费波纳奇数列
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘1. 什么是斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因13世纪的意大利数学家斐波那契（Leonardoda Fibonacci）而得名。
这个数列从0和1开始，之后的每一个数都由前两个数相加得到：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……以此类推。
2. 斐波那契数列的应用斐波那契数列并不只是一种数学上的抽象概念，它在现实世界中有着广泛的应用。
其中一个典型的例子就是菠萝的结构。
菠萝的鳞片排列呈现出斐波那契数列的规律，这种规律使得菠萝更加紧密地生长。
同时，在生物学领域，许多植物的花朵、树叶等都呈现出斐波那契树形态，这种形态美感十足，而且有助于植物的生长和传播。
3. 斐波那契数列的几何意义斐波那契数列还与黄金分割密切相关。
黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例即为金子比（约1.618），也被称为黄金分割点。
如果我们取斐波那契数列中相邻两个数的比值，会发现随着数列增长，这个比值越来越逼近黄金分割点。
这说明斐波那契数列具有很强的几何意义，与自然界中许多规律相吻合。
4. 斐波那契数列在艺术中的运用除了在自然界中呈现，斐波那契数列还被广泛运用在艺术领域。
许多艺术作品中都能看到斐波那契数列的身影，如建筑设计、绘画作品等。
艺术家们通过运用这种神秘而美妙的数字序列，使作品更加富有节奏感和动态美。
5. 斐波那契数列在计算机科学中的应用在计算机科学领域，斐波那契数列也有着重要的应用价值。
它被广泛应用在算法设计、数据结构等方面。
特别是在递归算法中，经常会看到斐波那契数列的身影。
6. 斐波那契数列与金融市场斐波那契数列还被运用于金融市场的技术分析中。
通过观察股票或者外汇市场走势图表上出现的斐波那契比例线（Fibonacci Retracement Levels），交易者可以预测价格可能出现支撑或阻力，并做出相应交易决策，提高投资成功率。
斐波那契额数列
斐波那契数列
斐波那契数列是一种数学构造，由一组数字组成，每个数字都是前两个数字的和。
斐波那契数列的通项公式为：
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)
其中，F(0) = 0，F(1) = 1。
斐波那契数列的前几项通常为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……
斐波那契数列在许多领域都有广泛应用，例如递推算法、图论、生物学等。
斐波那契数列也有许多有趣的性质，例如：
1.斐波那契数列的数字之和为斐波那契数。
2.斐波那契数列的每一项都是前两项的平方之和。
3.斐波那契数列的数列中，任意一项都是前两项的比值的近似值。
斐波那契数列还有许多其他性质，这里只列举了几个。
斐波那契数列是一个非常有趣的数学构造，值得进一步研究。
斐波那契数值
斐波那契数值
斐波那契数列是一组数列，其每个数字都是前两个数字之和。
数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21等。
这些数字在自然界中广泛存在，如植物的叶序、螺旋形状等。
斐波那契数列不仅在数学领域有重要意义，还被应用在计算机编程、金融学、生物学等领域。
斐波那契数列的递推公式为：F[0]=0，F[1]=1，F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=2）。
在编程中，可以使用递归或循环等方式来计算斐波那契数列。
斐波那契数列的性质十分有趣，例如，相邻两项的比值越来越接近黄金分割比例（约为1.618），并且随着数列项数的增加，其比值越来越接近黄金分割点的值。
- 1 -。
斐波那契数列
斐波那契数列与黄金分割
黄金分割
黄金分割是一种比例关系，即将一条线段分为两部分，使得较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分 的比。在斐波那契数列中，每一项都是前一项与前前一项的比值，这个比值趋近于黄金分割的比值（√5 - 1） /2约等于0.618034。
应用
斐波那契数列和黄金分割在艺术、音乐、建筑等领域都有广泛的应用，如绘画、雕塑、音乐节奏等。
• 优点：可以适用于较大的n值，且代码相对简洁。 • 缺点：相对于递归和迭代算法，其计算效率较低。 • 示例代码 • function fibonacci(n) • A = {{0, 1}, {1, 1}} • x = {0, 1} • for i from 2 to n do • x = {x[1] + x[2], x[0]} • return x[0] • · 矩阵乘法算法是通过将斐波那契数列视为矩阵的方式来计算的。矩阵乘法算法的时间复杂度为O(n^2)，相
2023
斐波那契数列
汇报人：
目录
• 斐波那契数列简介 • 斐波那契数列的算法 • 斐波那契数列的数学性质 • 斐波那契数列的计算机实现 • 斐波那契数列的优化与扩展 • 斐波那契数列的相关问题与挑战
01
斐波那契数列简介
定义与特性
特性
