规格求积
《求积公式》PPT课件
Ak
b
lk (x)dx
a
b a
(x x0 ) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) dx (xk xn )
n 0
hnt(t
1)
(t k 1)(t k 1) (1)nk hn (n k)!k !
(t n) hdt
(1)nk h n
特斯系数表4-1：
1结6 束
n 1 1/2 1/2
表4-1
C (n) k
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
I
1 0
4 1 x2 dx
I
1 0 2
4 1 02
4 112
1 2
(4 2)
3.
4.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得
A0
(1)2 h 2!
2
(t -1)(t -2)dt
h
2
h.
0
23 3
1结3 束
A1
(1) 1!
h
Rn[qn1(x)] 0
也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的 多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基 于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而 在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式 (n=2)等.
求积的近似值
求积的近似值简介在数学中，我们经常需要求解各种复杂函数的积分问题。
然而，很多函数的积分并不能直接求得解析解，而需要借助数值计算方法来获得近似值。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，以及它们在求积的近似值问题上的应用。
数值积分方法矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将函数曲线划分成若干个等宽的矩形，计算每个矩形的面积，并将这些面积相加以获得近似的积分值。
常见的矩形法有矩形左端点法、矩形右端点法和矩形中点法。
以矩形左端点法为例，算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算函数在左端点的函数值，并用矩形面积公式 S = h *f(a) 进行近似计算。
3.将所有小区间的矩形面积相加，得到最终的近似积分值。
矩形法的优点是简单易懂，容易实现，但精度较低，对于曲线弯曲较大的函数不够准确。
梯形法梯形法是一种改进的数值积分方法，它在矩形法的基础上增加了两个端点的高度值，从而得到更精确的近似积分值。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算左右两个端点的函数值，并用梯形面积公式 S = h *(f(a) + f(b)) / 2 进行近似计算。
3.将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的近似积分值。
梯形法相较于矩形法具有更高的精度，适用于各种类型的函数。
然而，对于复杂函数的积分，仍然需要更高级的方法来获得准确的近似值。
辛普森法则辛普森法则是一种使用二次多项式来逼近被积函数曲线的方法，它提供了更高级的数值积分精度。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于奇数编号的小区间，使用辛普森公式 S = h * (f(a) + 4f(a + h) + f(a + 2h)) / 3 进行近似计算；对于偶数编号的小区间，使用梯形法进行近似计算。
gauss型求积公式
gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。
1. 定义。
- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。
对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。
这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。
2. 特点。
- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。
对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。
这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。
- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。
这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。
例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。
二、求积节点与求积系数。
1. 求积节点的确定。
- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。
勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。
通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。
2. 求积系数的计算。
- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。
一种常见的方法是利用正交性条件。
对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
