定积分的求法
求取一元定积分和不定积分的6种方法
求取一元定积分和不定积分的6种方法声明：本文章为原创文章，首发于“湖心亭记”其实一元定积分的解法有几种，跳来跳去。
所以做题的时候如果想养成习惯，可以避开所有没有观察到的点。
========================================首先说明求解一元定积分的几种方法：1、奇函数和偶函数法要特别注意的是，奇函数在对称区间的定积分是0，根本不用找。
例1： \[\int_{ - 1}^1 x dx= 0\] 。
解析：显然x在[-1,1]区间内为奇函数，故不用算就知道积分为0。
2、定积分的几何意义法这类题目的特点是，一眼就能看出是圆方程；要么被积函数看似简单，但对原函数进行积分是非常困难的。
匹配后发现，被积函数其实就是我们学过的常见曲线方程(一般来说是圆方程)。
然后我们就可以利用定积分的几何意义，按照常用的方法求面积了。
例2： \[\int_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx =\frac{{9\pi }}{2}\]解析：很明显能直接看出被积函数就是一个半圆：x2+y2=9（y>=0），因此积分值为圆面积的一半，非常易求。
例3： \[\int_0^4 {\sqrt {4x - {x^2}} } dx = 2\pi \]解析：这道题如果按照换元法或者分部法是很难积出原函数的。
而且一眼也看不出来被积函数是圆的方程。
但是经过配凑，发现确实是圆的方程。
令 \[y = \sqrt {4x - {x^2}} \] 得到y2+x2-4x=0，进而配凑成y2+(x-2)2=4（y>0），很明显这就是一个以（2,0）为圆心，2为半径的圆。
积分值为圆的面积的一半，非常易求。
小结下：几何意义法下的题目的被积函数一般为一个根号式，式子下含有\[ - {x^2}\]项，因此碰到这样子的可以优先考虑几何意义法。
3、第一类换元法和第二类换元法第一类换元法或者可以称之为整体配凑法，如下：\[\int {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)dx} = k\int {f\left( {\varphi \left( x \right)}\right)d\varphi \left( x \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \]例4： \[\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd2x = - \frac{1}{2}\cos 2x} } \]第二类换元法，可以称之为直接换元，如下：\[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( {\phi\left( t \right)} \right)d\phi \left( t \right) = \int {g\left( t \right)dt{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (x{\rm{ = }}\phi \left( {\rm{t}}\right))} } } \]也就是说将f(x)换成了比较容易积出来的g(t)，当然最后别忘记将t回代成x。
求定积分的四个步骤
求定积分的四个步骤
求定积分是一种完成微积分运算的重要方法，它是积分学中最基本的概念。
求定积分包括四个步骤，分别为：确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。
首先，在求定积分时，我们要确定积分的区间，即被积函数的定义域以及它的上下限。
这一步很重要，因为积分的结果取决于被积函数的取值范围，只有确定了积分区间才能进行下一步。
其次，选择合适的积分公式。
这里，我们可以根据被积函数的形式，选择合适的积分公式。
比如，如果被积函数是多项式，我们可以采用多项式积分公式；如果被积函数是指数函数，我们可以采用指数积分公式。
然后，根据确定的积分区间和所选择的积分公式，我们可以求出积分值。
在这一步，我们要对被积函数进行替换，把它变换为积分公式，然后求出积分值。
最后，我们要验证结果。
在求定积分时，我们可以把原来的积分区间划分为多个小区间，然后分别求出这些小区间的积分值，最后再把它们相加，求出原来的积分值。
如果结果与我们所求的积分值相符，则说明我们的计算是正确的。
总之，求定积分包括确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。
这些步骤都很重要，只有按照正确的步骤完成求定积分，才能得出正确的结果。
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分的计算
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
b
( t ) F [( t )],
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
第四节 定积分的计算
一、直接利用牛顿-莱布尼兹公式 二、换元积分法 定理 假设 （1）f ( x ) 在[a , b] 上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数； （3）当t 在区间[ , ] 上变化时， x (t ) 的值
在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 0 2 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4 4
例3 解
计算
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1 2
xdx 1 x2
练习：
xdx 0 1 cos 2 x .
