祖暅求积法
高考数学公开课——祖暅原理
字景烁，又名祖暅之，是祖冲之 的儿子，自小对数学有浓厚的兴趣，经常与 父亲一起钻研数学问题。祖氏父子在数学和 天文学上都有杰出的贡献。 祖暅修补、编辑了祖冲之的《缀术》。 他运用祖暅原理十分巧妙的推导了球的体积 公式。他在数学上的成就，除了父亲对他的 影响，和他自己后天的努力是分不开的。
球
4 R3 . 3
注意：∵S
1 3 其形式与锥体的体积公式相似． 4 R ， V球 S球表面积 R， 球表面积 3
例 1 有一种空心钢球，重 142 g，测得外径等于 5.0 cm，求它的内径（钢的比重是 7.9 g/cm3．） 解：设空心钢球的内径为 2x cm，那么钢球的重量为
夹在两个平行平面间的两个 几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等。
解释
棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 平行于底面的截面与底面相等． 设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根 据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少 呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长 方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相 等．
中国数学史
1 刘徽 刘徽首先证明了《九章算术》中的球体 积公式是不正确的，并在《九章算术》 “开立圆术”注文中指出了一条推算球体 积公式的正确途径。 刘徽创造了一个新的立体图形，他称之 为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟 合方盖的体积，球体积公式也就唾手可 得。在一立方体内作两个互相垂直的内 切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就 是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖 恰好把立方体的内切球包含在内并且同 它相切。如果用同一个水平面去截它们， 就得到一个圆（球的截面），和它的外 切正方形（牟合方盖的截面）。
祖暅原理完整课件
祖暅原理的应用不仅仅局限于几何学领域，还可以拓展到物理学、 工程学等其他领域，为这些领域的发展提供了数学支持。
提高了数学家的思维能力
祖暅原理的证明需要较高的数学思维能力，因此它的提出也促进了 数学家思维能力的提高。
对后世数学家启示意义
重视基础概念的研究
祖暅原理的提出，强调了基础概念在数学发展中的重要性，对后世 数学家注重基础概念的研究产生了积极的影响。
主要贡献
祖暅在数学方面的主要贡献包括提出祖暅原理，即等高处横截面积相等的两个 立体，其体积也必然相等。这一原理在解决一些复杂的几何问题时具有重要的 作用。
南北朝时期数学发展概况
南北朝时期数学发展背景
南北朝时期是中国古代数学发展的重要阶段，这一时期的数 学家们在继承和发扬前人成果的基础上，取得了许多新的突 破和进展。
如何运用祖暅原理解决实际问题？解决方案：结合实际问题进行分析和讲解，引导学生掌握运用祖暅原理解 决实际问题的思路和方法；同时加强练习和巩固，提高学生的解题能力。
难点三
如何在现代数学视角下重新审视祖暅原理？解决方案：介绍现代数学中的相关概念和性质，引导学生了解祖 暅原理在现代数学中的地位和作用；同时鼓励学生进行探究和创新，发现新的证明方法和应用领域。
祖暅原理完整课件
contents
目录
• 祖暅简介与历史背景 • 祖暅原理内容及表述方式 • 祖暅原理证明方法及过程剖析 • 祖暅原理在几何学中应用举例 • 祖暅原理对数学发展影响及评价 • 跨学科视角下的祖暅原理思考
01
祖暅简介与历史背景
祖暅生平及主要贡献
祖暅生平
祖暅是南北朝时期著名的数学家和天文学家，他的一生致力于数学和天文学的 研究，为后世留下了宝贵的学术遗产。
祖暅(gèng)原理与柱体、锥体、球体的表面积和体积公开课优质获奖课件
棱锥的表面积 侧面展开
练一练、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年, 其形状为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长 230.4米. 这座金字塔的表面积是多少？（只列式 不计算）
D
E
圆柱的表面积
O
l
r
2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
探究 柱体的体积 一:
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、 一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α 内（如图）
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱的体积为：
V柱体= sh
探究 锥体的体积 二:
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个三棱锥、 一个圆锥和一个四棱锥，使它们的下底面在同一个平面α 内（如图）
等底面积等高的两个锥体的体积相等
A
’
探究锥体的体积公式
思考1：一个三棱柱可以分割
成几个三棱锥？
思考2:每个锥体的体积有什么关系？ 说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
A
A
C
’
’
B
’
C
’
2r
l
r
O
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l )
球的表面积
O
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
例、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证:球的表面积等于圆柱的侧面积.
