左矩形求积公式

构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有
(i) 确定求积系数Ak和求积节点n； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性．
用什么标准来判定两个节点数相同的求积 公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确 度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一 个标准．在后面的讨论中我们将看到，节点相 同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分 近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度 的定义．
f
)

R( ,
f
)

b 6
a{f
(a)
4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
具有3次代数精确度．
解：
当
f (x) 1时，I ( f )
b
1dx

b

a，
a
而
I3(
f
)

b
6
a
(1
4
1)

(b

a)
有 R( ,1) 0
I(
f
)

I3(
f
)

R( ,
f
由Lagrange插值基函数有
n
lk (x) lk (a th)
i0,ik
x xi xk xi
n ti
i0,ik k i
(1)nk
n
t i
k !(n k)! i0,ik
而 dx hdt b a dt，所以
n
b
3
I3
(
f
)

b
6
a
(a2

(a

b)2

b2
)

b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)

b
6
a
(a3

(a
b)3 2
b3)

b4
4
a4
R( , x3) 0
I(
f
)

I3(
f
)

R( ,
也称为梯 形求公式
容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1.
考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1, f)．假定 f (x) C2[a,b]
时，用推广的积分中植定理，将过(a, f(a)), (b, f(b))点的线性
插值的余项 f '( ) (x a)(x b)在[a, b]上积分，可得
7.2.1 Newton-Cotes求积公式
一、公式的推导
设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为{xk
}n k 0
，
那么， x0 a, xn b, xj a
令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由
jh, j
x [a,b]
0,1,..., n; h

b
n
a
可知 t [0, n] ．
)

b 6
a{f
(a)
4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f (x) x时，I ( f ) b2 a2
ba 2
b2 a2
I3( f ) 6 (a 2a 2b b) 2
R( , x) 0
（2）当 f (x) x2时，I ( f ) b3 a3
定义１ 若对任意的 pn (x) Pn[a,b] ， 求积公式(2)的误差都满足 R( , xn1) 0 ，则称 该求积公式具有n次代数精确度．
验证一个求积公式所具有的代数精确度用 定义１是极不方便的，为此给出另一个定义．
定义2 若对函数 f (x) 1, x2, x3,..., x，n
求积公式(2)精确成立，即 R( , f ) 0
而 R( , xn1) 0，
则称其具有n次代数精确度．
因为函数组 (1, x2, x3,..., xn )是 Pn[a,b] 的
一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体 应用时，定义2比定义1要方便的多．
例１ 验证求积公式
I(
f
)

I3(
论．
二、误差估计
求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？
若被积函数
f
(x) Cn1[a,b] ，记 Mn1
max | a xb
f
(n1) (x) | ，
对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-
Cotes求积公式的误差估计式为
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
而用直接对插值余项求积的形式，即
M n1

max |
a xb
f
(n1) (x) |
(5)
由(5)式，显而易见，当 f (x) 1, x,..., xn 时，因 f (n1) ( ) 0
可知，R(1, f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具
有n次的代数精确度．进一步可以证明，当n为偶数时，
求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次．
三、几种常见的Newton-Cotes求积公式 对 n=0, 1, 2, 按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes 求积公式.
1. n=0时的矩形求积公式 分别以积分区间[a, b]的左、右端点和区间中点，即x=a，b， (a+b)/2为求积节点得到：
左矩形求积公式： I ( f ) f (a)(b a) R1 右中矩矩形形三求求个积积求公公积式式公：：式的II((误ff))差 f估f((a计a22，bb)(可)b(b将a函)a)数R3fR(x3) 分别在 x a,b, a b
2
处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间[a, b]上积分 推得．
0
它们的原函数都不是初等函数.
求定积分就得通过近似计算－数值积分求得积分 近似值
基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分， 同时考虑近似精度。
下面首先给出代数精确度的概念
7.1 代数精确度
本章讨论的是形如
b
I定积分的数值计算，其中 (x)为权函数， 要满足5.4节中所提的条件.
a lk (x)dx
n 0
lk
(a

th)hdt

b
n
a
(1)nk k !(n k)!
nn
(t i)dt
0 i0,ik
将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得 n
I ( f ) In1( f ) R(1, f ) (b a)Ck(n) f (xk ) R(1, f )
把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式．例如
当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为
I5
(
f
)

ba 90
(7
f0

32
f1
12
f7

32
f3

7
f4
)
I6
(
f
)

ba 288
(19
f0

75
f1

50
f7

50
f3

75
f4
19
f5
)
n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1, f)后再详细讨
f
)

b 6
a{f
(a)
4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f (x) x4时，I ( f ) b5 a5
5
I3(
f
)

b
6
a
(a4

(a
b)4 4

b4 )

I(
f
)
R( , x4 ) 0
故求积公式具有三次代数精确度．
7.2 插值型求积公式
n
k 0
Ak f (xk ) R(1, f )
记
k 0
C(n) k
(1)nk
k !n.(n k)!
nn
(t i)dt, k
0 i0,ik
0,1,..., n,
称为Cotes求积系数．它与(3)式中的求积系数Ak相差一 个常数b-a
即 Ak (b a)Ck(n), k 0,1,..., n.
2. n=1时的梯形求积公式
按Cotes系数公式计算得
C (1) 0

C (1) 1
故求积系数A0, A1为 梯形求积公式为 I (
A0

A1
ba
1 2
f) (
(b a)
f (a)
f
1 2
， (b))

R(1,
f
)
记 T ( f ) b a ( f (a) f (b)) 2 (6)式的几何2意义如图7-2所示（见p327）
这一节所讨论的求积公式，都是用在区间[a, b]上对 被积函数f(x)作插值所得插值多项式Pn(x)代替被积 函数f(x)导出的公式．这一类求积公式的求积节点 xk，就是对f(x)作插值时的插值节点，所以这类求 积公式称为插值型求积公式．