则重心G的坐标为____________________． 3 3 解：设原点为O，则 OG＝OA＋ AG ＝OA＋ 2 AD 3 ＝OA＋ 1 ( AB＋AC ) 3 ＝OA＋ 1 ( OB－OA＋OC－OA) 3 ＝ OA＋OB＋OC 3
D
F T B
C
故设r = n ( a + b )，n∈R．
又因为ER与EB共线，
E
R
A
所以设ER＝m EB＝m ( a－ 1 b )， 2
因为AR＝AE＋ER， 所以 r ＝ 1 b ＋ m ( a－ 1 b )， 2 2 因此 n ( a + b )＝ 1 b ＋ m ( a－ 1 b )， 2 2 即(n－m)a ＋ ( n + m-1 )b＝0 D F C 2
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何 模型．如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ AC＝AB＋AD， DB＝AB－AD．
猜想：长方形对角线的 长度与两条邻边长度之间有 何关系？
D
C
类比猜想：平行四 A 边形有相似关系吗？
B
分析：不妨设 AB＝a，AD ＝b． 则 AC＝a＋b， DB＝a－b． b
第二章 平面向量
第五节 平面向量应用举例
第一课时 平面几何中的向量方法
因为有了运算，向量的力量无限，如 果不能运算，向量只是示意方向的路标． 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几 何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、 长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出 来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些 问题．
△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中 点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b． (1) 用a、b表示向量AO． (2) 证明A、O、E三点在同一直线上，且有 AO ＝ BO ＝ CO ＝2 OE OF OD
四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝h，DA ＝h，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试判断四边形 ABCD的形状．
参考答案： 四边形ABCD为矩形．
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高中数学必修四人教版2.5.1平面几何中的向量方法7ppt课件
2
设AC a b, DB a b, AB
a , AD
2
2
b .
2
AC
2
AC AC (a b) (a b)
2
D
2
C
a aa bb ab b a
同理
2 2
2a b b
2
BD = a -2a b b AC
2 2
由(1)+ 2 得，
A
2 2 2
B
2
BD =2( a b ) 2( AB AD )
即平行四边形两条对角线的方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
又因为
1 EB AB AE a b, 2
1 ER mEB m(a b ), 2
ER与EB共线，所以，我们设
因为AR AE ER,
所以
1 1 r b m（a b） , 2 2
因此
1 1 n(a b) b m（a b） , 2 2
即
m 1 （n-m)a (n )b 0 2
解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题；
设AB a， AD=b ， AR=r ，则AC a b.
D E A R
F
C
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题；
T
设AC a b, DB a b, AB
a , AD
2
2
b .
2
AC
2
AC AC (a b) (a b)
2
D
2
C
a aa bb ab b a
同理
2 2
2a b b
2
BD = a -2a b b AC
2 2
由(1)+ 2 得，
A
2 2 2
B
2
BD =2( a b ) 2( AB AD )
即平行四边形两条对角线的方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
又因为
1 EB AB AE a b, 2
1 ER mEB m(a b ), 2
ER与EB共线，所以，我们设
因为AR AE ER,
所以
1 1 r b m（a b） , 2 2
因此
1 1 n(a b) b m（a b） , 2 2
即
m 1 （n-m)a (n )b 0 2
解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题；
设AB a， AD=b ， AR=r ，则AC a b.
D E A R
F
C
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题；
T
高中数学《2.5.1平面几何中的向量方法》 新人教A版必修4
A C a b ,D B a b
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思考3：AB=2,AD=1,BD=2,用向量语言怎样表述?
D
a 2 ,b 1 ,a b 2 b
A
a
C B
思考4：利用
2
AC
AC 2,若求
A
C
需要解决什么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题?
思考5：利用 a 2 ,b 1 ,a b 2 ,如何求a b ?
A C 等于多少？
cosA ab 4 | a|| b| 5
A
ab
D
E
B
C
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理论迁移
例1 如图，在平行四边形ABCD中,点E、F分别是
AD、DC的中点,BE、BF分别与AC相交于点M、N,
试推断AM、MN、NC的长度具有什么关系,并证明
你的结论.
文件名
结论:AM=MN=NC
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例2 如图，△ABC的三条高分别为AD,BE, CF,作DG⊥BE,DH⊥CF，垂足分别为G、H， 试推断EF与GH是否平行.
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思考3 以a , b 为基底,向量BE,CD如何表示?
BE
1 b
a
2
CD 1 a b 2
A
ab
D
E
B
C
思考4 将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论?
a b 5 2(a 2 b 2 )
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思考5：因为△ABC是等腰三角形，则 a b ,结 合上述结论 a b 5 2 ( a 2 b 2 ) ,c o s A 等于多少?
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第26期作业 P113 习题2.5 A组 1，2 B组 3
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高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法课件 新人教A版必修4
算、向量模的公式：|a|＝___x_2_＋__y_2__.
目 2．直线的方向向量和法向量
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量为 (1，k) ，法向量为(k，－1) ．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 (B，－A) ，法向量为
(A，B) .
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角
开本 关课
时 栏 目
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，则称 向量 v 为直线 l 的方向向量． 对于任意一条直线 l：y＝kx＋b，在它上面任取两点 A(x0，y0)， B(x，y)，则向量A→B＝(x－x0，y－y0)与直线 l 共线，即A→B为直 线 l 的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝x－1 x0(1，xy－ －yx00)＝ x－1 x0(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而
栏
目 综上所述，直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量为 v＝(B，－A)．
例如：已知直线 l：2x－y＋1＝0，下列向量： ①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝－12，－1；④v4＝(－2，
－4)．其中能作为直线 l 方向向量的有：_①__③__④___.
