第二课时 函数的概念(二)
函数的概念及其表示第二课时参考教学方案
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．PPT课件．一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念（1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3v 3； （3）y ＝x 2；（4）m ＝n 2n．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（1）f(x)＝14x＋7；（2）f(x)＝1－x＋x＋3－1．设计意图：考查函数定义域的求解．2．已知函数f(x)＝3x3＋2x，（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．设计意图：通过函数求值问题发现函数的一些性质，可为后面学习函数性质积累素材．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；。
第二课时 函数的概念(二)
索引
题型一 区间的应用
例1 把下列数集用区间表示： (1){x|x<0}； (2){x|－1<x<1}； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}. 解 (1){x|x<0}＝(－∞，0)； (2){x|－1<x<1}＝(－1，1)； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].
索引
题型三 求函数的值域
例 3 求下列函数的值域： (1)y＝ x－1；(2)y＝2xx－＋31； 解 (1)(直接法)∵ x≥0， ∴ x－1≥－1， ∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－ x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，所以 y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
索引
题型四 抽象函数的定义域
例4 设函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义 域. 解 ∵函数f(x)的定义域是[－1，3]， ∴要使函数g(x)有意义， 则－ －11≤ ≤2xx－＋11≤≤33，，解得 0≤x≤1. 故函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义域为[0，1].
A.f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
B.f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
C.f(x)＝xx2＋－11，g(x)＝x－1
D.f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
解析 对于 A 项，g(x)＝ x2＝|x|与 f(x)＝|x|定义域、对应关系分别对应相同，是
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：3.1.1 函数的概念(第二课时)
§3．1．1 函数的概念（第二课时）导学目标：1．了解构成函数的三要素，能求具体函数及抽象函数的定义域． 2．了解构成函数的三要素，理解函数值域的含义，能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域；（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x ()1f x -=①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ．（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域． （2）求函数21()x f x --=的定义域．【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． （2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？）（3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()f x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域．【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．（2）求函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的值域．§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考答案（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？ 【答案】（1）[)0,+∞（2）()1f x x =-，[)1,+∞（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域； 【答案】要使函数有意义，应有504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩即541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是[)()()54411-----+∞，，,．（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x x =，则函数()11f x x -=-，我们可有如下结论：①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ． 【答案】[)1,+∞（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？ 【答案】{}033x x x N ≤≤∈且 【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？【答案】 令2t x =，由x R ∈，可得0t ≥，223y t t =--，0t ≥；前后函数自变量改变，相应的取值范围也改变．题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域．（2）求函数()f x =的定义域．【答案】（1）11|22x x x ⎧+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}|13x x x <>或；【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域． 【答案】（1）[]0,4 （2）[]2,2- （3）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）13,212x x -≤≤∴-≤-≤，故()f x 的定义域为[2,2]-， 所以令2212x -≤+≤，解得3122x -≤≤， 故()21y f x =+的定义域是31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． 【答案】[1,1]-由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-．（2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域． 【答案】[)(]2,11,1---；函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x -≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-． ∴()()21f xg x x =+的定义域为[)(]2,11,1---．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．【答案】{}026t t ≤≤题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．高中数学必修第一册- 11 -【答案】（1）{}0,2,3（2）[)2,+∞，{}6,3,2，[)2,11（3）(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域． 【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．【答案】（1）[)4,5- （2）1(,]2-∞ （3）[4,)+∞（2）()()224321f x x x x =-+=--，因为1-≤x ≤1，所以3-≤x −2≤1-，所以1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数()[]243,1,1f x x x x =-+∈-的值域为[0，8]．函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2112,02t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()12g x x x =--的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）()()()2212111124111x x x h x x x x x -+-+===-++≥---．当且仅当x ＝2时“＝”第三章 函数的概念与性质- 12 -成立，故函数()2(1)1x h x x x =>-的值域为[)4,+∞．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R 【答案】B2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域． 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥．∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞)．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．高中数学必修第一册- 13 -()f x 的定义域是[0,2]，且11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩则13,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 即1322x ．()g x ∴的定义域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．【答案】 [2,2]-（2）求函数()3f x x =在区间[]2,4上的值域．【答案】12,4⎤-⎦t =,则26x t =- ∵[]2,4x ∈,2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t tt =--=+-其对称轴16t =-, 故得()f x 的值域为12,4⎤-⎦．。
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
《函数》第二课时教学设计(精品课)
板书设计
4
Ⅲ．课堂过关检测
检测题目
1.在△ABC 中， 它的底边长是 10，面积 s 与底边上的高 h 的变化关系式 s= 变量， ，其中常量是 是 ，变量是 ， 是自 设计意图 第 1，2 题检查学生对函数 定义的掌握情况.
