人教版A版必修二第二章立体几何复习题及答案

１一、选择题1. 如图，在体积为1的三棱锥A BCD -侧棱A BA C A D ，，上分别取点E F G ，，，使21AE EB AF FC AG GD ===∶∶∶∶，记O 为三平面BCG CDE DBF ，，的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（ ）Ａ．19Ｂ．18Ｃ．17Ｄ．142.木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积是地球表面积的（ ） Ａ．60倍Ｂ．Ｃ．120倍Ｄ．3. 三棱锥P ABC -中，PA PB PC ，，互相两两垂直，且14PC PA x PB y x y ===+=，，，，则三棱锥P ABC -体积的最大值（ ）Ａ．1 Ｂ．13Ｃ．23Ｄ．不存在4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点所确定的过该直线的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．至多3个5. 异面直线a b a b c ，，⊥，与a 成30角，则c 与b 成角范围是（ ）Ａ．[6090]，Ｂ．[3090]，Ｃ．[60120]，Ｄ．[30120]，6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，表面的对角线与1AD 成60的有（ ） Ａ．4条Ｂ．6条Ｃ．8条Ｄ．10条7. 如果两面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到αβ，和棱l的距离分别为4和为（ ） Ａ．45或30Ｂ．15 或75Ｃ．30 或60Ｄ．15 或608. 下列四个命题，下确的结论个数有（ ）①若三条直线两两相交，则它们组成的图形为平面图形 ②一条直线和一个点确定一个平面 ③若四点不共面，则每三点一定不共线 ④三条平行线确定三个平面 Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 9. 下列命题中正确的是（ ）Ａ．两条直线可以确定一个平面 Ｂ．一组对边平行的四边形是平面图形 Ｃ．一个点与一条直线可以确定一个平面 Ｄ．两两相交的三条直线一定共面 10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ）①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行 ②平行于同一条直线的两条直线 ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a b ∥，c d ∥，且a d ∥，那么b c ∥ Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③ 11. 下列说法中错误．．的个数是（ ） ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面一点外有且只有一条直线和该平面平行 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3A EB FOCGD２12. 已知直线a ∥直线b ，b ∥直线c ，c ∥平面α，则（ ） Ａ．a α∥ Ｂ．a α⊂ Ｃ．a 与α相交 Ｄ．a α∥或a α⊂ 13. 能保证直线a 与平面α平行的条件是（ ）Ａ．a α⊄，b α⊂，a b ∥ Ｂ．b α⊂，a b ∥ Ｃ．b α⊂，c b ∥，a c ∥ Ｄ．b α⊂，A a ∈，B a ∈，C b ∈，D b ∈，且AC BD = 14. 下列四个命题中，不正确的命题是（ ）Ａ．如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直Ｂ．已知直线a ，b ，c ，a b ∥，c 与a ，b 都不相交，若c 与a 所成的角为θ，则c 与b 所成的角也等于θ Ｃ．如果空间四个点不共面，则四个点中可能有三个点共线Ｄ．若直线a ∥平面α，点P α∈，则过点P 作a 的平行线一定在α内 15. 下列命题中，正确的是（ ）Ａ．直线a ∥平面α，则a 平行于α内任何一条直线Ｂ．直线a 与平面α相交，则a 不平行于α内的任何一条直线 Ｃ．直线a 不平行于平面α，则a 不平行于α内任何一条直线Ｄ．直线a 不垂直于平面α内的某一条直线，则a 不垂直于α内任何一条直线二、填空题16. 已知m n ，是不同的直线，αβ，是不重合的平面，给出下列命题：① 若m n αβαβ⊂⊂，，∥，则m n ∥ ②若m n m n αββ⊂，，，∥∥，则αβ∥③若m n m n αβ⊥⊥，，∥，则αβ∥④m n ，是两条异面直线，若m m n n αβαβ，，，∥∥∥∥，则αβ∥ 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． 17. 