知识点26 等腰三角形与等边三角形2019

一、选择题 12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，

垂足为点D ，E ，连接AC ，BC

．若AD =

3CE =，则»AC 的长为（ ）．

A

B

C

D

【答案】D

【解题过程】连接OC ，

因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，

所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，

所以90ACB ∠=︒，

所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,

因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,

所以

BC CE AC AD ===在Rt △ACB

中，sin BC

BAC AC

∠=

= 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，

所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，

因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，

因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，

所以60DAC ACO ∠=∠=︒，

所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，

所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，

所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，

O

D

E

B

A

所以»

AC 的长为602323

ππ⨯⨯=．

8．（2019·娄底）如图（2），边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为（ ）

A. 1 B ．

3 C ． 2 D ． 23

【答案】A

【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD 中，从而解得．

如图（2－1），设D 为⊙O 与AC 的切点，连接OA 和OD ，

∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，

∴OD ⊥AC ，∠OAD ＝30°，OD 即为圆的半径． 又∵23AC =，

∴11

23322

AD AC =

=⨯= ∴在直角三角形OAD 中，

3

tan tan 303

OD OAD AD ∠=︒=

==， 代入解得：OD ＝1．

故答案为 1．

1.（2019·潍坊）如图已知∠AOB ，按照以下步骤作图：

①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．

②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ．

下列结论中错误的是（）

A ．∠CEO =∠DEO

B ．CM =MD

C ．∠OC

D =∠ECD D ．S 四边形OCED =

1

2

CD ·OE

【答案】C

【解析】由作图可知OC =OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，所以△OCE ≌ODE ，∴∠CEO =∠DEO ，选项A 正确，根据“三线合一”可知，CM =MD ，CD ⊥OE ，所以选项B 、D 正确；选项C 错误；故选C.

2.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能

三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动。C 点固定，OC =CD =DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是 A .60° B .65° C .75° D .80°

【答案】D

【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC =CD =DE ，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O ，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE =180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D.

3.（2019·重庆A 卷）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得到△BDC'，

DC '与AB 交于点E ，连结AC'，若AD ＝AC '＝2，BD ＝3，则点D 到BC '的距离为（）

A ．

233 B ．7

21

3 C ．7 D ．13

【答案】B

【解析】如答图，过点D 作DM ⊥BC '于点M ，过点B 作BN ⊥DC '于点N ，由翻折可知DC '＝DC ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠B DC '．∵AD ＝AC '＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC '＝∠B DC '＝∠BDC ＝60°．在Rt

△BDN 中，DN ＝

12BD ＝32，BN C N '＝12．于是，BC '．∵BDC S '∆＝

11

22

DC BN BC DM

''

⋅=⋅，∴DM＝

DC BN

BC

'⋅

'

＝

33

2

2

7

⨯

＝

321

．故选B．

4.(2019·聊城)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC 分别交于点E,F时,下列结论中错误的是

A.AE+AF＝AC

B.∠BEO+∠OFC＝180°

C.OE+OF＝

2

BC D.S四边形AEOF＝

1

2

S△ABC

【答案】C

【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO ＝

1

2

S△ABC,故D正确；故选C.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

二、填空题

14．（2019·绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为.