的函数；当 h=3 时，面积 s=______． ）
２．指出下列变化关系中， y 是 x 的函数是（
x
Ⅱ．教学过程设计
问题及师生行为 一、创设问题，探究新知 【问题 1】.票房收入问题： 每张电影票的售价为 10 元. （1）若一场售出 150 张电影票，则该场的票房收入是 （2）若一场售出 205 张电影票，则该场的票房收入是 （3）若设一场售出 x 张电影票，票房收入为 y 元，则 y= 小结：票房收入随售出的电影票数变化而变化，即 y 随 【问题 2】2.行程问题： 汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时.请根据 题意填表： t(时) 1 2 120 3 180 10 600 元； 元； ． 的变化而变化； 设计意图 问题引入， 为 新知作好铺垫． 由教师引导 , 学生观察得出结 论． 体现学生为主 体， 教师为主导的 关系．
（1）对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应吗？ （2）y 是 x 的函数吗？为什么？ 答：不是，因为 y 的值不是唯一的． 2．求下列函数中自变量 x 的取值范围： （1） y＝3x； （2） y＝x2＋9； （3） y=
8 ； x3
（4） y ＝ 2 x 8 ．
分析：如何确定自变量的取值范围？ 在二次根号中要使得被开方数≥0；在分母中要使得分母不等于 0； 在整式中自变量的取值范围都是任何实数； 在实际应用题中，还要考虑自变量的实 际意义． 五、指导应用，发展能力 1．求下列函数中自变量 x 的取值范围 ： （1）y = 学生通过对 例题的学习， 再做 （2）y = x2-x-2； 一些相应的练习， 巩固和掌握本节
2020高一数学新教材必修1教案学案-3.1.2-函数的概念及表示(第二课时)(解析版)
函数的概念（第二课时）运用一列表法【例1】设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：则f(g(3))等于( )A．1 B．2C．3 D．不存在【解析】由表格可知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝3。
故选C。
【触类旁通】、1．（2019·广东高一月考）已知函数f(f)与f(f)的定义如图所示，则方程f(f(f))= f+1的解集是（）A．{1}B．{1,2}C．{1,2,3}D．f【答案】A【解析】∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，f（g（1））=2，f（g（2））=2，g（2））=3，∴只有f（g（1））=2满足，因此方程f(f(f))=f+1的解集是{1}．故选：A．、2．（2019·遵义航天高级中学高一月考）给出函数f(f)，f(f)如下表，则f(f(f))的值域为（）A．{1,3} B．{1,2,3,4} C．{4,2} D．{1,2,3}【解析】f (f (1))=f (1)=4,f (f (2))=f (1)=4,f (f (3))=f (3)=2,f (f (4))=f (3)=2,所以值域为{4,2}，选C.运用二 解析法【例2】根据条件求下列各函数的解析式：`（1）已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式；（2）若1)f x =+()f x 的解析式为（3）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（4）已知()f x 满足()12+=3f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f x 的解析式. 【答案】（1）2()2(2f x x x =-≥或2)x ≤-；（2）2()1(1)f x x x =-≥ ；（3）()=2 +7f x x ；（4） ()()120f x x x x=-≠. 【解析】（1）由于2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2()2f x x =-，由于0x >时，12x x +≥；0x <时，12x x+≤-； ！故()f x 的解析式是2()2f x x =- （2x ≥或2x -≤).（2）)21)11f x =+=-令()11t t =≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选C.（3）因为()f x 是一次函数，可设()f x ax b =+ (0a ≠)，所以有3[(1)]2[(1)]217a x b a x b x ++--+=+，即(5)217ax a b x ++=+，因此应有2517a ab =⎧⎨+=⎩，解得27a b =⎧⎨=⎩.故()f x 的解析式是()27f x x =+.（4）因为12()3f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，①将x 用1x 替换，得132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，② 由①②解得1()2f x x x =- (0x ≠)，即()f x 的解析式是1()2f x x x=- (0x ≠). 【触类旁通】%1．(1)已知3311f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x ； (2)如果11x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则当0x ≠且1x ≠时，求()f x ； (3)已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；(4)已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()21f x f x ⎛=⎝，求()f x ． 【答案】(1) 3()3f x x x =-(2x -或2x ≥)； (2) 1()(10)1f x x x x =≠≠-且； (3)()27f x x =+； (4) 1()(0)3f x x =>。
函数的概念(第二课时)教案(人教A版)
1.2.1 函数的概念第二课时 函数概念的应用A 【教学目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
B 【教学重难点】教学重点能熟练求解常见函数的定义域和值域．教学难点对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．C 【教学过程】1、创设情境下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？（1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2；（3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1 求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ； （2）232531x x y -+-=；分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解 ： （1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ，故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．变式练习1求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0；（2）x x x y 12132+--+=．解 （2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x <0，且x ≠1-}． （4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0， 故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明：若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f ：AB 而言，如果如果值域是C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f (x )=( x -1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1}点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．变式练习2 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5； （2）113+-=x x y ；解：（1）2)2(2+-=x y ． 作出函数642+-=x x y ，1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．（2）解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 解法二：把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得(y －3)x ＋(y ＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －3≠0，－y ＋1y －3≠－1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．4、 课堂小结（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．。
函数的概念和图象(2)_韦余玲
2.1.1函数的概念和图象（2）教学背景：1．面向学生：高中2．学科：数学教材分析:函数一章在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数的思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。
本小节介绍了函数概念和图象，我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。
这里我仅谈函数概念的教学。
