点的极坐标与直角坐标的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
极坐标与直角坐标的互化推导公式
极坐标与直角坐标的互化推导公式在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们可以互相转换并描述同一点的位置。
下面将通过推导公式，介绍极坐标与直角坐标之间的转换关系。
极坐标与直角坐标的基本概念首先，我们先来了解一下极坐标和直角坐标的基本概念。
•极坐标：极坐标使用极径和极角来表示平面上的点的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的角度。
•直角坐标：直角坐标使用横坐标和纵坐标来表示平面上的点的位置。
其中，横坐标表示点在 x 轴上的投影，纵坐标表示点在 y 轴上的投影。
极坐标转直角坐标接下来，我们将推导出将极坐标转换为直角坐标的公式。
设点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，在直角坐标系中的坐标为 (x, y)。
利用三角函数的关系可得：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这两个公式将极坐标系中的点的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
直角坐标转极坐标同样地，我们也可以推导出将直角坐标转换为极坐标的公式。
设点 P 在直角坐标系中的坐标为 (x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
利用三角函数的反函数可得：$$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$$这两个公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标。
推导过程下面，我们将推导出上述的转换公式。
极坐标转直角坐标首先，考虑直角三角形 OPX，如下图所示：|| O|-----------|-----r | x||P根据三角函数的定义，我们可以得到：$$\\cos(\\theta) = \\frac{x}{r}$$$$\\sin(\\theta) = \\frac{y}{r}$$将上面两个等式进行整理，可以得到：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这就是将极坐标转换为直角坐标的公式。
极坐标与直角坐标的互化公式例题
极坐标与直角坐标的互化公式例题引言在解决数学问题时，我们常常会遇到不同坐标系之间的转换问题。
极坐标和直角坐标是常用的两种坐标系，它们之间存在着互化公式。
本文将通过几个例子来介绍极坐标与直角坐标的互化公式，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
例一：极坐标转直角坐标已知一个点P的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与正方向x轴的夹角。
我们需要将该点的极坐标转换为直角坐标表示。
假设点P的极坐标为(3, π/6)，现在我们来求其对应的直角坐标。
根据极坐标与直角坐标之间的关系，点P的直角坐标表示为(x, y)。
根据互化公式，可以得到以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将已知的极坐标(3, π/6)代入上述公式，可以计算出点P的直角坐标：x = 3 * cos(π/6) = 3 * √3 / 2 = 3√3 / 2 y = 3 * sin(π/6) = 3 * 1/2 = 3/2所以，点P的直角坐标为(x, y) = (3√3/2, 3/2)。
例二：直角坐标转极坐标现在，我们考虑将直角坐标转换为极坐标的情况。
给定一个点Q的直角坐标表示为(x, y)，我们需要求出其对应的极坐标。
假设点Q的直角坐标为(4, 4√3)，我们来求解其极坐标。
根据互化公式，我们得到以下关系：r = √(x^2 + y^2) θ = atan(y/x)将已知的直角坐标(4, 4√3)代入上述公式，可以计算出点Q的极坐标：r = √(4^2 + (4√3)^2) = √(16 + 48) = √64 = 8 θ = atan((4√3)/4) = atan(√3) =π/3因此，点Q的极坐标为(r, θ) = (8, π/3)。
例三：极坐标系与直角坐标系图示通过以上两个例题的互化，我们可以更好地理解极坐标和直角坐标之间的转换关系。
下面我将通过图示来展示这种转换。
首先，我们绘制一个以极坐标为基准的坐标系。
极坐标参数方程与直角方程的互化
极坐标参数方程与直角方程的互化1. 引言极坐标和直角坐标是数学中两种常见的坐标系统。
它们可以用于描述平面上的点的位置，但表示方式不同。
本文将介绍极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系，帮助读者更好地理解这两种坐标系统之间的转换方式。
2. 极坐标参数方程极坐标参数方程是一种使用极径和极角来表示平面上的点坐标的方式。
通过极径表示点到原点的距离，通过极角表示点所在的方向。