若a b c a d b ∥，⊥，⊥，则c 与d 关系为 ．18. 正方形ABCD 中，E F ，分别是AB CD ，中点，沿EF 将正方形折成60的二面角，则异面直线FB 与AE 所成的角的余弦值是 ．19. 如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E F ， 分别是111AA A B ，的中点，则EF 与对角面11A C CA 所成角的度数是 ．20. 如图，在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，E ，F 分别是AB ，CD的中点，若EF =AD ，BC 所成的角为．21. 有以下命题，正确命题的序号是 ． ①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行； ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行； ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．三、解答题22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13454AC BC AB AA ====，，，，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证1AC BC ⊥；（Ⅱ）求证1AC ∥平面1CDB ； （Ⅲ）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．ＡＢＣＥＤ Ｆ 1A 1D 1C 1B Ｆ Ｄ ＡＥＢ Ｃ1C 1B 1A CDAB３23. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，DC =1AA =AD DC AC BC ⊥⊥，，垂足为E ．（Ⅰ）求证11BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．24. 已知：四边形ABCD 中，AB CD AB BC DC AD ∥，，，，（或其延长线）分别与平α相交于E F G H ，，，四点．求证：E F G H ，，，四点共线．25. 在空间四边形ABCD 中，E F ，分别为AB BC ，的中点．求证：EF 和AD 为异面直线．26. 如图，在二面角l αβ--中，A B C D l α∈∈，，，，ABCD 为矩形，P β∈，PA α⊥，且PA AD =，M N ，依次是AB PC ，的中点．（1）求二面角l αβ--的大小；（2）求证：MN AB ⊥；（3）求异面直线PA 与MN 所成角的大小．DβαＥ ＣＢＭ Ａ ＱＰ Ｎl1AA 1DD1BE1C C４27. 已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点且23CF CG CB CD ==，求证：EF ，GH ，CA 交于一点．28. 如图所示，P 是ABC △所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，已知PA BC m ==，PB AC =， （1）求证：MN 是AB 和PC 的公垂线；（2）当PA ，BC 成90角时，求AB 和PC 间的距离．29. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，11111AC B D O = ．求证：1OO ⊥平面ABCD ．30. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求1A B 与平面11A B CD 所成的角．ＣＭ ＢＰ ＮＣＯ1O 1D 1A 1C 1B DC BA1A1D 1C1BＯＣＢＡＤ５一、选择题1. Ｃ．2. Ｃ．3. Ｃ4. Ｄ5. Ａ 6. A 7. Ｂ8. Ａ9. Ｂ10. Ｂ11. Ｃ12. Ｄ13. Ａ14. Ｃ15. Ｂ二、填空题16. ③，④ 17. 平行、相交或异面．18.10． 19. 30 ． 20. 6021. ①② 三、解答题22. （Ⅰ）∵直三棱柱111ABC A B C -底面三边长345AC BC AB ===，，，AC BC ⊥∴，且1BC 在平面ABC 内的射影为BC ，1AC BC ⊥∴．（Ⅱ）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ．D ∵是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1DE AC ∴∥． DE ⊂∵平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB ．（Ⅲ）1DE AC ∵∥，CED ∠∴为1AC 与1B C 所成的角．