数学实验 课程设计

安徽工业大学

大学数学实验课程设计

姓名：

班级：

任课老师：

数学实验 课程设计

问题提出：

某容器盛满水后，低端直径为0d 的小孔开启（图）。根据水力学知识，当水面

高度h 时，水冲小孔中流出的速度v =(g 为重力加速度，0.6为孔口的收缩系数)。

⑴若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底面直径均为1.2m ，小孔直径为3cm ，问水从小孔中流完需要多长时间；2min 水面高度是多少。 ⑵若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高为1.2m ，小孔直径为3cm ，有低端（记作x=0）向上每隔0.1m 测出容器的直径D （m ）如表所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min 时水面的高度是多少。 图1 ： 图2：

问题分析：

（1） 倒圆锥形容器流水问题中随时间t 液面高度h 也在变化，同时水的流速也

在变化，再写变化难以用普通的方程进行模拟求解，考虑建立常微分方程竟而代入数值求解。水面的直径等于液面的高度。可以建立容器中水流失的液面高度对时间t 的变化率。

假设t 时，液面的高度h ，此时水的流速流量Q 为：00.6(/4)d π

； 则

在t ∆时间内液面下降高度为h ∆，可得到关系式：220(

)2

4

d dt h dh π

=

；

由此可知水下降h ∆

时需要的时间：20

40.6

4

h dh

t d π

π

∆=

=

根据此关系式知道。

（2） 在第二问中，考虑倒葫芦形容器时因为他的高度h 不同容器直径D 变化

没有规律可循，同第一题相比我们只知道他的一些数值，这就需要我们建立高度h 和容器直径D 之间的关系矩阵，然后再欧拉方程和龙格—库塔方法找出时间t 和液面高度之间的分量关系。

由（1）可同理推知：假设在时间t 时，液面高度为h ，此时流量

为

2

00.6(/4)d π；经过t ∆时，液面下降h ∆，若我们取的t 是在t(n)和t(n+1)

之间的某一时刻，于是就可在误差范围内得到

(1)()t n t n t +=+∆；可以得

到

204

(1)()0.64

h d h

dt t n t n d π

π

=+-=-

= ；

建立模型：

（1） 在试验中我们不考虑圆锥的缺省对流水的影响，以及其他外界因素和玻璃

的毛细作用，试验中水可以顺利流完。实验中重力加速度g=9.82

/m s ；倒圆锥的液面最初高度为H=1.2m ，液面直径D=1.2m=0.03，小孔的直径为

0d =0.03m ；

接上文中分析结论代入数据：即在T 时间内将1.2m 的液面高度放完， （matlab 不支持一些运算符号，故用matlab 运算格式）

dt=-((pi/4)h^2*dh)/(0.6*(pi/4)*d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6*d^2*sqrt(g)) h 是由0→1.2m 对t 积分 用matlab 计算上式 编辑文件：a1.m ， d0=0.03; g=9.8; syms h

t=(h^1.5)/(0.6*d0^2*sqrt(g)); T=int(t,0,1.2); eval(T)

运行结果： >> a1

ans =

373.2556

结果：水从倒圆锥中流完需要373.26s；

2mine之后液面的高度为h1;

373.26-120= h1^2.5/(1.5*d^2*(g)^0.5)=153.26

可知h1=((1.5*d^2*sqrt(g))*153.26)^(2/5);

Malab计算

>> g=9.8

g =

9.8000

>> d0=0.03

d0 =

0.0300

>> h1=((1.5*d0^2*sqrt(g))*153.26)^(2/5)

h1 =

0.8405

即2mine之后液面的高度为0.84m；

上述运行结果可知：谁需要373.26s流完，2mine之后液面高度为0.84m；

（2）在与（1）同样的条件下，倒葫芦形容器的液面最初高度H=1.2m，小孔的直径为d0=0.03m，液面直径和液面高度关系如表。在分析中已经讨论出Δt和Δh的关系。

dt=t(k+1)-t(k)=-((pi/4)h^2*dh)/( 0.6(pi/4)d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6d^2*sqrt(g)) k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+41 0.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.0148 92)^2;

k2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7 -414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-218.8936*(x(n)-h*k1)^4+62.553*( x(n)-h*k1)^3-8.3215*(x(n)-h*k1)^2+0.49619*(x(n)-h*k1)+.014892)^2;

x(n+1)=x(n)-h*(k1+k2)/2;

matlab程序编写及计算：