函数的概念部分用三个实际例子设计数学情境，让学生探寻变量和变量的对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数的概念，体验结合旧知识，探索新知识，研究新问题的快乐。
教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重、难点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学方法：采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索新知识。
教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3求下列函数的值域：①y＝；②y．例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．教学反思：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，还可以让学生先复习初中学习过的函数概念，并用课件进行模拟实验，画出某一具体函数的图像，在函数的图像上任取一点P，测出点P的坐标，观察点P 的坐标横坐标与纵坐标的变化规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二课时函数的概念(二)课标要求素养要求1.会判断两个函数是否为同一函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域.1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养.2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.新知探究设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.问题1如何表示列车的运行速度的范围？提示我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200<v<350，用集合可表示为{v|200<v<350}.问题2还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？提示还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.1.区间注意区间端点的开闭设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ] {x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a }(a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，a ] {x |x <a } (－∞，a )R(－∞，＋∞)2.同一个函数 函数的三要素完全相同 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数.3.常见函数的值域(1)一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ， 当a >0时，值域为⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞， 当a <0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a .拓展深化[微判断]1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√)2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×)提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y ＝1＋x 2的值域为(1，＋∞).(×) 提示 y ＝1＋x 2的值域为[1，＋∞). [微训练]1.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )x x<22≤x≤3x>3y －10 1A.{y|－1≤y≤1}C.{y|2≤y≤3}D.{－1，0，1}解析由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.答案 D2.区间[1，2)表示的集合为________.解析根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}.答案{x|1≤x<2}3.已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1，1，3}，则定义域A为________. 解析函数f(x)＝2x－3的值域为{－1，1，3}，令f(x)分别等于－1，1，3，求出对应的x分别为1，2，3，则由x组成的集合{1，2，3}，即为定义域A.答案{1，2，3}[微思考]1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？提示不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.2.区间与集合有什么联系？提示区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.题型一区间的应用【例1】把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].规律方法用区间表示数集的方法：(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【训练1】(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.解析(1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).答案(1)[0，2)∪(2，＋∞)(2)(－1，＋∞)题型二同一函数的判断【例2】(1)下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).其中表示同一函数的是________(填序号).解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；②f (x )与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；⑤f (x )与g (x )的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 答案 ⑤(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否为同一函数，并说明理由.解 不相同.对于函数y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数. 规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) A.y ＝1，y ＝xxB.y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4C.y ＝|x |，y ＝(x )2D.y ＝x ，y ＝3x 3(2)下列各组函数是同一函数的是________(填序号).①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.解析 (1)A ，B ，C 中的两函数定义域均不相同，故选D. (2)①f (x )＝－x－2x ，g (x )＝x－2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.答案 (1)D (2)②③ 题型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝x －1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y ＝2x ＋1x －3； (4)y ＝2x －x －1.解 (1)(直接法)∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴y ＝x －1的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x ∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x 代入y ＝x 2－2x ＋3得y ＝11，6，3，2，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2（x －3）＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (4)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.规律方法求函数值域的常用方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.【训练3】求下列函数的值域：(1)y＝16－x2；(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；(3)y＝xx＋1；(4)y＝2x＋41－x.解(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤16－x2≤4，即函数y＝16－x2的值域为[0，4].(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].(3)(分离常数法)∵y＝xx＋1＝1－1x＋1，且定义域为{x|x≠－1}，∴1x＋1≠0，即y≠1.∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y∈R，且y≠1}.(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象可得函数的值域为(－∞，4].一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.3.同一函数的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.