除了前两个数字外，每个数字都 是正整数。
定义：斐波那契数列是一系列数 字，从0和1开始，后面的每个数 字是前两个数字的和。
矩阵乘法的优化
要点一
矩阵乘法优化概述
要点二
分布式计算
矩阵乘法是计算量较大的运算之一， 因此对其进行优化可以提高计算效率 。
使用分布式计算框架如Apache Spark，将矩阵乘法运算分布到多个 计算节点上，从而加快计算速度。
斐波那契数列的几条性质及其证明
斐波那契数列的几条性质及其证明斐波那契数列也叫兔子数列，它的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，递推公式是：n a =1-n a +2-n a ，其中1a =2a =1。
1、斐波那契数列前n 项的和等于第n +2项的值减去1。
即：1a +2a +…+1-n a +n a =2+n a -1证明：左边=2a +1a +2a +…+1-n a +n a -2a=（2a +1a ）+2a +…+1-n a +n a -2a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =（3a +2a ）+…+1-n a +n a -2a 以此类推最后得：左边=1+n a +n a -2a =2+n a -2a =2+n a -1。
等式得证。
2、斐波那契数列前n 项的平方和等于第n 项和第n +1项的值乘积。
即：21a +22a +……+2n a =n a 1+n a证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得，左边=21a +2a （3a -1a ）+3a （4a -2a ）+……+n a （1+n a -1-n a ）=21a +2a 3a - 1a 2a +3a 4a -2a 3a +……+n a 1+n a -1-n a n a因为21a =1a 2a ，所以合并同类项后得，左边=n a 1+n a 。
等式得证。
3、斐波那契数列前n 项相邻两项乘积之和，当n 是奇数时等于第n +1项的值的平方，当n 是偶数时等于第n 项和第n +2项的值之积。
即：1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a 当n 是奇数时等于21+n a ，当n 是偶数时等于n a 2+n a 。
证明：（1）、当n 是奇数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =21+n a左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+1-n a （1+n a -1-n a ）+n a 1+n a =1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a 因为1a 2a =2a 2a ，所以上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a =（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-1-n a 1-n a +（1-n a +n a ）1+n a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……+1-n a 1-n a -1-n a 1-n a +1+n a 1+n a=21+n a等式得证。
斐波那契数列常用结论
斐波那契数列常用结论
1斐波那契数列
斐波那契数列又称黄金分割数列，是指从0和1开始，之后的每一项都是前两项之和的自然数序列，即：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>1，n∈N*），那么形成了如下数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
斐波那契数列可以用来表示各种有规律变化的现象，如天文学中行星轨道运行的规律、物理学中光衍射和电磁波传播的规律、生物学中由细胞分裂形成的规律等。
2常用结论
1.黄金比例
斐波那契数列中的两个相邻数的比值，比如5和8的比为8/5等于1.618，34和55的比为55/34也等于1.618。
这就是著名的黄金分割比例，也常被称为黄金比例，具有美观耐看性，在艺术、建筑中广泛应用。
2.斐波那契数列的通项公式
从斐波那契数列的定义可以发现，任何一项的斐波那契数都可以用前两项来计算出来，比如F(5)=F(4)+F(3)，那么我们可以用下面这个公式来表示斐波那契数列的每一项：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，这就可以用来计算出任意的项的斐波那契数了。
3.斐波那契数列的正则表达式
斐波那契数列可以用下面的正则表达式完美地描述出来：
F(n)=2*F(n-1)+F(n-2)，用此正则表达式可以轻松实现斐波那契数列的自动构建。
4.完美数
斐波那契数列中的完美数是指那些满足F(n)=2^n-1的斐波那契数，即F(0)=0，F(1)=1，F(2)=3，F(3)=7，F(4)=15，F(5)=31，如果除了0和1外，它们都等于2的次方数减1，都称之为完美数。
