Newton-Cotes求积公式
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
chap4第1节 Cotes型求积公式
令：Ak
ba n
k i dt
0 i 0 i k
n
n
t i
b a ( 1) n
b
(t i )dt k! ( n k )!
0 i 0 i k
n k 0
n k
n n
则得定积分的近似计算公式： f ( x )dx Ak f ( x k )
a
1 0 2
(
4
1 0 11
利用 Simpson 公式
b
a
ba ab f ( x )dx f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b ) 6
1 4 1 0 4 4 0 1 x 2 dx 6 4 4 1 1 1 3.1333 1 4 利用Cotes公式得
R1[ f ]
12
f ( )
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 12
(b a )
3
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
R2 [ f ]
(b a ) 2880
5
f
(4)
( ) , (a , b)
Cotes求积公式
b
f ( x )dx
ba 90
a
7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x4 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Chapter6_1_Newton-Cotes公式
插值型求积公式
在积分区间[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1, 2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗
日插值公式）: n
Ln (x) l j (x) f (x j )
j0
则有
f (x) Ln (x) Rn (x)
于是有
R(x)
f (n1) ( )
(n 1)! wn1 (x)
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法
来计算.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函 数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计 算极不方便.例如函数
n
C (n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
b f (n1) ( )
R( f ) a
(n 1)! wn1(x)dx
hn2 (n 1)!
n 0
f
(
n j0
(t
j)dt
(9)
, (a,b)
与x有关
• 定理2 当阶数n为偶数时, Newton-Cotes 公式(8)至少具有n+1次代数精度.
n n
0
(t k0,k j
k )dt
(6)
则
Aj
(b
a)C
( j
n)
,
j 0,1,2,, n
(7)
求积公式(4)变为
b a
f (x)dx (b a)
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
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不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
a i
k 0 k i k
b
n
i 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成 立,即只要
b
a
m1 x m 1dx Ak xk k 0
n
则称该求积公式具有m次的代数精度.
代数精度也称 代数精确度
可以证明，求积公式
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
定理7.2.1 Newton-Cotes求积公式的余项可表示为：
（1）对n为奇数的情形，设函数f ( x) Cn+1[a, b], 则
Rn [ f ] rnhn2 f ( n1) ()， [a, b]
其中
n 1 rn ( 1)( n)d (n 1)! 0
(2)
1 1 A0 h, A1 A2 An 1 h, An h 2 2
积分中值定理
I f ( x)dx (b a) f ( ),
a
b
[a, b]
但 具体位置一般是不知道的，
f ( ) 称为函数y=f(x)在区间[a, b]上的平均高度。
这样，只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地 便获得一种数值求积方法。 一般地，我们取[a,b]内若干个节点处的高度的加权平均的 方法近似地得出平均高度。
ba 为步长 n
其中 h
f ( x)的Lagrange 插值多项式及余项分别 为
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0
n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其中 lk ( x)
n1 ( x) ( x xi ),
第七章 微积分的数值计算方法
§ 7.1
基本概念
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。
I f ( x )dx
a
传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题
返回章
b
传统方法的困境
对于积分
I ( f ) f ( x )dx
b a
b
b
I ( f ) f ( x)dx
a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx R ( x)dx
b
k 0 k k
a
n
Ak f ( xk ) Rn ( x)dx
k 0
n
b
a
其中 Ak lk ( x)dx
a
b
b
a
0 j n j k
（2）对n为偶数的情形，设函数f ( x) C n+2 [a, b], 则
Rn [ f ] rnhn3 f ( n2) ()， [a, b]
其中
n 1 2 rn ( 1)( n )d (n 2)! 0
2、低阶Newton-Cotes公式及其余项
记数值积分公式为
I n Ai fi , 即
i 0
n
I I n Rn
特点： 把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的 代数运算。 xi为节点 ，Ai 为求积系数。 需要做的工作： 1. 确定节点和求积系数；
2. 估计余项；
3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。
插值型求积公式
I ( x 4 ) I1 ( x 4 )
所以该积分公式具有3次代数精确度
1、Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
设函数f ( x) C[a , b]
将积分区间 [a , b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
x
图7-0 矩形规则
如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图7-1，就 会更精确些，这就是----梯形公式。
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1
xn-1
fn
xn =b
x
图7-1 梯形规则
b
a
f 0 f1 f1 f 2 f n 1 f n f ( x )dx h h h 2 2 2 n 1 n f0 fn h h f i Ai f i 2 i 1 i 0
a
b
如果知道f ( x)的原函数F ( x),则由Newton Leibniz 公式有
b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
(1) f ( x)的解析式根本不存在 , 只给出了f ( x)的一些数值 (2) f ( x)的原函数F ( x)求不出来, 如F ( x)不是初等函数 (3) f ( x)的表达式结构复杂 , 求原函数较困难
k 0 n
(2)
称为求积余项。
I [ f ] b f ( x )dx I R[ f ] n a n I n Ak f ( xk ) k 0 插值型求积公式 b Ak lk ( x )dx a b 1 ( n 1) R [ f ] f ( )n 1 ( x )dx ( n 1)! a
h ( 1)n k n (t j )dt k !( n k )! 0 0 j n
jk
n ( 1)n k (b a ) (t j )dt n k !( n k )! 0 0 j n jk
( n) Ak ˆ (b a) Ck
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数，也称求积系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图7-0所示，这就是----矩形公式：
判断求积公式“好”与“差”的标准
————代数精度
因此定义代数精度的概念:
定义1. 若求积公式
I ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) I n ( f )
b a
k 0
n
对任意次数不超过 m次的代数多项式 P ,即 i ( x)(i m)都准确成立
P ( x)dx A P ( x )
n
具有m次代数精度的充要条件是它对
f ( x) 1, x,, x
都能准确成立, 但对
m
f ( x) x
不能准确成立.
m1
显然，一个求积公式的代数精度越高， 它就能对更多的被积函数f(x)准确成立， 从而具有更好的实际计算意义。
结论： 含有n+1个节点的插值型求积公式 的代数精度至少为n.
最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式, 具体步骤如下:
在积分区间 [a , b]上取一组节点 a x0 x1 xn b
作f ( x)的n次插值多项式
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0 n
其中：lk ( x)(k 0,1,, n)为插值基函数
i0
0 j n jk n
x xj xk x j
( xk )( x xk )
' n 1
n1 ( x)
,
[ a, b]
而 f ( x) Ln ( x) Rn ( x) 因此对于定积分 I ( f ) a f ( x )dx 有 I ( f ) f ( x )dx a [ Ln ( x) Rn ( x)]dx
0
h
I1 1dx 2
h2 I1 2
对于 f ( x) x2
I
h 0
3 h x 2 dx 3
1 h3 3 2 ( 2 a ) h I1 ah [0 2h] 2 2 1 a 12