第四章 热传导问题的数值解法
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传热学第四章 热传导问题的数值解法
y 其中，规定：导入元体（ m,n ）的热 流量为正；导出元体（ m,n ）的热流 量为负。 在未知温度高低的情况下一律以周围 节点或流体温度都高于该节点温度来 列方程。
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
x
2014年5月14日10时21分
杨祥花
说明： ① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进 行的； ② 热平衡法概念清晰，过程简捷； ③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程 一致，但不同的是前者是有限大小的元体， 后者是微元体。
控制容积：节点代表的区域
n
y
y x
x
m
2014年5月14日10时21分 杨祥花
M
河海大学常州校区热能与动力工程系—传热学
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有：
2014年5月14日10时21分
杨祥花
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量 的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上 的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物 理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物 理量的数值解。
2014年5月14日10时21分
杨祥花
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c 一、问题提出
1、对于一维稳态导热，可用理论法求解
2、若 H 不满足，二维导热，如图 3、二维稳态无内热源的导热微分方程式 2t 2t 2 0 2 x y （ a）
热传导-热传导问题的数值解法
章名：热传导 节名：热传导问题的数值解法 视频知识点名称：导热问题数值求解的基本思想
1. 基本思想
传热学 Heat Transfer
分析解： 对导热微分方程在定解条件下的积分求解
数值解： 用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度 的集合代替连续的温度场，用大量的代数方程代替 微分方程
连续
离散
微分方程
8
传热学 Heat Transfer
5. 解的分析 温度场、热流密度分布等 热流量（或热流密度） 热应力分析 肋片效率
……
9
传热学 Heat Transfer
后 续 重 点 学 习 内 容
10
章名：热传导 节名：热传导问题的数值解法 视频知识点名称：内节点离散方程的建立
传热学 Heat Transfer
x
m,n
2t x 2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
o(x4 )
3
传热学 Heat Transfer
tm1,n
tm,n
t x
m,n
x
2t x2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
o(x4 )
t m 1, n
tm,n
t x
分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
5
传热学 Heat Transfer
2.2 数值解
近似解 弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问
题更显其优越性，原则上可以求解一切导热问题。 2D、3D、复杂几何形状、复杂BC、物性不均匀等
与实验法相比成本低
1. 基本思想
传热学 Heat Transfer
分析解： 对导热微分方程在定解条件下的积分求解
数值解： 用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度 的集合代替连续的温度场，用大量的代数方程代替 微分方程
连续
离散
微分方程
8
传热学 Heat Transfer
5. 解的分析 温度场、热流密度分布等 热流量（或热流密度） 热应力分析 肋片效率
……
9
传热学 Heat Transfer
后 续 重 点 学 习 内 容
10
章名：热传导 节名：热传导问题的数值解法 视频知识点名称：内节点离散方程的建立
传热学 Heat Transfer
x
m,n
2t x 2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
o(x4 )
3
传热学 Heat Transfer
tm1,n
tm,n
t x
m,n
x
2t x2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
o(x4 )
t m 1, n
tm,n
t x
分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
5
传热学 Heat Transfer
2.2 数值解
近似解 弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问
题更显其优越性，原则上可以求解一切导热问题。 2D、3D、复杂几何形状、复杂BC、物性不均匀等
与实验法相比成本低
传热学-第四章22
50 × 0.02 Bi1 = = = 0.01 λ 100
hδ
400 × 0.02 Bi 2 = = =1 λ 8
hδ
第四章 热传导问题数值解法
(i ) N
式中 Fo∆ =
a∆τ 网格傅里叶数 ∆x 2
h∆τ λ ∆τ h∆x = = Fo∆ ⋅ Bi∆ 2 ρc∆x ρc ∆x λ
( ( ( ) t Ni +1) = t Ni ) (1 − 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ − 2 Fo∆ ) + 2 Fo∆ t Ni −1 + 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ t f
∆τ
从第二式得出
∂t ∂τ
=
n ,i
( ( t ni ) − t ni −1)
∆τ
+ O ( ∆τ ) ≈
( ( t ni ) − t ni −1)
∆τ
difference。 向后差分 back difference。
∂t 二级数相减： 二级数相减： ∂τ
( ( ( ( t ni +1) − t ni −1) t ni +1) − t ni −1) 2 = + O(∆τ ) ≈ 2∆τ 2∆τ
n ,i
( 显式格式
explicit finite difference scheme )
如扩散项用（ +1)时层的值来表示 如扩散项用（i+1)时层的值来表示
( ( ( ( ( tni +1) − tni ) tni++1) − 2tni +1) + tni−+1) 1 =a 1 ∆τ ∆x 2
（隐式格式 implicit finite difference scheme） ）
第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
热传导方程的建立、数值解法及应用
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的
Fourier定律：
热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两
u 侧的温度变化率 n 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所
以等式右边有个负号d.即q： k
2u y2 xix
ui, j1
2ui, j y2
ui, j1
O(y2 )
y jy
上式误差之所以为x2的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
u ui1, j =ui, j + x
xix
x
1 2!