高一数学 祖暅原理 ppt
球表面积和体积的初等教学方法
球表⾯积和体积的初等教学⽅法
⼀、推导⽅法⼩议：
推导球的表⾯积公式和体积公式，⼤体有两⼤⽅法：1、定积分法；2、祖暅原理法。
⽽“定积分法”⼜分两类：（1）多重积分计算法，此法属于⾼等数学的范围，不适合在初等数学中使⽤；（2）定积分定义法，但此法的推导⽐较复杂，特别是推导球的体积公式。
⼆、祖暅原理的特点：
祖暅原理是由柱体和锥体“等底等⾼则等积”的性质推⼴⽽得，实际上就是定积分求体积的前⾝。
祖暅原理通俗易懂，是推导初等数学中常见曲⾯⼏何体（圆柱、圆锥、圆台、球体、球缺、球台）体积公式的最简⽅法。
三、推导⽅法归纳：
（1）球表⾯积：锥带微元法（S=2πph）；
（2）球体积：祖暅原理法；
（3）两者关系式：球锥微元法(V=SR/3)、相似极限法。
祖暅原理金太阳
祖暅原理，也被称为“金太阳”，是中国古代数学家祖暅在公元6世纪发现的一个重要原理。
这个原理在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用，被誉为中国古代数学的瑰宝之一。
祖暅原理的内容非常简洁，但它涵盖了极其深刻的数学思想和哲学思想。
它表述为：“任意三角形ABC的面积S可以用其底AB和对应的高h来表示为S=1/2AB×h。
如果将三角形ABC的底AB分成n等份，每份长度为x，那么三角形ABC的面积S可以表示为S=n/2×x ×h。
”
这个原理的发现，标志着中国古代数学发展的一个重要里程碑。
它不仅揭示了三角形面积的计算方法，而且通过将底分为n等份，引入了无穷小分割的思想，为后续的微积分学发展奠定了基础。
在应用方面，祖暅原理被广泛应用于各种领域。
在水利工程中，祖暅原理被用来计算水库的容量和溢洪道的排水量。
在船舶设计中，祖暅原理也被用来计算船体的阻力、波浪力以及船舶的运动轨迹等。
此外，祖暅原理还在建筑、航空航天、机械工程等领域有着广泛的应用。
总之，祖暅原理是一个非常伟大的数学原理，它不仅是中国古代数学的瑰宝，也是全人类文明发展的重要成果。
通过研究祖暅原理，我们可以更好地理解数学的本质和哲学思想，同时也可以为各种实际问题的解决提供重要的理论支持。
高考数学公开课祖暅原理ppt课件(2024)
在解答学生问题的过程中，教师可以适当提出拓展问题，引导学生 进行更深入的讨论和思考。
20
学生分享学习心得环节
分享学习经验
邀请已经掌握祖暅原理的学生分 享他们的学习经验和方法，帮助 其他同学更好地理解和掌握。
交流学习感悟
鼓励学生分享自己在学习祖暅原 理过程中的感悟和体会，促进彼 此之间的情感交流和学习动力。
2024/1/29
该原理给出了判断两个几何体体积相等的一个充分条件，为求解一些复杂几何体的体积提供了有效方法 。
5
祖暅原理意义
2024/1/29
01
祖暅原理在立体几何中具有重要地位，为解决许多 复杂几何问题提供了有力工具。
02
该原理体现了数学中的转化与化归思想，即通过转 化问题的形式或构造新的图形来简化问题。
12
例题二：利用祖暅原理证明不等式问题
解析
我们可以将函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别视为两个几 何体的侧面，然后通过比较这两个几何体的体积来证 明不等式。
2024/1/29
解答
设函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别与直线$x = 0$、$x = 1$及$x$轴所围成的几何体的体积分别为$V_f$和 $V_g$。根据祖暅原理，如果两个几何体在等高处的截 面积相等，则它们的体积相等。因此，我们可以通过比 较两个几何体在等高处的截面积来证明不等式。在距离 底面高度为$y$处，函数$f(x)$的截面积为$sqrt{y}$， 函数$g(x)$的截面积为$sqrt[3]{y^2}$。由于$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$，所以两个几何体在等高处的截面 积满足$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$。根据祖暅原理，我 们得到$V_f leq V_g$，即当$x in [0,1]$时，有$f(x) leq g(x)$。
