数的整除4
六年级【小升初】小学数学专题课程《数的整除》(含答案)
4.数的整除知识要点梳理一、整除意义整数a除以整数b(b≠O)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。
整除的条件:1.除数、被除数都是整数。
2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数1.如果a×b=c(且a、b、c均为非0自然数)，那么我们说。
就是a与b的倍数，a与b就是。
的因数，因数和倍数是相互依存的。
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3.求一个数因数的方法:利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8 =4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法:这个数本身分别乘以1、2、3、4、5…(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。
三、常见数的倍数的特征2的倍数的特征:数的个位是0,2,4,6,8。
5的倍数的特征:数的个位是0,5。
3的倍数的特征:数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
9的倍数特征:数的各个数位上数字的和是9的倍数。
4或25倍数的特征:数的末两位数是4或25的倍数。
8或125的倍数特征:数的末三位数是8或125的倍数。
7、11、13倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是7、11或13的倍数。
11倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除，那么它必能被11整除。
四、质数、合数、分解质因数1.若一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数，也叫素数。
最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。
2.若一个数的因数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。
数的整除
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些 能被8整除？哪些能被9整除？ 236，719，7733，8865，13728，38064
练习1 在下面的数中，哪些能被3整除？哪 些能被4整除？哪些能被7整除？ 345，716，6733，8865，12728，38064
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分 别等于几时、6、7、8、9这五个数字中，选出 四个数字组成一个四位数，它能被3、5、7整除。 那么这些数中最大的是_______.
练习5.如果从0、6、7、8、9这五个数字中，选 出四个数字组成一个四位数，它能被3、4、5整 除。那么这些数中最大的是_______.
猜数字
见人就变大(打一数字) 一减一不是零(打一数字) 在空中(打一数字) 添一笔,增百倍,减一笔,少九成. 两只鸟儿对头飞,一只瘦来一只肥 旭日东升 语言不通难开口 秦人割稻苗
1. 72小时 猜字（为3天,也就是三个日，晶） 2.15天，猜字（为半个月，故组合为 胖 ） 3.365天 猜字（为12个月，十二月组合为青） 4.18.4 猜个字（十八点四 杰）
例4.在三位数中能被2、3、5 同时整除的最小的数是多少？
120
练习4.在三位数中能被2、3、 8同时整除的最小的数是多少？
小测试：
1. 以下哪些数可以被7整除？哪些可以被11整除？哪些可以 被13整除？
123456，101010，132832，966953，1234554321
2. 个位数是 5 ，且能被 9 整除的最大三位数和最小三位数是 多少？
3. 一些四位数，百位上的数字都是 3 ，十位 上的数字都是 6 ，并且它们既能被 2 整除又能 被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小 的各是多少？
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
【解析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。由于 ，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4。
【答案】
【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答
【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有 个0．
【考点】整除之3、9、99系列【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第2题，8分
【解析】被9除余4的数被3除必余1，所以只需考虑被9除余4这个条件。这个数各个数位上的数字之和除以9应余4。所以框里面最小是04，六位数为：204727.
