计算方法-4.5 Newton-cotes公式精度
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
Newton-Cotes公式截断误差及代数精度
f
(6) ( )
[a, b]
定义 5.1.1 如果定积分的求积公式对于所有不高于 n 次代数多项
式 f(x) 精度成立，即截断误差 R f 0 ，但对于至少 1 个 n + 1 次代
数多项式不能精确成立，则称该求积多项式具有 n 次代数精度。
几个常用的求积公式的代数精度
1.T 公式的代数精度
当f (x) x时
由定理 5.1.2 知，Newton-Cotes 公式至少具有 n 次代 数精度。由 Simpson 公式具有 3 次代数精度，Cotes 公式 具有 5 次代数精度启发，对偶阶 Newton- Cotes 公式的代 数精度有如下结论。
定理 5.1.3 当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式具有 n + 1 次 代数精度。
6
2
2
所以 b f (x)dx S[ f ]成立 a
当f (x) x2时
b
f (x)dx
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
a
3
S[ f ] b a ( f (a) 4 f (b a ) f (b))
6
2
b a (a2 4( a b )2 b2 )
6
2
b a (2a2 4ab 2b2 ) 1 (b3 a3 )
b f (x)dx
a
b
xdx
a
1x2 2
b a
1 (b2 2
a2)
T[ f ] b a ( f (a) f (b)) b a (a b)
b
f (x)dx
2
2
a
当f (x) x2时
b f (x)dx
a
b x2dx
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度
并不知道，虽然有时可 以通过给出高阶导数的 一个上界的 方法来估计截断误差的 上界，但有时却很困难 。所以一般 实际计算中都采用事后 估计误差的近似方法。
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
Newton—Cotes积分公式的matlab实现与数值算例
Newton—Cotes积分公式的matlab实现与数值算例作者：孔花罗开宝来源：《商情》2013年第52期【摘要】Newton-Cotes积分公式在数值计算定积分中起着重要作用，主要研究其matlab 实现以及数值算例，并通过图说明等分区间的份数n≥8时Newton-Cotes积分公式是不稳定的。
【关键词】Newton-Cotes积分公式；matlab；稳定性1 Newton-Cotes数值积分公式的matlab实现Newton-Cotes数值积分公式是插值型的，其matlab实现为下面的函数文件：function y=New_Cotes（a，b，n）。
n=input（'n='）；% n为求积节点的个数a=input（'a='）；% a为积分下限b=input（'b='）；% b为积分上限syms t；sum=0；h=（b-a）/n；% h为步长for i=1：n+1s=sym（1）；for j=1：n+1if j～=is=s*（t-j+1）/（i-j）； % 计算连乘endends（i）=int（s，0，n）； %计算科特斯系数保存在sy（i）=func（a+（i-1）*h）；%计算函数在节点上的函数值sum=sum+y（i）*h*s（i）； %计算Newton-Cotes数值积分endsum=vpa（sum，6）%显示计算结果，有效数字位数为6。
如果用上面的m文件求例1，只需要定义函数func为被积函数，然后运行Newton-Cotes，输入n，a，b，可以得到计算结果。
2 数值算例例：利用牛顿科特斯公式计算定积分，取等分区间的份数n=2，4，6，8，10结果如表：通过上表可以看出当n≤7时，误差能得到有效控制，计算是稳定的；n≥8时，误差不能得到有效控制，计算是不稳定的.同时I n（f）也不一定收敛于I（f）。
参考文献：[1]黄友谦，李岳生.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1987[2]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第三版）[M].武汉：华中科技大学出版社，1986[3]王能超.数值分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，1984[4]苏金明，阮沈勇.Matlab6.1实用指南[M].北京：电子工业出版社，2002[5]王晓霞，王治和.求积公式及其误差分析[J].西北师范大学学报，2011，（03）[6]杨平霞，陈红斌.一类复合插值型求积公式的构造方法[J].宜春学院学报，2011，（8）资助项目：四川省高等教育”质量工程”资助。
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
牛顿科特斯公式资料
a
a
3
2
因此代数精确度是 1
b
R1( f )= a f (x)dx T kf ''()
取 f (x) x2 代入，得：
b x2 dx (b a) (b2 a2 ) k 2!
a
2
得：
1
b3 (
a3
(b
a)
(b2
a2 ))
k
2! 3
2
k (b a)3 12
Rn ( f )
jk
b n a th a jh d (a th) n n t j hdt h n
1
nn
(t j)dt
a j0 a kh a jh
0 j0 k j
j0 k j 0 j0
jk
jk
jk
jk
求积公式
(1)nk h
n n (t j)dt (1)nk (b a) n n (t j)dt
I ( f )
b a
S 2 ( x)dx
b a 6
f (a) 4 f (a b ) 2
f (b)
称 Simpson 公式
y=P2() y=f()
a a+b/2 b
而 n 4的 牛 顿 柯 特 斯 公 式 则 特 别 称 为 柯 特 斯 公 式 为 ：
C
ba 90
7
f
x0
32
f
x1
由辛普森公式余项
R( f ) (b a)5 f (4) (),
2880
a,b
知其误差为 R( f ) 0
解:柯特斯公式
C 3 17 f (1) 32 f (1.5) 12 f (2) 32 f (2.5) 7 f (3)
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
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R ( x)dx
a n
b
b
f
a
( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
[a, b]，并依赖于x
2017/10/31
2
M n 1 R[ f ] ( n 1)!
