高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法课件.ppt

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3 点注意 运用数学归纳法应注意以下三点：①n＝n0 时成立，要弄清楚命题的含义。②由 假设 n＝k 成立证 n＝k＋1 时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k 成立的结论。③要 注意 n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项数。
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1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验 n
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第七节 数学归纳法
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
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考 纲 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤。 导 学 2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析
问题、解决问题的能力。
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课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
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1．归纳法
□ 由一系列有限的特殊事例得出 1 __一__般__结__论__的推理方法叫归纳法。根据推理过
□ □ 程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为
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完全 ____________
归纳法和
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____不__完__全______归纳法。
2．数学归纳法
(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当 n 取第 1 个值 n0 时命题
成立；②假设当 n＝k，(k∈N＋，且 k≥n0 时，命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1 时
解析：∵由 n＝k 成立推证 n＝k＋1 成立时必须用上归纳假设， ∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6。 答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
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考点一
用数学归纳法证明等式
【例 1】 已知 n∈N*，证明：1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋
等于( )解析：边数最小的凸多边形是三角形。 答案：C
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2．已知 f(n)＝1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则(
)
A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14 C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13 D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
命题也成立，那么可以断定这个命题对于 n 取第 1 个值后面的所有正整数成立。
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(2)数学归纳法证题的步骤：
□ ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 4 __n_＝__n_0___时，命题成立。 □ □ ②(归纳递推)假设 5 _n_＝__k____(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 6 _n_＝__k_＋__1_
时命题也成立。 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。
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2 个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的 “基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下 两点： (1)第一步验证 n＝n0 时，n0 不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值。 (2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 n＝k＋1 时，命题也成 立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑 结论”。
答案：B
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4．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的内角和 f(k＋1)＝f(k)＋ __________。
解析：由凸 k 边形变为凸 k＋1 边形时，增加了一个三角形，故 f(k＋1)＝f(k)＋π。 答案：π
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5．用数学归纳法证明“n3＋5n 能被 6 整除”的过程中，当 n＝k＋1 时，对式 子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________。
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通关特训 1 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)。 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)。
证明：当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1。 右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立。 假设 n＝k 时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
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＝(k＋1)fk＋1－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立。 ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)。
解析：项数为 n2－(n－1)＝n2－n＋1。 答案：D
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3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从
“k 到 k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
2k＋1 C. k＋1
2k＋3 D. k＋1
解析：n＝k＋1 时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k ＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘 2(2k＋1)。
21n。
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－21＝21， 右边＝21，等式成立；
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(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么当 n＝k＋1 时， 左边＝1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1－2k＋1 1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
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＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋k＋11＋k＋k＋1＋1 k＋1，
所以当 n＝k＋1 时等式也成立。
综合(1)(2)知对一切 n∈N*，等式都成立。
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►名师点拨 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是几； (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式子， 即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。