4
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
xdx . 例2 计算 0 1 cos 2 x
解
4
1 cos 2 x 2 cos x ,
2
xdx xdx 4 4 x d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 cos x 0 2
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分求导方法(一)
定积分求导方法(一)定积分求导在微积分中，定积分求导是一种重要的技巧，用于求解连续函数的导数。
本文将详细介绍定积分求导的各种方法。
方法一：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求导的一种常用方法。
它的公式如下：d dx (∫fxa(t)dt)=f(x)这个公式的意义是，对于函数f(x)的定积分，其导数等于f(x)。
这使得我们可以通过求函数的定积分来得到其导数。
方法二：基本定积分求导法则在广义的意义下，可以使用基本定积分求导法则来求解定积分的导数。
以下是一些常用的基本定积分求导法则：1.$ _{a}^{b} k , dx = 0 $，其中 $ k $ 是常数。
2.$ _{a}^{b} x , dx = b - a $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
3.$ {a}^{b} f(x) + g(x) , dx = {a}^{b} f(x) , dx + _{a}^{b}g(x) , dx $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是函数。
4.$ {a}^{b} f(x) g(x) , dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) +{a}^{b} f’(x) g(x) , dx$，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是可导函数。
这些法则可以根据具体问题进行灵活运用，简化定积分求导的过程。
方法三：换元法换元法是一种常用的定积分求导的方法，通过引入新变量来简化计算过程。
其一般步骤如下：1.对于积分∫f(g(x))⋅g′(x) dx，选取适当的换元变量u=g(x)。
2.计算出du=g′(x) dx。
3.将原表达式中的g(x)和dx替换为u和du。
4.将对x的积分转换为对u的积分。
5.计算出∫f(u) du，得到最终结果。
使用换元法，可以将原本复杂的函数转化为更简单的形式，从而更容易进行积分和求导。
方法四：分部积分法分部积分法是定积分求导中的另一种常见方法，通过应用求导的乘积法则来简化计算过程。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
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3 3 1
3 2 3 3 t 2 x 2dx 0 t dt 2 2 4
n
4 2 0
6
被积函数中含有根式 ax b n N ，或同时含 n 有两个根式， x与m x m, n N 时，为了去掉根号 n n 相应地作变换 = ax＋b，即 x t b a ， p p 或 t x ，即 x t ，p为 m与 n的最小公倍数
称为定积分的分部积分公式.
x cos xdx 解：令 u x ， cos xdx dv，则v sin x，
例5：求
0
π/2
根据分部积分法公式，得
π/2
0
x cos xdx =
/2
0
xd (sin x)
2 0
x sin x
02 sin xdx
2 0
2
cos x
5、分部积分法求定积分
分部积分法是与微分学中乘积的求导法 则相对应的，它需注意积分的上下限，与不 定积分的分部积分法相类似. vx 在a, b上是连续函数， 设函数 ux ， 则
u ( x)dv ( x) [u ( x)v( x)]
a b a
b
b
a
v( x) du ( x)
(1)
a 0 a 0 a a
a a
例2：求下列各式的定积分
（ 1） x 1 x dx = 1
2
1
0
（ 2）
1 1
e e 2
x
x
1 dx = e e
4、换元法求定积分
换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来 简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元 积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的 上下限，这样可以简化计算． 设 f x 在 a, b上连续，x xt 满足 (1) x a, x b, a xt b, 且 t ；
1 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3
0
0
0
a x dx
2 2
4
被积函数分别含有根式 a 2 x 2 , a 2 x2 , x2 a 2 ( a 0) 1 时，为了去掉根号,相应地分别实 施弦换( x a sin t 或 x a cost)， 切换法( x a tan t 或 x a cot t )，
a
b
b a
(6) sin xdx cos x
a
b
b a
2、根据定积分的几何意义求值
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a
b
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方， 积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
上述曲边梯形面积的负值。
例 1：
1
1
3
0
2 5 2 2 x dx 2
1 x dx
2 f x 在区间 a, a上连续，则有下列积分 公式：
f x dx f x dx f x dx ； (2)当 f x 为奇函数时， a f x dx a0 ； f ( x ) dx (3)当 f x 为偶函数时， =2 。 f ( x ) dx 0 a
1 2
例6
解
计算
1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 d ln(1 x ) 2 x 2 x 0
t
练习巩固
1、求
a
0
2 1 a x dx a ln 2 2
2 2
2
2 1
2、求
1
2a a
2 2 a x a dx a ln 2 1 2 2
2 2
2
3、求
2
dx x x
3 2
6 1 2 3 6 3 3 2 6 2 6 ln 2
sec x cos x 1 csc x sin x
割换法( x a sect 或 x a csct )，统称为三角变换法
例4：求
3 3 1
2 x 2 dx
t3 2 3 2 x dx t dt ，当 x 1 时， 解：令 ， 2 2 t 0 ；当x 3 时， t2
人教版必修2—2
1、常用基本函数的定积分公式
(1)
b
b
a
kdx kx
b a
K为常数
b a
1 ( 2) x dx x 1 a 1
( 1)
b a
1 (3) dx ln | x | a x x b a x b ( 4) a dx a a ln a
b
(5) cos xdx sin x
' x (2) t 存在并在 , 上可积．则
b
a
f ( x)dx f ( x(t ))x＇ (t )dt
α
β
例3：求
a
解：应用定积分换元积分公式
设 x a sin t , dx a costdt, 当x 0 时， t 0 t ；当 x a时， 2 2 2 a 2 a sin 2 t a / 2 2 2 2 2 t a x dx a (cos t ) dt 2 2 0