二、素养训练1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为()A.(5，9)B.[5，9]C.{5，7，9}D.{5，6，7，8，9}解析由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.答案 C2.已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1.其中是同一函数的是()A.没有B.仅有②C.有②④D.有②③④解析对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.答案 C3.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1)解析因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<1x2＋1≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.答案 C4.下列函数中值域为(0，＋∞)的是()A.y＝xB.y＝1 xC.y＝1x D.y＝x2＋1解析y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，故选B.答案 B5.将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x＝0或1≤x≤5}；(3){x|x＝3或4≤x≤8}；(4){x|2≤x≤8且x≠5}；(5){x|3<x<5}.解 (1){x |x <2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.(2){x |x ＝0或1≤x ≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②. (3){x |x ＝3或4≤x ≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.(4){x |2≤x ≤8且x ≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④. (5){x |3<x <5}用区间表示为(3，5)；用数轴表示如图⑤.图⑤基础达标一、选择题 1.函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是( ) A.[－2，2) B.[－2，2)∪(2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(2，＋∞)解析 x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，即x ≥－2，且x ≠2.∴函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞).故选B.答案 B2.下列各组函数为同一函数的是( ) A.f (x )＝x ，g (x )＝x 2x B.f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0C.f(x)＝（x）2x，g(x)＝x（x）2D.f(x)＝x2－9x＋3，g(x)＝x－3解析 A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.答案 C3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A.1B.0C.－1D.2解析∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.答案 A4.函数y＝x－1x＋1(x≥0)的值域为()A.[－1，1)B.[－1，1]C.[－1，＋∞)D.[0，＋∞)解析由题知y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1＋－2x＋1.∵x≥0，∴x＋1≥1，∴0<1x＋1≤1，∴－2≤－2x＋1<0，∴－1≤1＋－2x＋1<1.∴函数y＝x－1x＋1的值域为[－1，1).故选A.答案 A5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )A.10个B.9个C.8个D.4个解析 由2x 2－1＝1，得x 1＝1，x 2＝－1；由2x 2－1＝7，得x 3＝－2，x 4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.答案 B二、填空题6.下列各对函数中是同一函数的是________(填序号).①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析 ①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数.答案 ②④7.函数y ＝6－x |x |－4的定义域用区间表示为________. 解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6].答案(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]8.在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________.解析由题意知，当x∈[－2，1]时，f(x)＝－1；当x∈(1，2]时，f(x)＝x2－2∈(－1，2].所以当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－1，2].答案[－1，2]三、解答题9.求下列函数的值域：(1)y＝5x＋4 x－1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝2－－x2＋4x.解(1)y＝5x＋4x－1＝5（x－1）＋9x－1＝5＋9x－1，且9x－1≠0，∴y≠5，∴函数的值域是{y|y≠5}.(2)令t＝1－2x(t≥0)，∴x＝－12t2＋12，∴y＝－12t2－t＋12＝－12(t＋1)2＋1，当t≥0时，y≤12，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(3)y＝2－－x2＋4x＝2－－（x－2）2＋4，∵0≤－（x－2）2＋4≤4＝2，所以y＝2－－x2＋4x的值域为[0，2].10.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32，是否存在实数m ，使得函数的定义域和值域都是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解 存在.理由如下：f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x －1)2＋1的对称轴为x ＝1，顶点(1，1)且开口向上.∵m >1，∴当x ∈[1，m ]时，y 随x 的增大而增大，∴要使f (x )的定义域和值域都是[1，m ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （m ）＝m ，∴12m 2－m ＋32＝m ，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝3或m ＝1(舍)∴存在实数m ＝3满足条件.能力提升11.已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )，则f (g (x ))＝________. 解析 f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1） ＝2－x 2x 2(x ≠0).答案 2－x 2x 2(x ≠0)12.对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }.(1)求证：A ⊆B ；(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1，3}，求集合B .(1)证明 若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立.若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ，从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立.(2)解 因为A ＝{－1，3}，所以f (－1)＝－1，且f (3)＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a ＋b ＝－1，32＋3a ＋b ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，3a ＋b ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝x 2－x －3. 因为B ＝{x |f (f (x ))＝x }，所以(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ，所以(x 2－x －3)2－x 2＝0，即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0，所以(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＝±3或x ＝－1或x ＝3.所以B ＝{－3，－1，3，3}.创新猜想13.(多空题)若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________.解析 对∀x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.②由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0.答案 2 014.(多空题)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________.解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.答案[－2，4]∪[5，8][－4，3]。