excel中横向求积
excel中横向求积横向求积是Excel中一项非常有用的功能，它可以在横向维度上计算数据的乘积。
在本文中，我将详细介绍如何使用Excel中的横向求积功能，并说明其应用场景和注意事项。
让我们来了解一下什么是横向求积。
横向求积是通过使用乘法运算符（*）来计算一行数据中各个单元格的乘积。
例如，如果我们有一个包含数值的行，如A1、A2、A3、A4，我们可以使用横向求积将它们的乘积计算出来。
在Excel中，要使用横向求积功能，我们可以使用乘法运算符（*）或者使用PRODUCT函数。
无论使用哪种方法，我们都需要在单元格中输入相应的公式或函数。
下面是使用乘法运算符的示例：在B1单元格中输入公式：=A1*A2*A3*A4按下回车键后，B1单元格将显示A1、A2、A3和A4单元格的乘积。
如果我们使用PRODUCT函数，可以将上面的公式改写为：在B1单元格中输入函数：=PRODUCT(A1:A4)同样，按下回车键后，B1单元格将显示A1、A2、A3和A4单元格的乘积。
横向求积在许多场景中都非常有用。
例如，在财务建模中，我们可以使用横向求积来计算某个时间段内的销售额或利润。
在统计分析中，我们可以使用横向求积来计算样本数据的乘积，以便进行概率分析或建模。
除了基本的横向求积功能，Excel还提供了一些相关的函数和工具，以进一步扩展其应用。
例如，我们可以使用SUMPRODUCT函数来计算多个数组的乘积之和。
这在处理多个数据集或进行复杂的统计分析时非常有用。
Excel还提供了其他一些功能，如条件求积和动态求积。
条件求积是指根据某些条件选择要参与乘积计算的单元格。
动态求积是指在数据发生变化时，自动更新乘积结果。
这些功能进一步提高了Excel 横向求积的灵活性和实用性。
在使用Excel的横向求积功能时，我们需要注意一些事项。
首先，如果单元格中包含空值或文本，横向求积将返回错误值。
为了避免这种情况，我们可以使用IF函数或其他方法来处理空值或文本。
excel求积的函数
excel求积的函数Excel是一款功能强大的电子表格软件，除了进行数据的输入、整理和分析，它还提供了一些有趣、实用的功能，比如求积。
求积是一个常用的操作，可以用来对数据进行一些统计计算，比如计算多个数据的乘积。
如果你还不太熟悉Excel的求积函数，那么请继续阅读本文，下面我们将为大家介绍Excel中求积函数的使用方法。
一、求积函数（PRODUCT）的基本用法Excel中求积函数的名称为PRODUCT，它的基本语法如下：=PRODUCT(number1,[number2],[...])其中number1、number2、...表示需要进行乘积计算的数字或则范围，可以是单个数字，也可以是单元格、数列或者数组。
下面我们来看一个简单的例子：假设我们有几个数字需要相乘，如下图所示：现在我们希望求出这些数字的积，可以在任意一个单元格中输入如下公式：=PRODUCT(A2:A5)这个公式的意思是：将A2、A3、A4、A5这些数字相乘，求出它们的积。
按下回车键后，就可以得到所求的结果了。
为了方便操作，我们还可以在单元格中直接输入数字，如下图所示：在这个例子中，我们把每个数字单独放在一个单元格里，然后用公式求出这些数字的积。
需要注意的是，用求积函数计算乘积的时候，单元格里的数字不能包含文本、空值或含有FALSE或TRUE等逻辑值。
Excel中的求积函数不仅可以计算数列的乘积，还可以对多个范围进行求积，或者将多个数列进行分组计算。
下面我们分别介绍一下这些高级用法的具体操作：1.对多个范围进行求积有时候我们需要对不同的数列进行求积，比如需要计算A1:A5和B1:B5这两个数列的乘积，此时可以使用多个参数来表示这些数列，如下图所示：在这个例子中，我们分别将A1:A5和B1:B5中的数值相乘，然后再将它们的积相乘，求出最终的结果。
需要注意的是，在计算各个数列的乘积时，如果某个数列中包含空单元格，那么这个空单元格的值将视为1处理。
4。4高斯型求积公式
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
华长生制作 22
4. 高斯-埃尔米特求积公式
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
机械求积公式
说明：（1）式的特点是用求积节点处的函数值的 线性组合来计算定积分的近似值。
数值求积方法是近似方法，为保证精度，希望所 提供求积公式对于“尽可能多”的函数准确成立。
【定义1】 如果公式(1)对于所有次数不超过m的多 项式都能准确成立，而对于某个(m+1)次多项式等式 不能准确成立，则称公式(1)具有m阶代数精度。
———Cotes公式
代数精度为5 阶
说明：
(1) P 157 表1列出了 n:1-8 时 Cotes系数;
n
(2) Cotes系数之和等于1,即 ci(n) 1 i0
(3) Cotes系数越接近越好, 如果Cotes系数 出现负数,舍入误差增长很快,公式不宜采用.
例3 设 f ( x) x3 5x2 6x , 分7 别用梯形公式
于所求曲边梯形的面积。
取 a,b内若干个节点 xk 处的高度 f xk ，通过加权平均
的方法生成平均高度 f ，这类求积公式称机械求积公式：
b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )(b a)
i f ( xi ).........1()
i0
i0
xi 求积节点
i 求 积 系 数 ， 也 称 伴 随 节点xi的 权
例1 建立[-1,1]上以节点 x0 1, x1 0.5, x1 1 的数值积分公式.
三、插值型求积公式
从 另 一 角 度 考 虑 ， 用 关于{ xi }ni0的 插 值 多 项 式 的 积分 值 作为f ( x)的 定积 分 的近 似 值 ， 即
b
b
nb
a f ( x)dx a Ln ( x)dx a li ( x) f ( xi )dx