2u x2
xix
x2 O(x2 )
y jy
y jy
同理：ui1, j =ui, j
uin, j,k (1 2rx
2ry
2rz ) rx (uin1, j,k
un i 1,
j,k
)
ry
(uin,
j 1,k
uin, j1,k ) rz (uin, j,k 1 uin, ) j,k 1
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。 • 第一种最简单，只要设定一个初始温度ui0, j ，之后的每一次迭代过程
热传导方程的数值 解法及应用
主讲人: 陈鹏
主要内容
1.热传导方程的建立 2.用有限差分法建立热差分模型 3.双层玻璃中的一维热传导 4.利用PDE工具箱设计面包烤盘 5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律
杨世铭《传热学》考研考点讲义
㊀３
辐㊀射㊀传㊀热
一 热辐射的基本概念 １ ． 电磁波谱 ２ ． 吸收、 反射、 透射 ３ ． 黑体的概念和作用 ４ ． 黑体辐射的基本定律 Ｓ ｔ ｅ ｆ ａ ｎ － Ｂ ｏ ｌ ｔ ｚ ｍ ａ ｎ ｎ 定律 Ｐ ｌ ａ ｎ ｃ ｋ 定律㊀㊀㊀ Ｗｉ ｅ ｎ 位移定律 Ｌ ａ ｍ ｂ ｅ ｒ ｔ 定律 ５ ． 实际物体的辐射吸收特性 漫射表面 灰体的概念 基尔霍夫定律 实际物体表面简化的可行性 ６ ． 温室效应 二 辐射传热的计算 １ ． 角系数 ２ ． 投入辐射、 有效辐射 ３ ． 任意两表面之间辐射传热 ４ ． 多表面系统辐射传热 表面辐射热阻和空间辐射热阻 画网络图的方法 表面净辐射传热量和任意两表面之间的辐射传热量 两种特殊情形 黑体、 重辐射面 ５ ． 遮热板 遮热板的工作原理 遮热板的应用： 如何进一步提高遮热板的遮热效果， 提高测温精度
换㊀热㊀器
一 传热过程的分析和计算 传热过程 总传热系数
㊀４
杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路
①传热过程的辨析 圆筒壁 ＼ 肋壁的传热 ②总传热系数的计算㊀㊀ 通过平壁 ＼ 强化传热的突破口㊀㊀ 强化传热应从热阻最大的环节入手 临界热绝缘直径 二 换热器的型式及平均温差 换热器的定义、 型式、 特点 简单顺流和逆流的平均温差的计算 简单顺流和逆流的定性温度分布 其它复杂流动布置的平均温差的计算 三 换热器的热计算 设计计算和校核计算 利用平均温差法进行换热器的设计计算 ①所依据的方程㊀㊀ ②步骤 １ ． Ｔ Ｕ法 －Ｎ ①有关概念㊀㊀㊀ ②与平均温差法比较 ２ ． 污垢热阻 二、 杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路课程安排 第一章 概论— — —１讲 第二章 稳态热传导— — —３讲 第三章 非稳态热传导— — —２讲 第四章 热传导问题的数值解法— — —２讲 第五章 对流传热的理论基础— — —２讲 第六章 单相对流传热的实验关联式— — —２讲 第七章 相变对流传热— — —２讲 第八章 热辐射基本定律和辐射特性— — —２讲 第九章 辐射传热的计算— — —２讲 第十章 传热过程分析与换热器的热计算— — —２讲 第十一章 传质学简介 三、 考试题型 名词解释 如： １ ． 大容器沸腾； ２ ． 流动边界层； ３ ． 辐射传热； ４ ． 传热过程； ５ ． 稳态温度场； 填空 如： 第一类边界条件是㊀㊀㊀㊀㊀㊀。
辐㊀射㊀传㊀热
一 热辐射的基本概念 １ ． 电磁波谱 ２ ． 吸收、 反射、 透射 ３ ． 黑体的概念和作用 ４ ． 黑体辐射的基本定律 Ｓ ｔ ｅ ｆ ａ ｎ － Ｂ ｏ ｌ ｔ ｚ ｍ ａ ｎ ｎ 定律 Ｐ ｌ ａ ｎ ｃ ｋ 定律㊀㊀㊀ Ｗｉ ｅ ｎ 位移定律 Ｌ ａ ｍ ｂ ｅ ｒ ｔ 定律 ５ ． 实际物体的辐射吸收特性 漫射表面 灰体的概念 基尔霍夫定律 实际物体表面简化的可行性 ６ ． 温室效应 二 辐射传热的计算 １ ． 角系数 ２ ． 投入辐射、 有效辐射 ３ ． 任意两表面之间辐射传热 ４ ． 多表面系统辐射传热 表面辐射热阻和空间辐射热阻 画网络图的方法 表面净辐射传热量和任意两表面之间的辐射传热量 两种特殊情形 黑体、 重辐射面 ５ ． 遮热板 遮热板的工作原理 遮热板的应用： 如何进一步提高遮热板的遮热效果， 提高测温精度
换㊀热㊀器
一 传热过程的分析和计算 传热过程 总传热系数
㊀４
杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路
①传热过程的辨析 圆筒壁 ＼ 肋壁的传热 ②总传热系数的计算㊀㊀ 通过平壁 ＼ 强化传热的突破口㊀㊀ 强化传热应从热阻最大的环节入手 临界热绝缘直径 二 换热器的型式及平均温差 换热器的定义、 型式、 特点 简单顺流和逆流的平均温差的计算 简单顺流和逆流的定性温度分布 其它复杂流动布置的平均温差的计算 三 换热器的热计算 设计计算和校核计算 利用平均温差法进行换热器的设计计算 ①所依据的方程㊀㊀ ②步骤 １ ． Ｔ Ｕ法 －Ｎ ①有关概念㊀㊀㊀ ②与平均温差法比较 ２ ． 污垢热阻 二、 杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路课程安排 第一章 概论— — —１讲 第二章 稳态热传导— — —３讲 第三章 非稳态热传导— — —２讲 第四章 热传导问题的数值解法— — —２讲 第五章 对流传热的理论基础— — —２讲 第六章 单相对流传热的实验关联式— — —２讲 第七章 相变对流传热— — —２讲 第八章 热辐射基本定律和辐射特性— — —２讲 第九章 辐射传热的计算— — —２讲 第十章 传热过程分析与换热器的热计算— — —２讲 第十一章 传质学简介 三、 考试题型 名词解释 如： １ ． 大容器沸腾； ２ ． 流动边界层； ３ ． 辐射传热； ４ ． 传热过程； ５ ． 稳态温度场； 填空 如： 第一类边界条件是㊀㊀㊀㊀㊀㊀。
