Newton-Cotes求积公式

b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
为插值型求积公式,求积系数为
k 0
b
Ak a lk (x)dx
又 f (x) Ln(x)当 Rf((xx))为不高于n次的多项式时, f(x)=Ln(x) , 其余项R(f )=0。因而这时求积公式至少 具有n次代数精度。
注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数 精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。
l0 (x)
x
1 2
x
3 4
/
1 4
1 2
1 4
3 4
8
x
1 2
x
3 4
l1( x)
x
1 4
x
3 4
/
1 2
1 4
1 2
3 4
16
x
1 4
x
3 4
l2
(x)
x
1 4
x
1 2
/
3 4
1 4
3 4
1 2
8
x
1 4
x
1 2
1
0
l0 (x)dx
1 8 x 0
1 x 2
3 dx 4
1
8
0
x 2
5 4
x
3 dx 8
8 1 5 1 3 8 1 2 8 2 2
3 4 2 8 3 8 3
3
1
0
l1 ( x)dx
1 0
(16)
x
1 4
x
3 dx 4
1
(16)
0
x2
x
3 dx 16
（
16） 13
1 2
3 16
)
;
Ak xm
1 (bm1 m 1
am1) .
（4.2.4）
这是关于Ak的线性方程组，其系数矩阵
1 1
x0
x1
x02
x12
x0m x1m
1
xn
xn2
xnm
是范得蒙矩阵,
当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,
故 Ak 有唯一解。
如果事先选定求积节点，如，以区间［a,b]的等距节点依次为节 点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数 Ak 从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中 介绍。
（
16）
1 6
3 16
16 6
3
1 3
1
0
l2 (x)dx
1 0
8
x
1 4
x
1 2
dx
1
8
0
x2
3 4
x
1 dx 8
8 1 3 1 1 8 2 2
3 4 2 8 3
3
插值型求积公式为
1
0
f (x)dx
132
f
1 4
f
1 2
2
f
3 4
由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。
| Rn | Ak f (xk ) f (xk ) Ak (b a) .
k 0
k 0
所以求积公式(4.2.1)是稳定的．
定理4.1 表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0,1,…,n)， 就能保证计算的稳定性．
问题：
当给定节点a x0 x1 xn b及f ( xi )(i 0,1,, n), 如何选择 求积系数A0 ,, An，使求积公式代数精度尽量高？
练习4.1 求证 1 f (x)dx 1 f (1) 2 f (0) f (1) 不是插值型的求积公式。
1
2
证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2
则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
其中求积系数
b
Ai a li (x)dx, i 0,1, , n
(4.2.6)
定义4.4 对给定互异求积节点a x0 x1 xn b ,若求积系数 Ai (i 0，1， ，n)是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。 此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。
梯形公式
例4.4
b
a f ( x)dx
b a[ f (a) 2
f (b)]
考察其代数精度。
分析：由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
解：逐次检查公式是否精确成立
f(x)
代入
P0
=
1：
b
1
a
dx
b
a
=
ba 2
[1
1]
f(a) a
f(b) b
代入 P1
= x ： bx dx a
a lk (x)dx Ajlk (x j )
j0
而
1 lk (x j ) kj 0
取 f (x) l时k (x)
b
b
n
a f (x)dx a lk (x)dx Ajlk (x j )
j0
k j k j
b
所以有Ak a lk,(即x)求dx积公式为插值型求积公式
证:必要性 设n+1个节点的求积公式
k 0
(4.2.3)
称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有
(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性
为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定求 积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的求 积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低 作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论中 我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出 的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定 义．
二、数值求积公式的收敛性与稳定性
即：初始数据的误差没有引起计算结果的误差增大，即计算是稳 定的。
定理4.1 若求积公式(4.2.1)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的．
证明: 对 0, 若取 ,对k 0,
ba
, n,都有 f (xk ) fk ,则有
n
n
例4.6
试构造形如 3h 0
f(x)dx
A0
f(0)+
A1
f(h)+
A2
f(2h)
的数
值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶
数.
解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
解之得
3h=A0+ A1+ A2
9 2
h2=0
+
A1h+
A22h
9h3=0 + A1h2+ A24h2
§4.2 Newton-Cotes求积公式
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
k 0
(4.2.1)
右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式．其中xk称 为积分节点, Ak为求积系数, 也称之为伴随节点xk的权．
2、求积余项
若 f C (n1)[a,b] , (4.2.5)是插值型求积公式,
b
n
b
b
R[ f ] I In
f (x)dx
a
Ak f (xk ) a [ f (x) Ln (x)]dx a Rn (x)dx
k 0
b a
f (n1) (x ) (n 1)!
n
注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多
项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可。
因此有等价定义。
等价定义4.1´若(4.2.1)对于1，x,…,xm都精确成立，对xm+1不精
确成立，则称(4.2.1)的代数精度为m。
因为函数组(1，x,…, xm)是 Pn[a,b] 的
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念．由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一 个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公 式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。
定义4.1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地 成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m 次代数精度．
一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应 用时，定义4.1′比定义4.1要方便的多．
b
N
I[ f ] f (x)dx a
Ak f ( xkቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
k 0
由定义4.1’可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m， 则求积系数Ak应满足线性方程组：
Ak b a ;
Ak
x
1 2
(b2
a2
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,