在CED △中，11522ED AC ==，1522CD AB ==，112CE CB ==8cos 522CED ==∴ ∴异面直线1AC 与1B C23. （Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥∵底面ABCD ，AC ∴是1AC 在平面ABCD 上的射影．BD AC ⊥∵，1BD AC ⊥∴． （Ⅱ）连结1111A E C E AC ，，．与（Ⅰ）同理可证1BD A E⊥，1BD C E ⊥， 11A EC ∠∴_为二面角11A BD C --的平面角．AD DC ⊥∵，11190A D C ADC ∠=∠= ∴．又112A D AD ==，11D C DC ==，1AA =AC BD ⊥，11413AC AE EC ===，，∴112A E C E ==，∴在11A EC △中，2221111AC A E C E =+６1190A EC ∠= ∴,即二面角11A BD C --的大小为90 ．（Ⅲ）过B 作BF AD ∥交AC 于F ，连结1FC ，则1C BF ∠就是AD 与1BC 所成的角．21AB AD BD AC AE ==⊥=，，∵，212BF EF FC BC DC ====，，，∴，11FC BC ==∴．在1BFC △中，1cos C BF ==1C BF ∠=∴ 即异面直线AD 与1BC所成的角的大小为 24. 证明：如图，AB CD ∥， AB CD ∴，确定一个平面β．BC AD ββ∴⊂⊂，．又E F G H ，，，分别在AB BC CD AD ，，，上，E F G H β∴∈，，，；又E F G H α∈，，，．E F G H ∴，，，必在平面αβ，的交线上E F G H ∴，，，四点共线．25. 证明：如图，假设EF 和AD 在同1平面α内， 则A D E F α∈，，，； 又A E AB AB B αα∈∴⊂∴∈，，，，同理C α∈ 故A B C D α∈，，，，这与ABCD 是空间四边形矛盾． EF ∴和AD 为异面直线．26. （1）解：连结PD ，PA α ⊥，AD l ⊥， PD l ∴⊥， PDA ∴∠是二面角l αβ--的平面角．由PA AD =，有45PAD ∠=，故二面角l αβ--的大小为45 ．（2）证明：取CD 的中点为E ，连ME ，NE ，则EM AD ∥，EN PD ∥， CD ME ∴⊥，CD NE ⊥，CD ∴⊥平面MNE ，又AB CD ∥， AB ∴⊥平面MNE ，故AB MN ⊥，（3）解：取PD 中点为Q ，连QA ，QN ，则12QN CD∥，而12AM CD∥， QNMA ∴是平行四边形，AQ MN ∴∥，７PAQ ∴∠是异面直线PA 与MN 所成的角．PAD △为等腰直角三角形，AQ 为斜边上的中线， 45PAQ ∴∠= ，即PA 与MN 所成的角的大小为45 ．27. 证明：如图，连结BD ． EH ∵是ABD △的中位线，12EH BD ∴ ∥ 又23CF CG CB CD ==∵， 23FG BD ∴ ∥．EH FC ∴∥且EH FG <． ∴四边形EFGH 是一个梯形． 设EF 交GH 于P 点，EF ⊂∵平面ABC ，GH ⊂平面ACD ， P ∴是平面ABC 与平面ACD 的公共点．∴点P 在两平面的交线AC 上，即EF ，GH ，CA 三线交于一点．28. （1）证明：连结AN 和BN ，在PAC △和CBP △中，PA BC =，AC PB =，PC PC =，PAC CBP ∴△≌△．N ∵是公共边PC 的中点，AN BN ∴=． M ∵是AB 的中点， NM AB ∴⊥．同理MN PC ⊥．故MN 是AB 和PC 的公垂线．（2）解：取PB 的中点D ，连结DM ，DN ，于是DM PA ∥，且1122DM PA m ==，同理DN BC ∥，且1122DN BC m ==，于是MDN ∠是异面直线PA ，BC 所成的角， 90MDC ∴∠=．从而MN =，即AB 和PC．29. 证明：1111ABCD A B C D -∵为正方体，1AA AB ∴⊥，1AA AD ⊥．AB AD A = ∵，1AA ∴⊥平面AC ．11AA BB ∥∵，11BB CC ∥，11AA CC ∴ ∥．∴四边形11AA C C 为平行四边形． O ∵，1O 分别为AC ，11A C 的中点，11OO AA ∴∥，1OO ⊥平面AC ．30. 解：连结1BC 交1B C 于O ，连结1AO ，在正方体1111ABCD A B C D -中各个面为正方形，设其棱长为a ．11111111111111A B B C A B BCC B A B B B BC BCC B ⎫⎫⇒⎬⎪⎬⎭⎪⊂⎭平面平面⊥⊥⊥11111111A A B BC BC B CD BC B C ⇒⎫⇒⎬⎭平面⊥⊥ ⊥８1AO ⇒为1A B 在平面11A B CD 内的射影 1B AO ⇒∠为1A B 与平面11A B CD 所成的角．111111111Rt 21sin 23030.BAO A B OB a OB BAO A B BAO BAO A B A B CD ⎫==⎪⎪⎪⎫⇒==⎪⎪⇒=⎬⎬⎪⎪∠⎭⎪⎪⇒⎪⎭在△中，， 为锐角与平面所成的角为。