大学理论力学 平面图形上各点的加速度分析

n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时

分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB

式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2


aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
研究AB杆：
n / 30 60 / 30 2 rad/s
v A OA 15 2 30 cm/s
P1
AB
P１为其速度瞬心

AB
vA
2 v A / AP 1 30 / 3 15 rad/s 3
ae aA ;
n a r a BA a BA a BA
aa aB ;
于是,由牵连平动时加速度合成定理 a a a e a r 可得如下公式：
n aB aA aBA aBA
a BA
n aB a A aBA aBA
aBA
aB
a
n BA
其中： a BA
a B aB / BP2 131 . 5 / 15 8 . 77 rad/s
2
[例4] 曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以等角速度 0绕 O轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角 加速度a AB
A
90o
0
O
30o
B
vA
A
90o
解： 1、确定连杆的角速度：
0

vB
3 cm/s
v B BP1 AB 2 3 15
2 3
20
取A为基点，
a A OA 2 15 ( 2 ) 2 60 2 cm/s
n a B a A a BA a BA
2
a
n BA
AB AB
2
3 15 (
O
AB
vA
30o
以A为基点，
vB
B
vBA
v A r 0 ,
v AB v A tan30 r0 tan30
v AB l r l
AB
0 tan30

0
3
A
90o
0
aA AB O
a
an
30o
BA
3 2、加速度分析
AB
0
BA
aB aA
根据加速度合成定理
时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．
（3）由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故
常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度． [例1] 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 v O 及加速度 a O ,求车轮与轨道接触点P的加速度．

n a P a O a PO a PO 分析： √ Ｒa Ｒ 2 大小：？ √ √ √ 方向： ？
杆OA的角加速度为： a OA a e 2 v 2
OB l
(1)一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点． (2)一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关
系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度
( a A ) AB ( a B ) AB
若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 ( a A ) AB ( a B ) AB 即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬
AB
a ，方向AB，指向与a 一致；
aA
n a BA AB 2，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕
基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度
的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。 上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求
n n ( a B ) AB ( a B ) AB ( a A ) AB ( a A ) AB 即 ( a A ) AB ( a B ) AB
O 2 B 2 cos O 2 B a 2 sin O1 A 1 cos O1 A a 1 s in
OA
ve OB v l
D
aOA
O l
所以，OA杆的角速度为：
OA
v E
加速度分析 a a a en a e a r a c 式中： a a a B a c 2 OA v r 0 将上式投影到BD轴上
aa ae


2
ae aB
2v 2 l
7.3 平面图形上各点的加速度分析
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度a A 和图形 aBA 的 , a（某一瞬时）。 aB aBA 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。 aA 取A为基点，将平动坐标系固结于A点 n aBA 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．
τ n 出其余两个。由于 a BA , a BA 方位总是已知，所以在使用该公式
中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。
二．加速度瞬心． τ n 由于 a BA , a BA 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以 在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 a QA 大小恰与基点 A的加速度 a A等值反向，其绝对加速度 a Q 0 Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．等于零，即它不是加速度
瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加
速度指向轮心．
[例2] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，a1和a2是否相等？

n aA
vA aA
n aB
a vB
B
(a) 解：(a) AB杆作平动， v A v B ,
2
n aA
vA
a A
n aB
1 v A / O1 A v B / O 2 B
a BA a B
对AB杆，以A为基点求B点的加速度
n n n a B a B a A a A a BA a BA
vB (b)
n aA
a A
n 式中 a BA 0 将上式投影到AB轴上，有：
45
a BE
aB
n aBE
D
v B BE l v
以E为基点，求滑块B的加速度aB
n a B a E a BE a BE
l
BE
v E l
aE 0

n 2 a BE BE BE
2v 2 l
OA
2v l
2
将上式投影到BE轴上：
a B cos45 a
B
A点的加速度
a A r 0
2
以A为基点，求B点的加速度：
aB a A aBA aBA ＋ ＋ n
2
a BA a AB l

a BA AB AB
n
2 l 0
l 0 9
2
将加速度合成定理中各项向AB方向投影
a B cos 30 ＝ a
n AB

,
9
aB
2 3 27

2 a r0 BA
3 27
2 0
2 l0 (r
3 27
2 l )0
a AB
(
3 3
-
3 27
)

8 3 27
0
2
[例5]图示平面机构，滑块B可沿杆AB滑动，杆BE与BD分别与滑 块B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨 向上运动，杆BE长为 2 l ；图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角 为 45 。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。 解： BE杆作平面运动， 先求滑块B的速度和加速度。 BE杆的速度瞬心为O点 BE v l A vB B
vO R
)2
vO R
y
a
a O P
n aP O
a PO R a a O ,

aO
2 vo
x
n 将 a P a O a PO a PO 分别投影到x、y轴上，有：