牛顿科特斯公式及其积分应用
数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
牛顿科特斯公式及其积分应用
数值计算实习报告——牛顿—柯特斯积分方法及其应用姓名：杨银月学号：139084154班级：数131牛顿—柯特斯积分算法及其应用一、引言●数值积分的必要性现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—产量函数求在一产量下的总成本……通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分定理对于积分⎰=badx x f I )(，只要找到)(x f 的原函数)(x F ，便有牛顿—莱布尼茨公式：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数)(x f ，即便是给定了)(x f ，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说)0(sin ≠x xx，2x e-等，故不能用N-L 公式进行积分运算。
即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困难的。
例如对于被积函数611)(xx f +=，其原函数Cx x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 31)(22计算)(),(b F a F 仍然很困难，因此有必要研究积分的数值计算问题。
●数值积分的基本思想由积分中值定理（如图1）知，在积分区间],[b a 内存在一点ζ，成立)()()(ζf a b dx x f ba-=⎰图1就是说，底为a b -而高为)(ζf 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I 。
问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(ζf 的值，称)(ζf 为区间],[b a 上的平均高度。
这样只要对平均高度)(ζf 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。
如果我们用两端点“高度”)(a f 与)(b f 的算术平均值作为平均高度)(ζf 的近似值，这样导出的求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰)11(-便是众所周知的梯形公式。
牛顿柯特斯公式求定积分
牛顿柯特斯公式求定积分牛顿-柯特斯公式是数值分析中用于求定积分近似值的重要工具。
咱们先来说说定积分是啥，想象一下，你要计算一条曲线和坐标轴围成的面积，这就是定积分要解决的事儿。
比如说，有个函数 f(x) = x²，从 0 到 2 这个区间，你要算它和 x 轴围成的面积。
这时候，牛顿-柯特斯公式就派上用场啦。
我记得我上学那会，有一次老师在课堂上讲牛顿-柯特斯公式，那可真是让我头疼了好一阵子。
当时我就想，这一堆复杂的公式和符号，怎么能算出面积来呢？老师在黑板上不停地写着公式，还一边解释：“同学们，这个牛顿-柯特斯公式啊，其实就是把积分区间分成若干个小段，然后通过一些加权系数来近似计算定积分的值。
”我看着那些密密麻麻的算式，脑子一片混乱。
课后，我拿着课本，坐在教室里，一个人苦苦思索。
我尝试着按照老师讲的步骤，一步一步地去推导公式，可是总是在某个地方卡住。
后来，我找了班上数学好的同学一起讨论。
我们把公式写在纸上，一点点地分析，突然，就像黑暗中划过一道闪电，我好像明白了其中的关键。
原来，就是要把那些复杂的式子分解开，找到其中的规律。
咱们再回到牛顿-柯特斯公式本身。
它主要包括梯形公式、辛普森公式等等。
梯形公式呢，就像是把曲线下的面积近似看作一个个梯形的面积之和。
而辛普森公式则更精确一些，它把区间分成更多小段，形状更接近曲线。
比如说，还是那个 f(x) = x²的例子，用梯形公式计算从 0 到 2 的定积分，我们先把区间分成两段，[0, 1] 和 [1, 2]。
然后计算每个梯形的面积，相加起来就能得到近似值。
在实际应用中，牛顿-柯特斯公式的用处可大了。
比如在工程计算中，要计算各种复杂形状的面积、体积，或者在物理问题中，计算能量、功等等。
总之，牛顿-柯特斯公式虽然看起来复杂，但只要我们认真去理解，多做练习，就能掌握它的精髓，用它来解决各种求定积分的问题。
就像我当初在困惑中最终找到了解题的关键，只要不放弃，总能攻克难题！现在回想起来，还真是一段难忘的学习经历呢。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
n为偶数阶的牛顿科特斯公式
n为偶数阶的牛顿科特斯公式一、引言牛顿-科特斯公式是数值分析中的重要工具，用于求解函数的积分。
对于偶数阶的积分，这个公式提供了有效的计算方法。
在本文中，我们将深入探讨n为偶数阶的牛顿-科特斯公式的应用和实现。
二、牛顿-科特斯公式牛顿-科特斯公式是一种数值积分的方法，其基本形式如下：∫f(x)dx≈∑i=0nf(xi)wiΔx其中f(x)是需要积分的函数，xi是区间[a, b]上的分割点，wi是对应的权重，Δx是区间长度。
当n为偶数时，我们可以使用对称性来优化计算，降低计算复杂度。
在偶数阶的情况下，我们通常选择对称点作为分割点，这样可以将计算量减半。
三、对称性的应用对于n为偶数的情况，我们可以将区间[a, b]分成n等份，并选择对称点作为分割点。
这样可以利用对称性，减少需要计算的函数值数量。
具体来说，我们可以将区间[a, b]分成n等份，每份长度为Δx = (b - a) / n。
然后选择对称点作为分割点，即x0 = a, x1 = a + Δx / 2, x2 = a + Δx, x3 = a + 3Δx / 2, ..., xn = b。
这样，我们只需要计算n/2个函数值，利用对称性可以进一步降低计算复杂度。
四、权重和权系数的计算在计算牛顿-科特斯公式的积分时，我们需要计算权重和权系数。
对于偶数阶的情况，我们可以利用对称性来简化计算。
首先，我们需要计算权系数an和bn，其中an = Δx / (4 * (n - 1)!)，bn = (3 * Δx / 4) * (2 * n - 1) * ((n - 1) * n - 1)!。
然后，我们可以利用权系数来计算权重wi，其中i = 0, 1, ..., n。
最后，我们可以利用权重来计算积分的近似值。
五、实例分析为了验证n为偶数阶的牛顿-科特斯公式的正确性和有效性，我们进行了一系列实例分析。
我们选择了一些典型的函数，如sin(x)、cos(x)、exp(x)等，并在不同的区间上进行了测试。
72第二节 牛顿—柯特斯公式
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。
牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。
首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。
对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。
对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。
其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。
然后，我们将这个多项式进行积分。
根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。
因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。
最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。
具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。
梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。
这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。
对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。
其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。
最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。
牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。
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数值计算实习报告——牛顿—柯特斯积分方法及其应用姓名：杨银月学号：139084154班级：数131牛顿—柯特斯积分算法及其应用一、引言●数值积分的必要性现实生活当中往往会遇到这样的问题：拉着一块物体在一粗糙平面上沿着一直线从一点移动到另一点所发生的功是多少？一个不规则的平面图形的面积是多少？已知边际成本—产量函数求在一产量下的总成本……通过物理和几何学以及经济学的知识容易知道这类问题是需要计算积分的，根据微积分定理对于积分⎰=badx x f I )(，只要找到)(x f 的原函数)(x F ，便有牛顿—莱布尼茨公式：)()()(a F b F dx x f ba-=⎰但是，现实生活中往往只能得到一些离散的点，无法得到连续的函数)(x f ，即便是给定了)(x f ，也不一定就是容易找到原函数的（原函数往往非初等），比方说)0(sin ≠x xx，2x e-等，故不能用N-L 公式进行积分运算。
即使能求得原函数的积分有时候计算也是非常困难的。
例如对于被积函数611)(xx f +=，其原函数Cx x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 31)(22计算)(),(b F a F 仍然很困难，因此有必要研究积分的数值计算问题。
●数值积分的基本思想由积分中值定理（如图1）知，在积分区间],[b a 内存在一点ζ，成立)()()(ζf a b dx x f ba-=⎰图1就是说，底为a b -而高为)(ζf 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I 。
问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(ζf 的值，称)(ζf 为区间],[b a 上的平均高度。
这样只要对平均高度)(ζf 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。
如果我们用两端点“高度”)(a f 与)(b f 的算术平均值作为平均高度)(ζf 的近似值，这样导出的求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰)11(-便是众所周知的梯形公式。
而如果改用区间的中点2ba c +=的“高度”)(c f 近似地取代平均高度)(ζf ，则又可导出所谓的“中矩形公式”。
更一般地，可在区间],[b a 上适当选取某些节点k x ，然后用)(k x f 的加权平均得到平均高度)(ζf 的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(，)21(-式中k x 称为求积节点；k A 称为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。
权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数)(x f 的具体形式。
这类数值积分通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了N-L 公式需要寻求原函数的困难。
梯形公式即机械型求积公式1=n的情况，而由公式)21(-，给定不同的n 可以得到不同的求积公式。
下面讨论不同n 的情况下，求积公式的形式与性质。
二、N-C 公式及其简单形式（2,1==n n ）●N-C 公式推导对于大部分的函数)(x f 都是不容易求积的，但是可以用插值法的思想将)(x f 用多项式插值表示，因此可以定义插值型的求积公式：∑⎰=≈nk k k bax f A dx x f 0)()(其中⎰=bak k dx x l A )(。
等距节点的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式，推导如下：取等距节点：ih a x i +=，nab h -=,n i ,...,2,1=，令th a x +=，得：⎰∏⎰∏⎰∏⎰≠-≠≠----=--=--==nji in ni j ba i j j i jba i i dt j t i n ni ab hdt ji j t dx x x x x dx x l A 00)()!(!)1)(()(，称⎰∏≠----=-n ji i n i dt j t i n ni a b A 0)()!(!)1(为柯特斯系数，记做)(n i C ，所以有牛顿—柯特斯公式：∑⎰=-≈ni i n i bax f C a b dx x f 0)()()()(由于是多项式积分，柯特斯系数的计算不会遇到困难。
