奥数-等腰三角形和等边△-师
小学奥数《三角形的认识》教学课件
本讲主要内容： 三角形的定义； 三角形的分类； 三角形的三边关系； 三角形的内角和； 三角形的外角和。
新知探究
mathematics
知识梳理
数学知识点
mathematics
总一关：认识三角形 按边分类； 按角分类
新知探究
mathematics
第三关：多边形内（外）角和 每增加一条边，内角增加180度； 任意多边形外角和都是360度
1
2
3
1
3
2
其它多边形的内角和都 是通过三角形得到的
数学例题
mathematics
例题1： （1）三角形是由___________条边，___________个角，___________个顶点构成的； 下图 是一个三角形，如果用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，那么这个三角形可以表 示为___________。 （2）三角形可以按照角来分： 三个角都是锐角的三角形叫做____________________； 有一个角是直角的三角形叫做____________________； 有一个角是钝角的三角形叫做____________________。 （3）三角形也可以按照边来分： 有两条边相等的三角形叫做____________________； 三条边都相等的三角形叫做____________________。
多边形内角和： 设边数为n，内角和为180°×（n-2）。 多边形外角和： 任意多边形外角和是360°。
2 1
1
3
2
4
1
3
2
数学例题
mathematics
例题3： （1）三角形三个内角的角度之和是多少度？你是怎么得到的呢？ （2）如图 1，∠1+∠2+∠3+∠4=___________． （3）如图 2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____________． （4）如图 3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______________． （5）通过以上题目，总结： n边形的内角和=______________．
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
小学奥数模块教程三角形
一、 三角形的定义：（一）、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
（二）、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
底二、 三角形的特性：（一）、物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
（二）、边的特性：任意两边之和大于第三边。
为了表达方便，用字母A 、B 、C 分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC 。
A+B ﹥C三、 三角形的分类：（一）、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
（二）、按照边长短来分：等边三角形（正三角形）、等腰三角形、三条边都不相等的三角形 ※三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°四、 图形的拼组：（一）、用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（二）、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。
（三）、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
五、 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。
顶点 边高知识框架三角形A BC哪种方法更牢固，为什么？【例 1】 是三角形的打“√”，不是三角形的画“○”。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）【巩固】 一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。
【例 2】 一个三角形有（ ）条高。
A 、1B 、3C 、无数【巩固】 直角三角形、钝角三角形只有一条高。
（ ）【巩固】 锐角三角形都有三条高。
（ ）【例 3】 根据下面每个图形标出的底，画出图形的高。
【例 4】底底底例题精讲【巩固】自行车的三角架运用了三角形的（）的特征。
A、稳定性B、有三条边的特征C、易变形【例 5】在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
(完整版)小学奥数教程之角度计算教师版全国通用
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
等腰三角形与等边三角形的性质与计算方法
等腰三角形与等边三角形的性质与计算方法等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形，而等边三角形则是指三条边长度都相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形和等边三角形具有一些特殊的性质和计算方法。
本文将介绍这些性质和计算方法，并探讨它们在解题中的应用。
一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
2. 性质一：等腰三角形的顶角（非底边对应的角）相等。
证明：假设等腰三角形的两条边等长的边为AB，底边为CD。
以A、B为圆心，AB为半径画两个弧交于E。
由于AE=BE，CD=ED（共边），所以三角形AEC与BEC是两个等边三角形，所以∠AEC=∠BEC，即x=y。
3. 性质二：等腰三角形的底角（底边对应的角）相等。
证明：同性质一的证明思路，以C、D为圆心，CD为半径画两个弧交于F。
由于CF=DF，AB=FB（共边），所以三角形ACF与BDF是两个等边三角形，所以∠ACF=∠BDF，即θ=θ。
4. 性质三：等腰三角形的高线（从顶点到底边中点的垂直线）是等腰三角形的角平分线。
证明：在等腰三角形ABC中，连接顶点A和底边中点D，并作AD的垂直平分线DE。
由于AD=BD（等腰），∠EAD=∠EBD（定理），所以三角形ADE与BDE是两个全等三角形，所以∠DAE=∠DBE，即∠A/2=∠B/2。
二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
2. 性质一：等边三角形的三个内角都是60°。
证明：假设等边三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
可以将等边三角形分为3个等腰三角形，以及3个等腰三角形的高线。
由等腰三角形的性质可知，等边三角形的3个内角分别为2∠A、2∠B和2∠C。
又由于三个内角之和为180°，所以2∠A+2∠B+2∠C=180°。
化简得∠A+∠B+∠C=60°。
3. 性质二：等边三角形的高线、中线和角平分线重合，且交于三角形的重心。
小学奥数系列训练题-几何计数｜通用版
2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十讲 等腰三角形和等边三角形
一、 基础知识
1．等腰三角形的性质及推论：
（1） 等腰三角形的两底角相等
（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
（3） 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于︒60
2．等腰三角形的判定及推论：
（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等
（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
（3）有一个角为︒60的等腰三角形是等边三角形
尤其要注意全等在等腰、等边三角形中的应用.
二、名校真题回放
1．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)如图，在△ABC 中，AC AB =，
它的周长为24，又BC AD ⊥于D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长为多少？
解答：8
2．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)在等边三角形ABC 中，E D ,分
别在边AC BC ,上，AE DC =,F BE AD 交于点,.请你判断ABE DAC ∠∠和的大小关系，并证明你的结论.