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 的法向量：如果向量 n 与直线 l 垂直，
则称向量 n 为直线 l 的法向量．因此若直线的方向向量为 v，
则 n·v＝0.从而对于直线 Ax＋By＋C＝0 而言，其方向向量为 v
开本 关课
＝(B，－A)，则由于 n·v＝0，于是可取 n＝(A，B)，这时因为
高一数学人教A版必修4课件：2.5.1 平面几何中的向量方法(1)
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹
角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
明目标、知重点
b → → → a → → → 又DE＝DA＋AE＝－a＋2，AF＝AB＋BF＝b＋2，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
2 a b 1 3 b → → 2 b ＋ － a ＋ 所以AF· DE＝ · ＝－ a － a· b＋ 2 2 2 4 2
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
a· b (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝|a||b＝ | x1x2＋y1y2 2 2 2 2 . x1＋y1 x2＋y2
(4) 求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线 性运算、向量模的公式：|a|＝
x2＋y2 .
明目标、知重点
预习导学
[预习导引] 1.向量方法在几何中的应用
预证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线) 的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向
量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a· b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
预习导学
∴F(－2－ 3，1)，
挑战自我，点点落实
→ ∴AF＝(－1－ 3，0)，
→ 3＋ 3 1＋ 3 AE＝ ，－ 2 2
《平面几何中的向量方法》新人教数学A版必修四课件
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
C B
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题；
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.
5. 求模：
a aa
a x2 y2
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
a x2 y2
a ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
练习
教材P.106练习第1、2、3题. 教材P.107练习第1、2题.
讲授新课
例1. 已知AC为⊙O的一条直径， ∠ABC为圆周角. 求证：∠ABC＝90o.
讲解范例：
例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC 的三条高. 求证： AD，BE，CF相交于一点.
A
F
E
H
B
2013-2014学年高中数学人教A版必修四课件2.5.1平面几何中的向量方法
探究（一）：推断线段长度关系
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已
知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的
长是否确定？
D
C
思等考于什2：么设？向向量量AuuBurDuAu=Bura等，Auu于Dur 什=Bb么，？则向量
uuur AC
uuur AC
=a+b,
uuur DB
=a-b
思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论: a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0 推出c·(a－b)＝0？
思考6：你能用其它方法证明三角形的三
条高线交于一点吗？
A
E F
P
B
D
C
探究（三）：计算夹角的大小
思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分 别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE， 你认为∠A的大小是否为定值？
a
-b
B
C
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得 什么结论？
a·b = 25（a2＋b2）
思考5：因为△ABC是等腰三角形，则
|a|=|b|，结合上述结论:
a·b
=
2 5
(a2＋b2
),cosA等于多少？
A
cos A
=
a ×b | a || b
|
=
4 5
ab
D
E
B
C
理论迁移
例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、 F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC 相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的长 度具有什么关系，并证明你的结论.
怎样表述？
高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解 决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
uuur 则AC
r a
r b.
由于 AuuRu与r 共AuuCur线，故设
r r
r n(a
r b),
n
R，
因为
uuur EB
uuur AB
uuur AE
r a
1ห้องสมุดไป่ตู้
r b,
又因为 EuuRur与共EuuBu线r ， 2
所以设
uuur ER
uuur mEB
m(ar
1
r b).
uuur uuur uuur 2
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几 何问题. 2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题. 3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、 角度、垂直等问题.(重点、难点）
探究一：（长度问题）
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关 系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方 和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
型，如图，AuuCur
uuur AB
uuur AD,
uuur DB
uuur AB
uuur AD,
你能发现平行
四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
uuur r uuur r
解：设 AB a, AD b，
uuur r r uuur r r
2.5.1 平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解 决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
uuur 则AC
r a
r b.
由于 AuuRu与r 共AuuCur线，故设
r r
r n(a
r b),
n
R，
因为
uuur EB
uuur AB
uuur AE
r a
1ห้องสมุดไป่ตู้
r b,
又因为 EuuRur与共EuuBu线r ， 2
所以设
uuur ER
uuur mEB
m(ar
1
r b).
uuur uuur uuur 2
1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几 何问题. 2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题. 3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、 角度、垂直等问题.(重点、难点）
探究一：（长度问题）
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关 系？
提示：对角线长度的平方=两邻边的平方 和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
型，如图，AuuCur
uuur AB
uuur AD,
uuur DB
uuur AB
uuur AD,
你能发现平行
四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
uuur r uuur r
解：设 AB a, AD b，
uuur r r uuur r r
高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法课件2新人教A版必修4
4、丰富和发展了对研究平面几何问题方法的认识．
作业： 1、课时作业23； 2、《45分钟》第28课时；
3、阅读课本P114的阅读材料．
思考
注：基底的选择将直接影响证明的难易，学会恰当地选 择基底需要较多的实践．
内部文件，请勿外传
谢谢！请您多提宝贵意见！
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
2.5.1 平面几何中的向量方法
例1
例1变式一பைடு நூலகம்——利用向量求长度
演示
例1变式二 ——利用向量求角度
方法总结
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量的问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、
夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系．
例2 ——利用向量求角度
例3 ——利用向量证明垂直关系
演示
练习
1、求证：直径所对的圆周角为直角．
2、求证：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边 平方和的两倍．
小结与作业
小结： 1、总结出了用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”； 2、体验了向量的工具性作用及其优越性； 3、感悟了数学中的数形结合思想、转化化归思想；