当1=n 时，21)1(1)1(0==C C ,这时的求积公式就是梯形公式；当2=n ，这时的柯特斯系数为:61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t C ；64)2(2120)2(1=--=⎰dt t t C ；61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t C .相应的求积公式是如下辛普森公式)].(2(4)([6b f b a f a f a b S +++-=)12(-●稳定性分析下表是柯特斯公式的系数表（n=1,2，…，8）（程序2—1）n)(n i C 10.50000.500020.16670.66670.166730.12500.37500.37500.125040.07780.35560.13330.35560.077850.06600.26040.17360.17360.26040.066060.04880.25710.03210.32380.03210.25710.048870.04350.20700.07660.17300.17300.07660.20700.043580.03490.2077-0.03270.3702-0.16010.3702-0.03270.20770.0349从表中可以看出当8≥n 时，柯特斯系数)(n i C 出现负值，于是有10)(0)(=≥∑∑==ni n i ni n iC C,如果0))((~)(>-i i n i f x f C，且δ=-~)(i i f x f ，则有∑∑==-=-=-ni i i n ini i i n in n f x f C f x f Cf I f I 0~)(0~)(~])([])([)()(δδ>=-=∑∑==ni n i ni i i n iC f x f C)(0~)()(.这表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故8≥n 时的牛顿—柯特斯公式是不用的。
牛顿—柯特斯公式通常只用4,2,1=n 时的公式，下面只讨论2,1=n 时的误差。
●梯形公式与辛普森公式的误差分析代数精度：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于1+m 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
定理：若求积公式的代数精度为m ，则求积公式的余项可表示为：)()()(][)1(0η+==-=∑⎰m ni i i baKf x f A dx x f f R ,)22(-其中K 为不依赖于)(x f 的待定参数，),(b a ∈η。
不难得到梯形公式的代数精度为1，辛普森公式的代数精度为3，所以梯形公式的误差余项可表示为：),(),(][b a f K f R ∈''=ηη，其中：332233)(121])(61[21)](2)(31[21a b a b b a a b a b K --=--=+---=,所以梯形公式的余项为),(),(12)(][3b a f a b f R ∈''--=ηη，)32(-同理可得，辛普森公式的误差余项为()),(,)2(180][)4(4b a f a b a b f R ∈---=ηη，)42(-●复合求积公式（梯形）（程序2—2）由上述分析知当8≥n 时N-C 公式不具有稳定性，因此不能通过提高求积公式的阶数来提高求积精度，要换一种思路来解决提高精度的问题。
在前面的分析中，求积运算都是在一整个给定的区间上进行的，既然能够在一个大区间上面进行求积计算，那么把区间分成若干个小的区间时也能够在每一个区间上进行求积计算的。
不妨将区间],[b a 分成n 等分，若我们令分点为ih a x i +=，步长为nab h -=，n i ,...,2,1,0=，在每一个子区间)1,...,1,0](,[1-=+n i x x i i 上采用梯形公式，则得)()]()([2)()(1111f R x f x f h dx x f dx x f I n n i i i n i x x bai i++===∑∑⎰⎰-=+-=+,记11101[()()][()2()()],22n n n i i i i i h hT f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑)52(-称之为复合梯形公式，其余项为：∑-=+∈''-=-=113),()],(12[][n i i i i i n n x x f h T I f R ηη。
由于],[)(2b a C x f ∈，且)(max )(1)(min 11010i n i n i i i n i f f n f ηηη''≤''≤''∑-=-≤≤-≤≤，所以),(b a ∈∃η使得∑-=''=''1)(1)(n i i f n f ηη，于是复合梯形公式的余项为：)(12][2ηf h a b f R n ''--=，)62(-可以看出误差是2h 阶，且当],[)(2b a C x f ∈，有0][lim =∞→f R n n ，所以有⎰=∞→ban n dx x f T )(lim ，因此复合梯形公式是收敛的。
事实上，只要设],[)(b a C x f ∈，则可得到收敛性，因为只要把n T 改写为])()([21110∑∑=-=-+-=ni i n i i n x f n a b x f n a b T当∞→n 时，上式的右端括号内两个和式均收敛到积分dx x f ba⎰)(，所以复合梯形公式收敛。
此外，n T 的求积系数为正，故复合梯形公式是稳定的。
●复合求积公式（辛普森）（程序2—3）将区间],[b a 分为n 等分，在每个子区间],[1+i i x x 上采用辛普森公式，若记,22/1hx x i i +=+则得：][)]()(4)([6)()(112/111f R x f x f x f h dx x f dx x f I n n i i i i n i x x bai i+++===∑∑⎰⎰-=++-=+,记],)()(2)(4)([6)]()(4)([611102/11012/1∑∑∑-=-=+-=+++++=++=n i i n i i n i i i i n b f x f x f a f hx f x f x f h S )72(-称为复合辛普森求积公式，其余项为：),(,)()2(180][110)4(4+-=∈-=-=∑i i i n i i n n x x f h h S I f R ηη，于是当],[)(4b a C x f ∈时，与复合梯形公式相似有),(),(2(180][)4(4b a f h a b S I f R n n ∈--=-=ηη，)82(-可以看出，误差阶为4h ，收敛性是显然的，实际上，只要],[)(b a C x f ∈，则可以得到收敛性，即.)(lim ⎰=∞→ban n dx x f S 此外，由于n S 中的求积系数均为正数，故知复合辛普森公式计算稳定。