解答：ABE DAC ∠=∠
3．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知：如图，△ABC 中，
AC AB =，D 为AC 上一点，A DBC ∠=∠2
1.求证：BD AC ⊥ 解答：利用三角形内角和.
4．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知△ABC 的三边c b a ,,满足
等式：02222=-+-bc ab c a ，试说明△ABC 是等腰三角形.
解答：0)2)((=++-b c a c a
5. （2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片
ABCD ,AD ∥BC ,︒=∠90BDC .将其沿对角线BD 翻折后压
平，AD 和'BC 相交于点E ，则图中的等腰三角形有
__________________,_________________（只写出两个正确结论）
解答：△BED ，△'BCC 等等.
三、活题巧解
（一）等腰三角形的性质
例1．（2001年湖州市中考题）如图，在△ABC 中，BC AC C =︒=∠,90，AD
平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长是多
少？
解答：6cm
例2．（2002年上海市竞赛题）如图，BD AC ,相交于E ，AC 平分DAB ∠，
且AC AD AE AB ==,，有以下四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）DE BC =；
（3）DAB DBC ∠=∠21；（4）△ABE 是等边三角形.其中正确的结论是什么？ 解答：（2）（3）
例3．(1996年连云港市中考题)在△ABC 中，AC AB =，P 为三角形内一点，
APC APB ∠<∠，则PBC ∠与PCB ∠的大小关系如何？
解答：作BAP CAQ ∠=∠，并使得AP AQ =，连接CQ ，得到PBC ∠<PCB ∠
例4．（第11届“希望杯”试题）如图，在△ABC 中，
︒=∠==60,4,2ACB BC AC ，将△ABC 折叠，使得点B 和点C 重
合，折痕为DE ，则△AEC 的面积是多少？
解答： 33
2 例5．（2004年洛阳市中考题）用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，其面积为b 平方米，现在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边的距离之和是多少米？
解答：
a
b 6米
例6．(1997年天津市竞赛题)如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，CD BD BDC =︒=∠,120，点N M ,分别在AC AB ,上，且
︒=∠60MDN ，连结MN ，求证：△AMN 的周长等于2.
解答：延长AC 至E ，使BM CE =，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，
再证△MDN ≌△EDN .
例7．(2000年无锡市竞赛题)在△ABC 中，AC AB =，过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.
解答：共有4种情况，其内角相应度数为
)7
540,7540,7180(
),72,72,36(),108,36,36(),90,45,45(︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒
（二）等腰三角形的判定
例8．(2002年泰州市中考题)如图，在△ABC 中，AC AB =，︒=∠36A ，CE
BD ,分别为ACB ABC ∠∠,的角平分线，且相交于F ，则图中的等腰三角形有几个？
解答：8个
例9．（2003年长春市中考题）在△ABC 中，C B ∠=∠2，则AC 与AB 2之间的大小关系是什么？ 解答：作D BC C CAD 于交∠=∠，得到AB AC 2<
例10．（1999年江苏省竞赛题）已知△ABC 是等边三角形，E
是AC 延长线上的任意一点，△CDE 也是等边三角形，若N
M ,分别是线段BE AD ,的中点，求证：△CMN 是等边三角形.
解答：先证△ACD ≌△BCE ，再证△DCM ≌△ECN ，得
到︒=∠=60,NCM CN CM
例11．（1996年北京市竞赛题）三角形三边长c b a ,,满足c b a c b a +-=+-1111，则三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.以a 为底边的等腰三角形
C.以c 为底边的等腰三角形
D.等腰三角形
解答：把原式恒等变形，得到0))()((=+--c a b a c b ，故选D.
例12．（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成3:5的两部分，则此三角形的底边长是多少？
解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为a 6
1 例13．（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AC AB =，D 为△ABC
外一点，,60︒=∠ABD BDC ADB ∠-
︒=∠2
190，则AB 与CD BD +的大小关系如何？
解答：延长CD 至E ，使BD DE =，连结AE .得到CD BD AB +=
例14．(1999年天津市竞赛题)如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中
线，E 是AD 上的一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：
EF AF =
解答：延长ED 至H ，使DE DH =，连结CH .
四、练习
1．(第11届“希望杯”试题)若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，求底边的长. 解答：2或4
2．(2005年银川市中考题)如图，以直角三角形ABC 的两直角边BC
AB ,为一条边，分别作等边△ABE 和等边△BCF ，连接EC EF ,.求证：（1）
EC EF =；
（2）CF EB ⊥. 解答：证明△EBF ≌△EBC
3．（2001年柳州市中考题）如图，在等边△ABC 中，BE AD CD AE ,,=相交于P
点，AD BQ ⊥于Q .求证：PQ BP 2=.
解答：证明△ABE ≌△CAD
4．(第11届“希望杯”试题)一个三角形的三条边的长分别是c b a c b a ,,(,,都是质
数），且16=++c b a ，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形或等腰三角形
解答：B
5．(2002年江苏省初二第二试)如图，在△ABC 中，︒=∠=90,ACB BC AC ，
D 是AC 上一点，BD A
E ⊥于E ，BE 交AC 于D ，BD AE 21=
，求证：BD 是ABC ∠的平分线.
解答：延长BC AE ,相交于F .。