极坐标参数方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点的极角，f(θ)是一个函数，用于描述点的位置。
极坐标参数方程的转换方式如下：•将直角坐标点(x, y)转换为极坐标点(r, θ)：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)•将极坐标方程r = f(θ)转换为直角坐标方程：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)3. 直角方程直角方程是一种使用水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）来表示平面上的点坐标的方式。
直角方程通常使用方程的形式来表示点的位置，例如：y = f(x)其中，x是点的水平坐标，y是点的垂直坐标，f(x)是一个函数，用于描述点的位置。
直角方程的转换方式如下：•将极坐标点(r, θ)转换为直角坐标点(x, y)：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)•将直角方程y = f(x)转换为极坐标方程：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)4. 示例下面将通过一个简单的示例来展示极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系。
考虑一个极坐标参数方程r = 2sin(θ)，我们将通过转换来得到对应的直角方程。
首先，我们将极坐标方程转换为直角坐标方程： - x = r * cos(θ) = 2sin(θ) * cos(θ) - y = r * sin(θ) = 2sin(θ) * sin(θ)对于这个简单的极坐标方程，我们可以通过简单的三角函数运算得到对应的直角方程。
1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化
设M( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线 的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2
例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化，是将极坐标和直角坐标进行转换的一种运算方式。
两者的转换有以下两种情形：
1. 极坐标到直角坐标的转换
给定某点的极坐标(r,θ)，其直角坐标依据以下公式计算：
x=r·cosθ
y=r·sinθ
2. 直角坐标到极坐标的转换
给定某点的直角坐标(x,y)，其直角坐标依据以下公式计算：
r=√(x^2＋y^2)
θ=tan^-1(y/x)
上述就是极坐标与直角坐标的互化的简单介绍，因为极坐标和直角坐标之间的转换是日常用到的，如果一个点的坐标出现任何一种情况，可以根据上述的公式将其转换为另一种类型的坐标。
- 1 -。
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
极坐标和直角坐标的互化
思 考：
平面内的一个点既可以用 直角坐标表示，也可以用极坐 标表示.那么，这两种坐标之间 有什么关系呢？
探 究 ：
把直角坐标系的原点 作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两 种坐标系中取相同的 长度单位.设M是平面 内任意一点，它的直 角坐标是（x，y）， 极坐标是（ ρ， θ ） 试用你所学知识写出 它们之间的关系. y M ρ θ O x y N x
3 3 A （ 4 ， ）， B （ 23 ， ）或（ 23 ， ） 4 4 4 C （ 23 ， ）， D （ 3 ， ）
课堂小结
一、极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是 （1）极点与直角坐标系的原点重合； （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合； （3）两坐标系中的长度单位相同.
y
㈠ x=ρcosθM来自y=ρsinθO
ρ θ
x y N x
㈡ ρ2=x2+y2
tanθ=y/x （x≠0）
例题讲解
例1 将点M的极坐标（5，2π/3）化 成直角坐标. 例2 将点M的直角坐标 化 （ 3， 1 ） 成极坐标.
把直角坐标转化为极坐标时，通常有不 同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一 般只要取θ∈[0，2π)就可以了.
二、极坐标与直角坐标互化公式 ㈠ x=ρcosθ ㈡ ρ2=x2+y2 tanθ=y/x （x≠0）
y=ρsinθ
课后作业：
P.12习题 1.2：4，5.
课堂练习
1 将点M的极坐标（2，2π/3）化成 直角坐标.
2、将点M的直角坐标（-2，2 3 ）化 成极坐标.
例题讲解
例3 设点M的极坐标（5，π/3），直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 M关于直线l、极点的对称点的极坐标.
