等腰三角形知识点
等腰三角形
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2. 定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E
例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。
A
B
C
D
例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
求证：DCB 2B AC ∠=∠。
C
说明：
1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。
因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB ∠的等角等。
4、中考题型：
1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
A 36° E D
F
B
2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE ＝AF 。
A
E F B
D
C
5、题形展示：
例1. 如图，AB C ∆中，
100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。
求证：B C B D AD =+。
【实战模拟】
1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm
B. 8cm
C. 2cm 或8cm
D. 以上都不对
2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，
，则1∠的度数是________。
C
A 1
D
B
2 3
3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
A
E D
O B
C
1 2
4. AB C ∆中，
120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，
求证：BC 2
1
DE =。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形的知识点不算十分的多，而且较为简单，但却是的必考点之一。
以下是小编为大家精心整理的等腰三角形知识点总结，欢迎大家阅读。
等腰三角形知识点总结等腰三角形的轴对称性:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60 °角的AC方向前进至C，在C处测得C=30 ° .量出AC的长，它就是河宽(即A，B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.解：小聪的测量方法正确.理由如下：∵ ∠DAC= ∠B+ ∠C(三角形的外角的性质)∴ ∠ABC= ∠DAC- ∠C=60 ° -30 ° =30 °∴ ∠ABC= ∠C∴AB=AC(在一个三角形中，等角对等边.)60 °BAC例2：上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A+∠C∴∠C=80°- 40°= 40°∴ BA=BC(等角对等边)∵AB=20(12-10)=40∴BC=40答：B处到达灯塔C40海里ABN80°40°C1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)14或162、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________判断下列语句是否正确。
初二数学等腰三角形知识点解析
初二数学等腰三角形知识点解析等腰三角形性质：(1)具有一般三角形的边角关系(2)等边对等角;(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合;(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线;(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半;(6)顶角等于180减去底角的两倍;(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角.等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形.等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等并且每个都是60。
5. 等腰三角形的判定：①利用定义;②等角对等边;等边三角形的判定：①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半。
三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角;大角对长边，小角对短边。
等腰三角形的分类：等腰直角三角形1、定义有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。
它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
2、关系等腰直角三角形的边角之间的关系：⑴三角形三内角和等于180。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑸在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。
3.四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
⑴三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
⑵三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
⑶三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。
⑸三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。
一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。
2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。
3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。
二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。
也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。
2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。
如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。
3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。
如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。
三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。
如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。
2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。
如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。
3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。
如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。
四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。
五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。
2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。
3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。
总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。
通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结
等腰三角形是指两边相等的三角形。
以下是等腰三角形的知识点总结：
1. 定义：等腰三角形是指两个边长相等的三角形。
2. 性质：等腰三角形的底边角（底角）两个相等，顶角等于180度减去底角的两倍。
3. 对称性：等腰三角形具有对称性，即如果一边平行于另一边，则它们所对的角相等。
4. 高：等腰三角形的高是从顶角到底边的垂直线段，高平分底角。
5. 中位线：等腰三角形的中位线是从顶角到底边中点的线段，中位线平行于底边，且长度为底边的一半。
6. 周长和面积：等腰三角形的周长等于底边长度的两倍加上两边的长度之和，面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算。
7. 等腰直角三角形：当等腰三角形的顶角为直角时，称为等腰直角三角形，即一个直角三角形的两个直角边相等。
8. 等腰锐角三角形：当等腰三角形的顶角为锐角时，称为等腰锐角三角形，即一个锐角三角形的两个锐角边相等。
9. 等腰钝角三角形：当等腰三角形的顶角为钝角时，称为等腰钝角三角形，即一个钝角三角形的两个钝角边相等。
以上是等腰三角形的主要知识点总结，掌握这些知识可以帮助我们理解和解题相关的问题。
等腰三角形
第一讲 等腰三角形知识点：一、认识三角形 1、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
需要稳定的东西 一般都制成三角形的形状。
4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等 的直角三角形。
5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
7、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高 二、等腰三角形相关知识点 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
初二数学等腰三角形知识点
初二数学等腰三角形知识点等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
等腰三角形性质：(1)具有一样三角形的边角关系(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍同时大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180减去底角的两倍；(7)顶角能够是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等同时每个差不多上60。
5. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对等边；等边三角形的判定：①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半。
“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册13.3等腰三角形知识点归纳有两边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形的性质：
1、腰相等
2、底角相等（也叫“等边对等角”）
3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也叫“三线合一”）
等腰三角形的判定：
1、如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（也叫“等角对等边”）
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
它们的关系如下图：
等边三角形的性质：
1、三边相等。
2、三个内角都是60°。
3、等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也叫“三线合一”）
等边三角形的判定：
1、如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形。
2、如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
3、如果一个三角形有两边相等，且一个内角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。
在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半。
在等腰直角三角形中，三边之比为1:1:√2。
在含有30°的直角三角形中，三边之比为1:√3:2 。
关于等腰三角形的知识点
关于等腰三角形的知识点等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，其特点是两条底边相等，两条底边对应的角也相等。
一.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两边相等，所以两个底角（等腰角）也相等。
2.等腰三角形的等腰角的两边垂直于底边。
3.等腰三角形的顶角是两个底角的和的一半。
二.等腰三角形的判定：1.已知三条边是否构成等腰三角形：若三条边中有两条边相等，则构成等腰三角形。
2.已知两边和一个角是否构成等腰三角形：若两边相等，且夹角和已知角相等，则构成等腰三角形。
三.等腰三角形的性质推论：1.等腰三角形的底角相等，所以它的底边中点到顶角的连线垂直于底边，且平分这个顶角。
2.等腰三角形的底边中线长度等于等腰三角形的高。
3.等腰三角形的高和底边的垂直平分线、顶角的平分线三者交于一点，该点称为等腰三角形的垂心。
四.等腰三角形的周长和面积公式：1.周长：等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上两腿长的和。
2.面积：等腰三角形的面积等于底边乘以高的一半。
五.等腰三角形的应用：1.几何推理中，在证明等腰三角形的性质时，可以运用等腰三角形的特点来进行推导。
2.在实际生活中，例如电线杆、架子等物体，常常采用等腰三角形的形状设计，因为等腰三角形具有稳定的结构和均衡的分布特点。
3.在三角函数的计算中，等腰三角形也是重要的一种特殊三角形，通过利用等腰三角形的性质，能够简化计算过程。
六.相关定理：1.三角形的内角和等于180°，因此等腰三角形的底角都相等，所以两个底角相加等于180°减去顶角。
2.根据三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角也相等，因此底角相等的两个三角形的另一个角也相等。
七.正弦定理和余弦定理在等腰三角形中的应用：1. 当等腰三角形的顶角为θ时，底边和腰长可以用正弦定理和余弦定理表示为：底边=2r⋅sin(θ/2)，腰长=2r⋅cos(θ/2)，其中r为等腰三角形的半径。
2.利用正弦定理和余弦定理可以计算等腰三角形的周长、面积等相关问题。