《传热学》课程教学大纲-蔡琦琳
《传热学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标(-)总体目标：《传热学》是研究由温差引起的热能传递规律的科学，是建筑环境与能源应用工程专业的一门基础课程和学位课程。
在制冷、热能动力、机械制造、航空航天、化工、材料加工、冶金、电子与电气和建筑工程等生产技术领域中存在大量的传热问题，课程旨在使学生掌握传热的基本概念、基本原理和计算方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识，并能熟练运用基础知识来思考、分析和解决实际传热问题。
(二)课程目标：本课程旨在使学生掌握热量传递的三种基本方式及其物理机制，掌握传热基础理论与计算方法；掌握传热学的基本实验，具备分析工程传热问题的能力，能够解决增强传热、削弱传热和温度控制等工程传热问题；了解传热学的前沿知识及其在科学技术领域的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及团队合作意识。
课程目标1：系统深入学习，掌握传热基础理论与计算方法。
1.1 掌握传热的基本概念、理论、机理及影响因素；1.2 掌握热传导、热对流和热辐射三种传热模式的基本公式，能够进行各种工况下传热量的计算，并能对工程传热问题进行描述和分析。
课程目标2：掌握传热实验，应用传热学知识，解决工程传热问题。
2.1 掌握传热学中的实验研究方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识。
2.2 根据所学传热理论和实验知识，熟练掌握增强或削弱热能传递过程的方法，能够在工程应用中对热能有效利用、热力设备效率的提高、节能降耗技术等问题从传热学角度进行思考、分析和解决问题。
课程目标3：培养学生的自主学习意识、团队合作能力、口头和书面表达能力，探索传热学前沿科学知识。
3.1 通过课堂分组讨论等方式培养团队合作意识、沟通交流能力和对工程问题进行清清晰表达的能力；3.2 通过课外文献调研并撰写课程报告，提升文献查阅能力和书面表达能力。
(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章结论1 .教学目标（1）了解传热的定义；了解传热学的研究内容及其在生活和工程中的应用；（2）掌握热量传递的三种基本方式及其物理机理；（3）掌握傅里叶定律、牛顿冷却定律及斯忒藩定律，并能应用这三个定律分析基础传热问题；（4）了解传热过程的特点以及电.热模拟的作用和意义；（5）掌握热流密度、热阻和综合传热系数的计算方法。
第4章-热传导问题的数值解法(1)
y 2
y 2
m,n
将差分表达式代入控制方程
2t x 2
2t y 2
0
得:
tm1,n
tm1,n x2
2tm,n
tm,n1
tm,n1 y 2
2tm,n
0
如果 x y 则有:
tm,n
1 4
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
第4章 热传导问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想 4.2 内节点离散方程的建立方法 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想 4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
返回
4.1.1 基本思想
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小 的面积。对该外部节点元体应用能量平衡
y
2
tm1,n tm,n x
x tm,n1 tm,n 2 y
xy 4
.
m,n
x y 2
qw
0
如 x y ，则有：
在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：
返回
4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
n
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
在空间-时间坐标系中对所研究的空间区域 和时间区域进行离散
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上的标号m、n来表示。
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
集中参数法 Bi数Fo数的影响
1
引述