【答案】
【例 10】连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
【答案】43326（答案不唯一）
【巩固】若9位数2008 2008能够被3整除，则 里的数是__________
【考点】整除之3、9、99系列【难度】1星【题型】填空
(完整版)常见数字整除判定法则
2、4、8、5、25、125整除判定
1.能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；
2.能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；
3.能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；
4.一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数
5.一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数
6.一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数
3、9整除判定
1.能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
2.一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
11整除判定
1.能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
7整除判定
1.能被7整除的数，末三位与前位数的差，能被7整除。
2.能被7整除的数，末一位的两倍与前位数的差，能被7整除。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
能被4整除数的的特征
4的倍数的特征
作者：田华超
单位：江苏省徐州市铜山区三堡镇台上小学五（1）班
辅导老师：秦朝永
在学习能被2、3、5整除数的特征之后，我的脑海之中就冒出了这样一个问题：为什么老师不教我们“能被4整除数的特征”呢经过我的思考和分析以及后来老师的点拨，我们明白了：如果一个数的末两位能被4整除，那么这个数就能被4整除。
首先我先想到的是：一个数能被4整除，必定是偶数。
原因是，4=2×2，如果一个数都不是2的倍数，就不是2的倍数，那它就别说是4的倍数了。
还可以列举一些例子得到这一想法。
因此，能被4整除的数的个位上就一定是0、2、4、6、8。
接着我又举例并经过整理知道：个位上是0时，十位上只能是0、2、4、6、8；个位上是2时，十位上只能是1、3、5、7、9；个位上是4时，十位上只能是0、2、4、6、8；个位上是6时，十位上只能是1、3、5、7、9；个位上是8时，十位上只能是0、2、4、6、8，这样一共可以有25组合。
然后，我再想确定一个能被4整除的数的百或者千位上的数时遇到麻烦了，因为我们发现百位上面是任意一个数字，只要是上面的25种组合得到的数都能被4整除。
而且我们两个在班级当中让好多同学试过了也是这种结果。
这是为什么呢经过老师的点拨，我们终于明白了这里的道理。
任意整数…abc（一个字母表示一个数字），数字b之前的数的大小可以用“…a×100”表示，那么…a×100÷4=…a×25，还是一个整数。
所以，如果一个数的末两位能被4整除，那么这个数就能被4整除。
整除4的数字的特点
整除4的数字的特点
整除4的数字有以下几个特点：
1、个位数字是0或4或8
以整数的个位数字为基准，可知道整数是否能被4整除。
若整数的个位数字是0或4或8，则该数是4的倍数。
例如：120、504、1212等数都是4的倍数，因为它们的个位数字分别为0、4、2×4=8。
2、从个位数字开始的最后两个数字能被4整除
若从个位数字开始取整数的最后两位数字，能被4整除，则该整数是4的倍数。
例如：420、624、836等数都是4的倍数，因为它们的个位数字为0、4、6，且从个位数字开始的最后两位数字都能被4整除。
3、能被100整除且能被4整除的数字
任何一个能被100整除，且能被4整除的整数，也一定能被4×100=400整除。
因此，这些整数又都是400的倍数。
例如：400、800、1200等数都是4的倍数，因为它们能被4整除且又能被100整除。
4、能整除4的规律性
对于任意的正整数n，整数n能否被4整除，只与n的倒数第二位与倒数第一位的数字组合有关。
当倒数第二位数字是0或2或4或6或8时，倒数第一位数字是0或4或8时，n能被4整除；否则不能被4整除。
例如：524能被4整除，是因为其倒数第二位数字为2，倒数第一位数字为4，组合起来是24，满足能被4整除的规律；而527则不能被4整除，是因为其倒数第二位数字为2，倒数第一位数字为7，组合起来是27，不满足能被4整除的规律。
综上所述，整除4的数字有以上四个特点，这些特点可以帮助我们在实际应用中判断整数是否能够被4整除。
数 的 整 除(4)
数的整除（四）1、元旦到了，老师给幼儿班的小朋友买来了300粒糖果，210块饼干，163个苹果，将它们平均分给每位小朋友，余下的饼干数是糖果数的3倍，余下的苹果数是糖果数的2倍。
该班的小朋友有多少人？2、用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。
3、四个小孩的年龄恰好是四个连续自然数，他们的年龄之积是360。
这四个小孩年龄之和是多少岁？4、班主任李老师带五（1）班同学去植树。
全班同学恰好可以平均分成3组。
如果老师与学生每人种树的棵数一样多，则一共种了416棵树。
五（1）班有学生多少人？每人种多少棵树？5、把12、18、33、35、36、65、77、104这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。
