数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式
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牛顿科特斯公式资料
k0
3)插值型求积公式：
Ak
b a
l
k
x
d
x
其 中 ： lk ( x )
n j0
x xj xk x j
jk
此求积公式的截断误差为：
Rn ( f )
b a
b
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b a
f (
(n
n
1
) (
1)!
)
n
1
(
x
)d
x
4)代数精度：
对求积公式 :
b
f (x)dx
：C
(n k
)
( 1) n k k!(n k )! n
nn
(t j)dt
0 j0
jk
Ak
(b
a
)C
(n) k
b a
f ( x)dx
b a
n
C
n
k
f
(
x
k
)
k0
称为牛顿-柯特斯公式.
式
中
C
k
n
称
为
柯
特
斯
系
数.
求积公式
当n 1时,
C
1
0
C
1
1
1 2
,这时的求积公式为：
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
b 6
a
f
a 4
f
a
2
b
f
b
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT
求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5
0.52 15 2880 16
1 0.5
0.25 15 1 2880 16 0.707
0.0001151
| R2(f) | 0.0001151
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
数值分析 -牛顿-科特斯公式
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T
h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk
1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h
b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j
2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx
b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)
f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式
ch02b 牛顿-柯特斯公式
b
b
f ( n1) ( ) ( n 1)!
( x x ) dx
i 0 i
n
左矩形公式
左矩形公式余项
RGa ( f )
b
a
( b a )2 f ( x )dx (b a ) f (a ) f ( ) 2
证明：设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由积分中值定理知 b b ( b a )2 RGa ( f ) f '( )( x a )dx f '( ) ( x a )dx f '( ) a a 2 b 于是有 a f ( x )dx (b a ) f (a ) 右式为左矩形公式，余项为
偶数积分中值定理而xa在ab上不变号非负由积分中值定理知左矩形公式余项梯形公式simpson公式余项证明
第二章
数值积分
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
及其复化求积公式
牛顿-柯特斯公式
插值型求积公式 n b b f ( x )dx i f ( xi )其中 i a li ( x)dx
S4 1 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x3 ) f ( x5 ) f ( x7 ) 24 2 f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x6 ) f ( x8 ) 0.9460832
R[ f ]
a
( n 1)!
n
( x x ) dx ( x x ) dx
b
n
i 0
i
a
i 0
i
作变量代换 x = a + t h ，并将 xi = a + i h 代入得 n
b
f ( n1) ( ) ( n 1)!
( x x ) dx
i 0 i
n
左矩形公式
左矩形公式余项
RGa ( f )
b
a
( b a )2 f ( x )dx (b a ) f (a ) f ( ) 2
证明：设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由积分中值定理知 b b ( b a )2 RGa ( f ) f '( )( x a )dx f '( ) ( x a )dx f '( ) a a 2 b 于是有 a f ( x )dx (b a ) f (a ) 右式为左矩形公式，余项为
偶数积分中值定理而xa在ab上不变号非负由积分中值定理知左矩形公式余项梯形公式simpson公式余项证明
第二章
数值积分
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
及其复化求积公式
牛顿-柯特斯公式
插值型求积公式 n b b f ( x )dx i f ( xi )其中 i a li ( x)dx
S4 1 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x3 ) f ( x5 ) f ( x7 ) 24 2 f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x6 ) f ( x8 ) 0.9460832
R[ f ]
a
( n 1)!
n
( x x ) dx ( x x ) dx
b
n
i 0
i
a
i 0
i
作变量代换 x = a + t h ，并将 xi = a + i h 代入得 n
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解 ： 取 f ( x ) 1， 左 =1
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 )) 1 右
取 f ( x ) x， 左= 1
0 2 2 取 f (x) x ，
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
数值分析
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
2 2
e
3 2
) 0 .7 6 6 5 7 5 5 0 5
数值分析
数值分析
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
数值分析
数值分析
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
i0
f ( x )d x
n
Ai f ( x i )
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
数值分析
定义1
数值分析
定义2
k
证 明 ： 定 义 2 定 义1
已 知 ： 对 f (x) x ,有
x3 x0
f ( x )d x
b a 8
( f
0
3 f
1
3 f
2
f 3)
n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4
x4 x0
f (x )d x
ba 90
( 7 f 0 32 f 1 12 f 2 32 f3 7 f4 )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
(3)
数值分析
数值分析
数值求积公式的一般形式
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
数值分析
插值型求积公式
其中
b a
f ( x )d x Ai f ( x i ) R ( f )
i0
n
i0
n
Ai f ( x i )
(1 )
Ai
b a
l i ( x ) dx
i 0, 1, , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。 截断误差或余项为
R( f )
取 (x)=x3，左=右=0；
(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5 右=2/3
所以具有3次代数精度。
数值分析
Newton-Cotes公式的代数精度
证明： 因为
数值分析
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为n。
b a
f(x )d x
1
f ( x )d x
1 2
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 2
1 2
右
左=
1 3
1 0
f ( x )d x
( f ( 0 ) f (1 ))
右
所以求积公式具有1次代数精度。
数值分析
数值分析
例2：设有 1
1
f ( x ) d x A 0 f ( 1 ) A1 f ( 0 ) A 2 f (1 )
b
i0
n
Ai f ( x i )
(4)
Ai
l
a
i
( x )d x
数值分析
数值分析
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
b b
Ai
a
l i ( x )d x
n
a
n
x x xi x
xj=a+jh,
j
j=0,1,2,…,n
dx
j
j0 j i
h
0
(n )
j0 j i
Байду номын сангаас数值分析
a
数值分析
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
3
求
I
1
x 2
e
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
3 x 2
I
1
3
e
dx
2 2
1 2
(e
e
3 2
) 0 .8 2 9 6 6 0 8 1 9
辛卜生公式
I
1
x 2
e
dx
2 6
1 2
(e
4e
辛卜生公式又称为抛物线公式。
数值分析
数值分析
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的 曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2
b
x2
f ( x )dx
ba 6
x
( f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b ))
C0(2) =1/6
I= 或
b a b a
,
C1(2) =4/6
ba 6
,
C2(2) =1/6
ab 2 ) f (b ) ) S
f(x )d x
(f ( a ) 4 f (
I
f(x )d x
h 3
(f ( a ) 4 f (
ab 2
) f (b ) ) S
( x )d x
取 x） = p n ( x ) 得 插 值 型 求 积 公 式 ， （ 即 ： 用 插 值 多 项 式 p n ( x ) f ( x ),
b a
f ( x )d x
b a
p n ( x )d x
数值分析
数值分析
下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
解得
则
A0 + A2=2/3 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；
1 1
f ( x )d x
1 3
( f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f (1 ))
I=
b a
f(x )d x
b a 2
( f (a ) f (b )) T
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
B y=P1(x)
y=f(x)
A
f1 f0 0 x0=a x1=b x
图1
数值分析
数值分析
（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
数值分析
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第二节 复化求积公式
第三节 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
第五节 数值微分
数值分析
数值分析
引
b a
言
N e w to n L e ib n i tz 公 式 ( 其 中 F ( x )为 f ( x )的 原 函 数 ) f ( x )d x F ( b ) F ( a )
n
b a
f ( x )d x
i0
Ai f ( x i )
从 数 值 逼 近 的 观 点 看 ,所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个 具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 ( x ) 代 替 被 积 函 数 f ( x )， 而 求 出定积分的近似值，即
b a b a
f ( x )d x
k
m
k0
k
m
k x dx
k a
b
k0
k Ai x i
k i0
i0
Ai k x i
k0
i0
n
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