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第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化
一、教学目标
(一)知识与技能目标
掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．
(二)过程与方法目标
能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．
(三)情感态度与价值观目标
极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．
二、教学重难点
1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法；
2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。
三、教学过程
(一)知识回顾、引入新课
知识回顾:
1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素
①极点；
②极轴；
③长度单位；
④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。
2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件
),(θρM ,πθρ20,0<≤>限制条件
3.极坐标与直角坐标的区别
主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的，而极坐标有无数种。
引入新课:
思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这 两种坐标之间有什么关系呢？
（二）新课讲授
1. 极坐标与直角坐标的互化
如图1，设点M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，
若把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，
并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 的极角为θ，极径为ρ，则点M 的极坐标为),(θρ，
图1
问题一：点M 的两种坐标之间有什么关系？
答：从图1可知θρθρsin ,cos ==y x ，① ①说明：已知平面内任意一点M 的极坐标),(θρ可化成直角坐标),(y x . 问题二：如何将点M 的直角坐标),(y x 化成极坐标呢？ 答：由①可知：22(0),tan (0)y x y x x
ρρθ=+>=≠② ②说明：已知平面内任意一点M 的直角坐标),(y x 可化成极坐标),(θρ. 综上可知:(1)极坐标和直角坐标的互化关系式为：
（极⇒直）θρθρsin ,cos ==y x ①
（直⇒极）220),tan (0)y x y x x
ρρθ=+>=
≠② (2)互化公式的三个前提条件：
①极点与直角坐标系的原点重合;
②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；
③两种坐标系的单位长度相同。
注意：当直角坐标落在y 轴上时，极角θ的取值.
2. 例题讲解
)3.(325 111例教材）化成直角坐标，的极坐标（将点例P M π
解：由极坐标化成直角坐标的公式：
θρθρsin ,cos ==y x
可得：
23532sin 5,2532cos 5==-==ππy x
因此，点M 的直角坐标为5.22-（，
巩固练习：
23244322
ππππ已知点的极坐标（，），（，），（，），（），.求它们的直角坐标
解：由极坐标化成直角坐标的公式：cos ,sin x y ρθρθ==
23244322ππππ分别将极坐标（，），（，），（，），（）
坐标分别为代入公式得各点的直角
）），（），（，），（，（0,234,031223223--
)3.()13( 211例教材化成极坐标，将直角坐标点例P M --
解：由直角坐标化成极坐标的公式0),tan (0)y x x ρρθ=>=
≠ 可得：
2ρ===，tan
θ=== 76M πθ因为点在第三象限，所以可取=
7(2,).6M π因此，点的直角坐标为
注意:直角坐标化成极坐标时，通常有不同的表示法
(0,02.)
ρθπ>≤<即：直角坐标化成极坐标要限定,(2)[0,2)πθπ∈极角相差倍一般只要取就可以了.
巩固练习：
732,0023---已知点的直角坐标分别为（，），（），（，），
(0,02).ρθπ>≤<求它们的极坐标限定
(0,02.)ρθπ>≤<注意：直角坐标化成极坐标要限定
解：由直角坐标化成极坐标的公式：
tan (0)y x x ρθ==
≠
732,02--分别将直角坐标（，），（）
代入公式得各点的极坐标分别为47),(,0).32π 轴负半轴上，所以可取）在，因为直角坐标（y 350-23πθ=
的取值。
轴上时，极角注意：当直角坐标落在 θy
），，（），，（点在极坐标系中，已知两例6
72325 3ππB A .,两点间的距离求B A 分析：在直角坐标系中，我们有两点距离公式，若已知平面内任意两点
),,(),,(2211y x B y x A .)()(,212212y y x x AB B A -+-=间的距离为则
解：由极坐标化成直角坐标的公式θρθρsin ,cos ==y x
）代入公式可得，（），，（分别将点672325ππB A
)13(23525---，），，（两点的直角坐标分别为B A
29235)1()25()3(,2
2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=AB B A 间的距离为
三、小结
1、极坐标和直角坐标的互化关系式 （极⇒直）θρθρsin ,cos ==y x
（直⇒极）0),tan (0)y x x
ρρθ=>=≠②
2、互化公式的三个前提条件：)20,0(πθρ<≤>限定 ①极点与直角坐标系的原点重合;
②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系的单位长度相同。
注意：当直角坐标落在y 轴上时，极角θ的取值.
四、作业布置
2.1 12练习P。