研究生数值分析(23-24-25)Newton-Cotes求积公式
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newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
数值分析 -牛顿-科特斯公式
f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理 设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用 复合公式 ✓ 用 非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
研究生数值分析(23,24,25)
§4 复化求积公式
为了提高计算结果的精度，常常采用
复合求积的方法。
复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [ xk 1 , xk ] (k 1,2, , n; x0 a, xn b)
然后在每个小区间上计算积分
xk
xk 1
f ( x)dx
的近似值并取它们的和作为整个区间[a， b]上的积分
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。 下面，我们给出梯形公式，辛普森公 式和科茨公式的截断误差（余项）和它们 的代数精度的几个结论。
定理3 若 f '' ( x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤ 的余项为
(b a)3 R1 f (1 ), 12
和复合科茨公式
b
a
n 1 n 1 n 1 h f ( x)dx [7 f (a) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) 32 f ( x 3 ) k k k 90 k 0 k 0 k 0 4 2 4
14 f ( xk ) 7 f (b)] Cn
C0
1 2 1 6 1 8 7 90
(n)
C
( n) 1
C2( n)
1 6
3 8
C3( n ) C4( n ) C5( n ) C6( n )
1 2
4 6 3 8 16 45 25 96 9 35
2
3 4 5
19 288
41 840
2 15
25 144
1 8 16 45
25 144
6
9 280
34 105
4 ( a, b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
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b a
f
( x)dx
h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
(xk )
f
(b)]
Sn
和复合科茨公式
b a
f
(x)dx
h [7 90
f
(a)
n1
32
k 0
f
n1
(
x
k
1 4
)
12
k
0
f
n1
(
x
k
1 2
)
32
3.50674932
1/2
3.20000000
5/8
2.87640449
3/4
2.56000000
7/8
2.26548673
1
2.00000000
解：这个问题有明显的答案
1
I 4 arctan x 3.141592652
0
现在用复合求积公式进行计算。
将积分区间[0，1]划分为8等分，取 n=8 应用复合梯形公式
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
证 1、因 f ''(x) 在[a , b]上连续，
由Newton-Cotes求积公式的截断误差
Rn
hn2 (n 1)!
n 0
f
(n1) ( )[
n j0
(t
j)]dt
请推到此式
且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出
C0( n
)
,
C1(
n
)
,,
C (n) n
32
f
(x1)
12
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
其中
xk
ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式
1 2
计算积分 1 e x dx 的近似值，并估计截断误差。
解：用梯形公式计算，得
2 1 e x dx
2
1 (e
1
e2
)
2.1835
1
2
1
f (x) e x ,
f
( x)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
得积分 xk f (x)dx 的近似值 xk 1
xk xk1
f
(x)dx
Ik
xk
xk1 [ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
h[ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
于是
(k 1, 2, , n)
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
(x)dx
如图所示
y
y f (x) C
y L2 (x) B
A
0a
ab 2
bx
为了便于应用，我们把部分科茨系数
列在下表中。利用这张科茨系数表，可以
很快写出各种牛顿—科茨公式。
n
C C C C (n) 0
(n) 1
C (n)
(n)
2
3
C C (n)
4
(n) 5
(n) 6
11
1
2
2
21
4
1
6
6
6
31
3
n→∞时，In(f)不收敛于 I(f)。这说明，NewtonCotes求积公式并不是对 所有在[a，b]上可积的 函数都收敛。
n In(f) 2 5.4902 4 2.2776 6 3.3288 8 1.9411 10 3.5956
多节点的Newton-Cotes求积公式
的数值稳定性是没有保证的。
§4 复化求积公式 为了提高计算结果的精度，常常采用 复合求积的方法。 复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [xk1, xk ] (k 1,2, ,n; x0 a, xn b) 然后在每个小区间上计算积分
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
1
e2
)
2.0263
1
2
f
(4) (x)
1 ( x8
12 x7
36 x6
24 x5
)e
1 x
max f (4) (x) f (4) (1) 198.43
1 x2
截断0
max
1 x 2
k
0
f
(
x
k
3
)
4
其中
n
14 f (xk ) 7 f (b)] Cn k 1
x
k
1
4
xk
1 4
h,
x
k
1
2
xk
1
2
h,
x
k
3 4
xk
3 h, h 4
ba n
下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森
公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。
定理5 若f '' (x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合梯形公式的余项为
n
Ik
k 1
h 2
n
[f
k 1
(xk1)
f
(xk )]
若将近似值记作 Tn ，并注意到 x0 a 和 xn b
则由上式可得复合求积公式
b a
f
( x)dx
Tn
h[ 2
f
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
该公式称为复合梯形公式。
用类似方法可以导出复合辛普森公式
R1
(b
a)3 2!
1
f ( )t(t 1)dt
0
其中 (a th) (a,b) 。
设 (a th) 在 0 t 1 上连续。 由于 f ( (a th)) 在 0 t 1 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 故根据积分中值定理，必存在 ~t [0,1] 使得下式成立
b a
f
(x)dx Tn
ba 12
h2
f
(1),
1 [a,b]
若 f (4)(x) 在积分区间[a，b]上连续，
则复合辛普森公式的余项为
b a
f
(x)dx
Sn
ba 180
(h)4 2
f
(4) (2 ),
2 [a,b]
若 f (6)(x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合科茨公式的余项为
例如，当 n=1时，有
C (1) 0
1
(t 1)dt
0
1 2
,
C (1) 1
1
tdt
1
0
2
相应的牛顿—科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
⑤
这就是前面提到的梯形公式。
当 n=2时，有
C (2) 0
2
t(t
1)dt
1
0
6
C (2) 1
科茨公式
b a
f
(x)dx
ba 90
[7
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
截断误差为
R4
8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]