从上面几条结论来看，斐波那契数列不仅应用于数学领域，在多个领域也有着广泛的应用，对于研究具有重要意义。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质
性质1：斐波那契数列前n项和等于第n+2项减1。
性质2：前n个项数为奇数的斐波那契数之和等于第2n个斐波那契数，或者说，第偶数项的斐波那契数等于其前面所有奇数项斐波那契数之和。
性质3：前n个项数为偶数的斐波那契数之和等于第2n+1个斐波那契数减1，或者说，第奇数项的斐波那契数等于其前面所有偶数项斐波那契数之和再加1。
性质4：前n个斐波那契数的平方和等于第n个斐波那契数与第n+1个斐波那契数的乘积。
以上n个式子相加，右端出现两两抵消的情况，最后就剩下一项，就是我们想要的结果。
性质5：斐波那契数列中前2n个相邻两项乘积之和，等于第2n+1个斐波那契数的平方再减1。
性质6：斐波那契数列中前2n-1个相邻两项乘积之和，等于斐波那契数列第2n项的平方。
即：上一条中求和号上限为偶数，本条性质就来解决奇数的情况。
左侧涉及2n个斐波那契数，右侧是其中最大的那个斐波那契数的平方。
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费波纳奇数列费波纳奇数列费波纳奇数列（Fibonacci Number Series）该数列由十三世纪意大利数学家费波纳奇（Leonardo Fibonacci）发现。
数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数、奇异数。
具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……数列的公式：A0=A1=1；An=An-1+An-2 （n=2，3，4，……）用语言来表达的话，就是：从数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。
与费波纳奇数列有关的数字现象很多：两个连续的费波纳奇数字没有公约数；数列中任何10个数之和，均可被11整除；……。
无论是从宏观的宇宙空间到微观的分子原子，从时间到空间，从大自然到人类社会，政治、经济、军事……等等，人们都能找到费波纳奇数的踪迹。
在期货市场、股票市场的分析中，费波纳奇数字频频出现。
例如在波浪理论中，一段牛市上升行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；而一段熊市行情可以用1个下降浪来表示，也可以用3个低一个层次的小浪来表示，还可以继续细分为13个或55个小浪；而一个完整的牛熊市场循环，可以用一上一下2个浪来表示，也可以用8个低一个层次的8浪来表示，还可以继续细分为34个或144个小浪。
以上这些数字均是费波纳奇数列中的数字。
人们在谈到市场的回调、延伸时，常用到0.618，0.328，0.236和1.618，2.382，4.236等数字，这些数字均可出自费波纳奇数中数与数之比例，被称之为费波纳奇比列。
如，相邻两个费波纳奇数之比趋向于0.618或1.618，间隔一个的两个相邻费波纳奇数之比趋向于0.382或2.618；间隔两个的相邻费波纳奇数之比趋向于0.236或4.236。
根据斐波那契数列为理论基础的一种分析方法称为黄金分割法斐波那奇数列为 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233……该数列有以下特征：（1）数列中任一数字都是由其相邻的前两个数字之和构成（2）前一个数字与相邻的后一个数字相比，其比率趋于一个常数0.618 （3）后一个数字与相邻的前一个数字的比率，趋于一个常数1.618。
1.618与0.618互为倒数，其乘积为1.（4）任一数字与其相邻的前第二个数据相比，其比率趋于2.618；如与其相邻的第二个数字相比，则其比率趋于0.382.这一数列反映了黄金分割的两个基本比率0.618 和0.382将1按照这两个比率进行划分，从而构成了自然界最和谐的比率。
在股市中，0.618和0.382 同样也会给人一种稳定、认同的美感股价会在这两个比例的位置上受到支撑和反压一般而言应用中几个特殊的数字为0.191 0.382 0.500 0.618 0.8091.919 1.382 1.618 1.8092.000用某一行情的顶点价位-此段行情的变动幅度*这几个比率可以得到极有可能的支撑价位百分比线是类似于黄金分割线的一种理论它的比较重要的分数是1/2 ，1/3 ，2 /3其他的支撑线和压力线基本上都是有一定斜率的倾斜的切线但黄金分割线和百分比线是水平的裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n)F(1)=F(2)=1。