祖暅原理的应用求椭球体积
祖暅原理的应用求椭球体积祖暅原理简介祖暅原理是一种数学方法，用于求解椭球体积的问题。
椭球是一种特殊的三维几何体，具有多个重要的性质和应用场景。
祖暅原理被广泛应用于数学、物理和工程学科中。
祖暅原理的数学表达根据祖暅原理，椭球的体积可以通过其主轴和椭球旋转角度来计算。
具体公式如下：V = (4/3) * π * a * b * c其中，V表示椭球的体积，π为圆周率，a、b和c分别表示椭球的三个主轴长度。
祖暅原理的应用举例祖暅原理的应用非常广泛，下面列举几个常见的实际问题。
1.行星体积计算：祖暅原理可以用于计算行星的体积。
根据行星的长半轴、短半轴和极半径，可以求解行星的椭球体积。
2.建筑材料计算：在工程领域，祖暅原理可以用于计算建筑材料的体积。
例如，当需要制作一个椭球形的建筑雕塑时，可以根据给定的尺寸和材料密度来计算所需的材料量。
3.药物颗粒计算：在制药工程中，药物颗粒的设计通常需要考虑药物的体积。
祖暅原理可以用于计算药物颗粒的体积，并确定最佳的颗粒尺寸。
4.液体容器设计：在化学工程中，设计合适的液体容器对于储存和运输液体是非常重要的。
祖暅原理可以用于计算椭球形液体容器的容积，从而帮助工程师设计出满足需求的容器。
祖暅原理的计算方法步骤使用祖暅原理计算椭球体积的方法可以分为以下几个步骤：1.确定椭球的主轴长度：测量椭球的长半轴、短半轴和极半径，分别表示为a、b和c。
2.计算椭球体积：根据祖暅原理的公式V = (4/3) * π * a * b * c，将相应的数值代入计算，得出椭球的体积。
3.单位转换：根据实际需要，将椭球体积的单位转换为所需的单位。
常见的单位包括立方米、升、立方厘米等。
总结祖暅原理是一种用于求解椭球体积的数学方法。
它广泛应用于多个学科领域，包括数学、物理和工程学科。
通过测量椭球的主轴长度和应用祖暅原理的公式，可以准确计算椭球的体积。
祖暅原理的应用涵盖了行星体积计算、建筑材料计算、药物颗粒计算和液体容器设计等多个领域。
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祖暅求积法
祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．
祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．
根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：
．底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)．高作一个几何体V
1
取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2．
另取一个边长为r的正方体V
2
(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，
锥体O′-A′B′C′D′记作V
3，V
2
-V
3
是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′
D′剩下的几何体．下面来证明
V 1=V
2
-V
3
．
设平行于底面与底面距离为h的平面，截V
2
的截面是正方形P′TS′M，面
积等于r2，截V
3
的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2-h2．
比较V
1与V
2
-V
3
在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，
即V
1=V
2
-V
3
．
祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是
几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
积为V
4(是未知数)．和V
1
比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半
祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．。