对于工程中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问 题，由于数学上的困难目前仍为得到其分析解。
随着计算机技术的迅猛发展，对物理问题进行离散求解的 数值方法发展十分迅速，在求解复杂导热问题上得到了广 泛应用。
N n
1
tm,n 4 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
m,n
△y △x
上式即为△x=△y时位于计算区域内
M
m
部的节点（内节点）的代数方程。
19
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
5
导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想
基本思想： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热
物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求 解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散 点上被求物理量的值。
这些被求物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的 导热问题为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
h2
t tf
y
0,
t y
h1
t tf
y
W
,
t y
h3
t tf
11
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
12
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
需要掌握的概念：
1、节点（结点，node） 2、步长（step length） 3、均分网络 4、元体（element ）或 M 控制容积（control volume）
13
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
节点 N
n m,n
△y
△x
m
1、节点（结点）：用一系 列与坐标平行的网格线把求 解区域划分成许多子区域， 以网格线的交点作为需要确 定温度值的空间位置，称为 节点（也称为结点，node） M 节点位置以该点在两个方向
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
22
导热问题数值求解的基本思想
求解代数方程组
W
h3,tf
t0 y
N n △y
x h1,tf
m,n
△x
m
左图中，除m=1的左边界
上各节点的温度为已知外，
h2,tf 其余（M-1）×N个M-1）×N个代数方程，
构成了一个封闭的代数方
是不均匀的。
M
16
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
4、元体（element）或控制容积 （control volume）
每个节点按都可以看做是以它为 中心的一个小区域的代表，它由 相邻两节点连线的中垂线构成。 这样节点所代表的小区域称为元 M 体或控制容积。
17
W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
8
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
9
导热问题数值求解的基本思想
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程：描写物理问题的微分方程。
程组。
M
23
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否
是否收敛
是 解的分析
24
导热问题数值求解的基本思想
讨论是否收敛
是否收敛的判断是指判断本次迭代计算所得之解与上一次 迭代计算所得之解的偏差时候小于允许值。 代数方程一经建立，其中各项的系数在整个求解过程中不 再变化，称为线性问题。 如果物性为温度系数，在迭代过 程中系数要相应地不断更新。这种 问题称为非线性问题。
2
引言
数值方法主要有：有限差分法、有限元法及边界元法。 有限差分法具有物理概念明确、实施方法简便的特点。 本章以理论介绍为主，为今后数值计算（也称数值模拟）
做理论准备。
3
第四章 热传导问题的数值解法
主讲人：郭智群
4
目录
导热问题数值求解的基本思想 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
导热问题的控制方程即为导热微分方程。 二维、稳态、
无内热源、常物性的导热问题的导热微分方程为：
2t x 2
2t y 2
0
请同学写出边界条件
10
导热问题数值求解的基本思想
四个边界条件：
W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
x 0, t t0
x
H ,
t x
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
集中参数法 Bi数Fo数的影响
1
引述