6、用462个大小相等的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？7、三个自然数的积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。
8、公园里有三只小熊猫，恰好一只比一只大1岁，它们的年龄积是60。
这三只熊猫中最大的是几岁？9、三个连续偶数的积是192。
这三个连续偶数的和是多少？10、老师带112元钱去商店买若干支钢笔奖给同学，由于每支钢笔降价1元，老师所带的钱可以比原计划多买2支。
老师原来准备买几支钢笔？11、一个长方形的面积是320平方米，如果长不变，宽增加4米，就成为一个正方形。
求原长方形的周长。
12、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。
13、把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积相等。
14、有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块。
问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼成一个正方形？（要求整箱地取，取的瓷砖全部用上。
）15、用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？16、某玩具厂计划每天生产60件儿童玩具，7天完成任务。
由于改进生产技术，提前1天完成任务。
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•
例如
：判断491678能不能被11整除。
• —→奇位数字的和9+6+8=23
• —→偶位数位的和4+1+7=12
• 23-12=11
• 因此，491678能被11整除。
• 这种方法叫“奇偶位差法”。
像369 , 3、 6、9 都是3的倍数, 所以369是3的倍数。 像469 , 6和9是3的倍数,但是4 不是3的倍数,所以469不 是3的倍 数。 像24398, 3和9都是3的倍数, 2+4+8=14不是3的倍数,所以24398 不是3的倍数。
这种判断方法叫做弃3倍数法
在 760
中填几，这个数就是3的倍数。 5 （0、3、6、9） （1、4、7）
3的倍数的特征：
一个数各个数位上数字之和 是3的倍数，这个数就一定是3 的倍数。
数 学
•
智慧老人家的电话号码 是32772182，它是3的倍数 吗？
3+2+7+7+2+1+8+2=32
3
+
2 =5 ×
思考：奇数与偶数的和是奇数还是偶数？ 奇数与奇数的和是奇数还是偶数，偶数与 偶数的和呢？
想一想
看谁能用最快的方法判断出
5169这个四位数是否是3的倍数。
因为5+1+6+9=21 所以5169是3的倍数。
还有更快的方法吗?
看谁能用最快的方法判断出5169这个 四位数是否是3的倍数。
5169, 5+1+6+9=21 5169是3的倍数.
所以
5169 , 5+1=6 是3的倍数 。
所以5169
能被 5 整数的整数，个位上数字为 0、 5
既能被 2 整除又能被 5 整 除的整数特征又是什么？ 能被 2 整数的整数，个位上数字 为 0、2、 4、6、8 能被 5 整数的整数，个位 上数字为 0、5
既能被 2 整除又能被 5 整除 的整数，个位上的数字是 0。
个位上是0的数，既是 2的倍数，又是5的倍 数。
能同时被3、5整除的数的特征：
个位上是0或5，并且各个数位上 的数字的和能被3整除。
思考:
在连续的正整数中,相邻的两个数相差几? 1
在连续的奇数中,相邻的两个数相差几?
2
在连续的偶数中,相邻的两个数呢? 2
• 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字 与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差， 如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原 来这个数就一定能被11整除。
这些数都是 2 的倍数。你发现
2 的倍数有什么特征吗?
4， 6 ， 8 个位上是 0，2，________
的数都是 2 的倍数。 自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数(0 也是偶数)，不是 2 的倍数的数叫做奇数。
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
17
找出最小的数然后依次加3
60
2 5 3
75
5 3
105
5 3
150
2 5 3
582
2 3
能同时被2、5整除的数的特征：个位上是0。 能同时被2、3、5整除的数的特征：
个位上是0，并且各个数位 上的数字的和能被3整除。
个位上是0、2、4、6、8，并且 能同时被2、3整除的数的特征： 各个数位上的数字的和能被3整除。
课前复习：
1) 一个整数的最小因数是____;最大因数是_____. 2) 一个整数的倍数有______个,最小的倍数是____. 3) 在 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 24, 36, 48, 72 中 是72的因数________________________ 是4的倍数_________________________ 既是72的因数,又是4的倍数的有哪几个?
1、奇数＋奇数=偶数 2、奇数－奇数=偶数 3、奇数＋偶数=奇数 4、奇数－偶数=奇数 5、奇数×偶数=偶数
如果a表示自然数，那 么2a就一定是2的倍数， 即2a一定是偶数。2a ＋1就一定是奇数。
⑴、 3的倍数的特征： 各位上数字的 和是3的倍数。 ⑵、 既是2的倍数，又是3的倍数的数： 个位上是0、2、4、6、8，且各位上数 字的和是3的倍数。 ⑶、 既是5的倍数，又是3的倍数的数： 个位上是0或5，且各位上数字的和是3 的倍数。 ⑷、 既是2又是3和5的倍数的数： 个位上是0，且各位上数字的和是3的 倍数。