它的通项求解如下：F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0令F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))展开F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0显然a+b=1 ab=-1由韦达定理知a、b为二次方程x^2 - x - 1 = 0 的两个根解得a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1)在(1)式中分别将上述a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到：F(n+1) - xF(n) = y^nF(n+1) - yF(n) = x^n以上两式相减得：(x-y)F(n) = x^n - y^nF(n) = (x^n - y^n)/(x-y) ={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5股市中股价的升跌都是以震荡波动的形式展开的，在一个上升或下跌趋势中，经常发生与趋势反方向的价格变化，由于这种价格变化占前期涨跌的某个百分比，我们就可以通过这种比例去判断与趋势反向运动时有可能出现的支撑位或阻力位，这种趋势分析法也就是“百分比回撤法”。
大致把回撤分为三种：三分之一回撤，二分之一回撤和三分之二回撤。
其中三分之二回撤是特别重要的一个回撤区域，也被称作最大百分比回撤。
让我们来看看最近的沪市综指吧，从1664点反弹至2100点，2100-（2100-1664）×33.3%=1956.12,也就是说三分之一回撤的支撑位在1956点附近，2008年12月16日指数最低探至1907点，但收盘收在了1975点，相差仅19个点，但随后几日的走势却不尽人意，那就让我们看看二分之一回撤的支撑点位：2100-（2100-1664）×50%=1882，二分之一的支撑点位在1882点附近，但由于盘势太弱，2008年12月23日的那根端头铡刀一次性击穿了支撑点位，本来的支撑位却变成了反压力位，于是我们就看到了1887至1895的向下缺口，但1887点与1882点相差仅5个点。
最后看下三分之二的支撑点位：2100-（2100-1664）×66.7%=1809，也就是说此轮反弹的最后一个支撑点位是在1809点附近，也可以说是1800的整数心理关口，如果跌破此点位，那这轮反弹就结束了，破1664是迟早的事情。
以上是根据回撤法来估算大盘的走势，个股的计算方法也是一样，但在这我们要着重强调下三分之二的回撤，因为一种上升到技术形态遭到“破坏”也是有底线的，一个股票的原始上升趋势线是该股的最后防线，如果连原始上升趋势线都跌破了，那该股就彻底走熊了，进入下跌通道。
同样道理，如果主力主力在操作一只股票做了一波上攻，短期见顶回落，是想洗清筹码，最后还是会拉上去，但这最后一道防线，三分之二回撤是一定要守住的。
如果失守，上升到技术形态就被破坏了，众人推墙倒，但再盖起来难度就大多了。
因为大家都知道，主力在拉升股价时，必须有一批跟风盘，如果没跟风盘，主力等于自己把筹码都吃了进去，这样一来有违规操作之嫌会受到查处，二来筹码吃多了吐不出，还搭上了手续费，白费力气。
所以要吸引跟风盘，最主要的前提是上升趋势不可以破坏掉，全毁了就没人敢跟风了，到时候只能自拉自唱，自己把自己玩死了。
对回调超过三分之二回撤的个股要坚决回避，就算主力有雄厚的资金再次把股价做上去也最好别碰，因为这样的主力操盘毫无章法，随心所欲，就像有天生神力却缺少智慧的战场将军一样，难免会糊里糊涂的吃败仗，最后连自己怎么输的都不知道，如果散户碰到这样的庄家还“与庄共舞”，很可能会与这些自负的主力一起葬身股海，死的不明不白。
把握下自己的主动权，其实主动权是在我们手中，缺少的是不知道怎么去掌握。
百分比回撤（最高-最底）* 回撤+ 最底（200-100）* （1 - 0.33）+ 100 = 167也就是说167位是回撤33%时的支撑。
66%也是如此计算38% 回撤支撑很少，在很强的趋势中才成立，概率较小．50%,62%支撑比例比较多，但要配合时间周期，简单说要配合ma指标和百分比回撤位置相交叉时支撑比较强．波峰到波谷的垂直距离乘百分比，不用算，软件都有画线工具．费波纳奇的神奇数字（1、2、3、5、8、13、21、34、55……）是他在研究兔子的生殖繁殖率时发现的。
它的神奇主要呈现以下几个特点：(1)任何相邻两个数字这种等于后面一个数字，如1+2=3，2+3=5，13+21=34，等等；(2)除了最前面的四个数字之外，任何一个数字与其后第二个数字之商，都约等于0.382，如8÷13=0.381，21÷55=0.382，55÷144=0.382，等等；(3)除了最前面的四个数字之外，任何一个数字与紧随其后的一个数字之商，都约等于0.618，如8÷13=0615，13÷21=0.619，21÷34=0.618，等等；(4)除了最前面的四个数字之外，任何一个数字与紧接其前的一个数字之商，都约等于1.618，如13÷8=1.625，21÷13=1.615，34÷12=1.619，等等；(5)除了最前面的四个数字之外，任何一个数字与其前第二个数字之商，都约等于2.618，如21÷8=2.625，34÷13=2.615，55÷21=2.619，等等。
由此可见，费波纳奇的神奇数列蕴含着0.382、0.618等一系列“黄金数字”，艾略特在研究波浪的调整比率时，同样使用了“黄金分割率”，格兰威尔均线八大法则示意图与股价运行学的头肩顶又有着惊人的相似。
对于同一市场现象，不同的理论从不同的角度作出了不同的描述。
但有一点是相通的，那就是他们用不同的形式提示了市场的特征。
这足以说明，股价的运动是有规律的。
但是，对任何理论都不能人为的给它涂上神秘的色彩，更不能迷信它。
再好的理论也不过是春兰秋菊，因为静止的理论永远滞后于运动着的市场。