对于工程中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问 题，由于数学上的困难目前仍为得到其分析解。
随着计算机技术的迅猛发展，对物理问题进行离散求解的 数值方法发展十分迅速，在求解复杂导热问题上得到了广 泛应用。
N n
1
tm,n 4 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
m,n
△y △x
上式即为△x=△y时位于计算区域内
M
m
部的节点（内节点）的代数方程。
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
5
导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想
基本思想： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热
物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求 解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散 点上被求物理量的值。
这些被求物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的 导热问题为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
h2
t tf
y
0,
t y
h1
t tf
y
W
,
t y
h3
t tf
11
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
需要掌握的概念：
1、节点（结点，node） 2、步长（step length） 3、均分网络 4、元体（element ）或 M 控制容积（control volume）
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
节点 N
n m,n
△y
△x
m
1、节点（结点）：用一系 列与坐标平行的网格线把求 解区域划分成许多子区域， 以网格线的交点作为需要确 定温度值的空间位置，称为 节点（也称为结点，node） M 节点位置以该点在两个方向
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
求解代数方程组
W
h3,tf
t0 y
N n △y
x h1,tf
m,n
△x
m
左图中，除m=1的左边界
上各节点的温度为已知外，
h2,tf 其余（M-1）×N个M-1）×N个代数方程，
构成了一个封闭的代数方
是不均匀的。
M
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
4、元体（element）或控制容积 （control volume）
每个节点按都可以看做是以它为 中心的一个小区域的代表，它由 相邻两节点连线的中垂线构成。 这样节点所代表的小区域称为元 M 体或控制容积。
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W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程：描写物理问题的微分方程。
程组。
M
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否
是否收敛
是 解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
讨论是否收敛
是否收敛的判断是指判断本次迭代计算所得之解与上一次 迭代计算所得之解的偏差时候小于允许值。 代数方程一经建立，其中各项的系数在整个求解过程中不 再变化，称为线性问题。 如果物性为温度系数，在迭代过 程中系数要相应地不断更新。这种 问题称为非线性问题。
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引言
数值方法主要有：有限差分法、有限元法及边界元法。 有限差分法具有物理概念明确、实施方法简便的特点。 本章以理论介绍为主，为今后数值计算（也称数值模拟）
做理论准备。
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第四章 热传导问题的数值解法
主讲人：郭智群
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目录
导热问题数值求解的基本思想 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
导热问题的控制方程即为导热微分方程。 二维、稳态、
无内热源、常物性的导热问题的导热微分方程为：
2t x 2
2t y 2
0
请同学写出边界条件
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导热问题数值求解的基本思想
四个边界条件：
W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
x 0, t t0
x
H ,
t x