( x) dx
a
b
截断误差的上界估计
引进变换 x a th ，并注意到 xi a ih ，有
2017/10/31
f ( )t(t 1)dt
0
8
1
其中 [a, b]且依赖于t ,由于f ( )在[a, b]上连续以及 t (t 1)在区间0 t 1 内不变号，由积分中值 定理，必 存在 [a, b]，使得
则
1
0
f ( )t (t 1)dt f ( ) t (t 1)dt
仍精确成立。
2017/10/31
4
分析 f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a 2 x a3
令f ( x) a0 x 3 g ( x)
于是
f (x)dx a x dx g(x)dx
a 0 3 a a
b
b
b
由于g ( x)是二次多项式，因此对 于g ( x)，辛普森公式是精确的:
定理3
当n 为偶数时，牛顿-柯特公式至少有 n 1次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a2 x a3时，求积公式
b
a
(b a) a b f ( x)dx [ f ( a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
求积公式近似到 f ( x)dx 的程度，即求积公式的 精度？
a
b
§
4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项 由多项式代替函数
f ( n1) ( ) Rn ( x) (n 1)!
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
i 0
a 3
b
a
f ( 4) ( ) ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx 4! 2
ab 2 显然，当x [a, b]时，( x a )( x ) ( x b) 0， 2 于是当f ( 4) ( x)在[a, b]上连续，由积分中值定理，可得
0
1
成立
1 (b a) 3 R[ f ] f ( ) t (t 1)dt 0 2
h3 f ( ) 12
[ a, b]
即为梯形公式的截断误差估计
2017/10/31 9
2. 辛普森公式
n2
直接用公式求解
1 b (3) ab R[ f ] f ( )( x a)( x )( x b)dx 3! a 2 h 4 2 (3) f ( )t (t 1)(t 2)dt 3! 0
因此，辛普森公式的代数精度是3。
2017/10/31 7
§
4.5.2 Newton-Cotes求积公式的截断误差分析
h n2 R[ f ] (n 1)!
1. 梯形公式
n 1, h b a
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
(b a)3 R[ f ] 2
因为t(t-1)(t-2)在区间[0,2]上不保持常号，所以中值 定理不能使用，因此需要换一种方法求解。
2017/10/31 10
由于辛普森公式对3次代数多项式精确，故可取插值条件
P3 (a) f (a), P3 (b) f (b) ab ab ab ab P3 ( ) f( ), P3 ( ) f ( ) 2 2 2 2
R[ f ]
n
0
f ( n 1) ( ) n [ (t i)] h n 1 hdt (n 1)! i 0
移项 合并h
h n2 (n 1)!
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
Newton-Cotes求积公式的余项
2017/10/31 3
形成f(x)的三次Hermite插值多项式P3(x)，则有
f ( 4) ( ) ab 2 f ( x) P3 ( x) ( x a )( x ) ( x b) 4! 2
[a, b]
2017/10/31 11
R[ f ]
b
a b
f ( x)dx
P ( x)dx
所以
2017/10/31
b
a
(b a) 3 ab 3 3 x dx [a 4( ) b ] 6 2
3
6
于是
b
a
f ( x)dx a0
b
a
x dx
3
g ( x)dx
a
b
1 3 4 ab 3 1 3 a0 (b a)[ a ( ) b ] 6 6 2 6 1 4 ab 1 (b a)[ g (a) g ( ) g (b)] 6 6 2 6 (b a)[ 1 4 ab 1 f (a) f ( ) f (b)] 6 6 2 6
M n 1 M n 1 | Rn ( x) | ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x) (n 1)! (n 1)!
那么
b
a
f ( x)dx
P ( x)dx R ( x)dx
a n a n
b
b
求积公式的余项
记
R[ f ]
n
f ( n1) ( ) ( x xi ) ( x) (n 1)!
为包含在x, x0 , x1 ,, xn的最小区间的一个点
2017/10/31 1
令f (n1) ( x)在[a, b]上的最大值为
M n 1 max | f ( n 1) ( x) |
[ a ,b ]
2017/10/31
b
a
g ( x)dx
(b a) ab [ g ( a) 4 g ( ) g (b)] 6 2
5
由于
通过计算得到
b
a
1 4 3 x dx x 4
b a
1 4 (b a 4 ) 4
2 2 (b a) 3 ab 3 3 2 2 b a [a 4( ) b ] (b a ) 6 2 4 1 4 (b a 4 ) 4