等腰三角形知识点归纳及提高资料讲解
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。
一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。
2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。
3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。
二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。
也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。
2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。
如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。
3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。
如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。
三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。
如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。
2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。
如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。
3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。
如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。
四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。
五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。
2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。
3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。
总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。
通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。
等腰三角形性质及判定(提高)知识讲解
等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：∠A＋∠B＝90°，（2）作图：猜想：∠B＝3∠A.【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠CBD=∠EBD，∵在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED，∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+AE，∴AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则∠F=∠CDF ，∵∠ACB=∠F +∠CDF ，∴∠ACB=2∠F ，∴∠ACB=2∠A ，∴∠A=∠F ，在△ABD 和△FBD 中，，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴AB=BF ，∵BF=BC +CF ，∴BF=BC +CD ，∴AB=BC +CD ．【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形． 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ A B CD EF G,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴ 4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC,∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD 为△ABC 的内角平分线，且AD ＝AB ，CM ⊥AD 于M.求证：AM ＝12(AB ＋AC) ．【答案】证明：延长AM 至点E ，使ME ＝AM ，连接CE.,,..,....AM ME CM AE AC CE E CAM AD BAC CAM BAM E BAM AB CE B BCE =⊥=∠=∠∠∠=∠∠=∠∠=∠∵∴∴∵平分∴∴∴∥∴ ,.,..2.AB AD B ADB CDE ADB CDE BCE DE CE AM AE AD DE AB AC =∠=∠∠=∠∠=∠===+=+∵∴又∵∴∴∴ ∴()12AM AB AC =+。
等腰三角形的性质与计算知识点总结
等腰三角形的性质与计算知识点总结等腰三角形是一种特殊的三角形，在几何形状中具有重要的性质和计算知识点。
本文将对等腰三角形的性质和计算知识点进行总结，并通过例题加深对这些概念的理解。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质：等腰三角形指的是两边长度相等的三角形。
其中，两边相等的边称为腰，另一边称为底边。
2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（顶点所在的两个角）相等。
3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（与底边不相邻的角）是单个角度，并且等于底角的补角。
二、等腰三角形的计算知识点1. 等腰三角形的周长计算：等腰三角形的周长可通过底边的长度和腰的长度计算得出。
例题：已知等腰三角形的腰长为a，底边长度为b，求等腰三角形的周长。
解答：等腰三角形的周长为2a + b。
2. 等腰三角形的面积计算：等腰三角形的面积可通过底边的长度和高的长度计算得出。
例题：已知等腰三角形的底边长度为a，高的长度为h，求等腰三角形的面积。
解答：等腰三角形的面积为(1/2) * a * h。
3. 等腰三角形的角度计算：等腰三角形的角度可以通过已知边长或已知角度来计算。
例题：已知等腰三角形的腰长为a，底边长度为b，求等腰三角形的两个底角大小。
解答：由于两底角相等性质，可得到角A = 底角B = (180° - 底角C) / 2。
4. 等腰三角形的边长计算：等腰三角形的边长可以通过已知角度和一边的长度来计算。
例题：已知等腰三角形的顶角大小为α，腰长为a，求等腰三角形的底边长度。
解答：根据顶角性质可得到底角的大小为β = (180° - α) / 2。
然后，可以利用正弦定理或余弦定理计算底边的长度。
综上所述，本文总结了等腰三角形的性质和计算知识点。
了解等腰三角形的性质和计算方法，可以帮助我们更好地应用这些知识解决各种几何题。
等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解
等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形． 举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长11052=⨯=． 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ． 【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°． 类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；C A（2）例如，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x，则∠G=2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF．【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△A BCDE FG,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决． 举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFEBFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可． 【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ， 即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。
关于等腰三角形的知识点
关于等腰三角形的知识点等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，其特点是两条底边相等，两条底边对应的角也相等。
一.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两边相等，所以两个底角（等腰角）也相等。
2.等腰三角形的等腰角的两边垂直于底边。
3.等腰三角形的顶角是两个底角的和的一半。
二.等腰三角形的判定：1.已知三条边是否构成等腰三角形：若三条边中有两条边相等，则构成等腰三角形。
2.已知两边和一个角是否构成等腰三角形：若两边相等，且夹角和已知角相等，则构成等腰三角形。
三.等腰三角形的性质推论：1.等腰三角形的底角相等，所以它的底边中点到顶角的连线垂直于底边，且平分这个顶角。
2.等腰三角形的底边中线长度等于等腰三角形的高。
3.等腰三角形的高和底边的垂直平分线、顶角的平分线三者交于一点，该点称为等腰三角形的垂心。
四.等腰三角形的周长和面积公式：1.周长：等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上两腿长的和。
2.面积：等腰三角形的面积等于底边乘以高的一半。
五.等腰三角形的应用：1.几何推理中，在证明等腰三角形的性质时，可以运用等腰三角形的特点来进行推导。
2.在实际生活中，例如电线杆、架子等物体，常常采用等腰三角形的形状设计，因为等腰三角形具有稳定的结构和均衡的分布特点。
3.在三角函数的计算中，等腰三角形也是重要的一种特殊三角形，通过利用等腰三角形的性质，能够简化计算过程。
六.相关定理：1.三角形的内角和等于180°，因此等腰三角形的底角都相等，所以两个底角相加等于180°减去顶角。
2.根据三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角也相等，因此底角相等的两个三角形的另一个角也相等。
七.正弦定理和余弦定理在等腰三角形中的应用：1. 当等腰三角形的顶角为θ时，底边和腰长可以用正弦定理和余弦定理表示为：底边=2r⋅sin(θ/2)，腰长=2r⋅cos(θ/2)，其中r为等腰三角形的半径。
2.利用正弦定理和余弦定理可以计算等腰三角形的周长、面积等相关问题。
等腰三角形知识点+经典例题
等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。
本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。
一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。
3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。
4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。
二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。
2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。
3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。
三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。
2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。
3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。
四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。
解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。
又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。
三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。
根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。
例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形是初中数学中较为基础的几何图形之一，也是我们在生活中常见的一个形状，例如一些路标、旗帜等等。
对于学习等腰三角形，我们需要掌握一些基本概念和性质。
下面就来一一介绍。
一、基本概念1、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等、两个底角相等的三角形。
通常用“△ABC”表示，其中AB=AC。
2、底边等腰三角形的两条等边称为底边，通常用“BC”表示。
3、顶点角、底角等腰三角形的一个顶点所对的角称为顶点角，另外两个角称为底角。
4、高等腰三角形的高指从顶点到底边的垂线段，通常用“AD”表示。
二、等腰三角形的性质1、定理1等腰三角形的两个顶点角相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，则角B=角C。
（结合等腰三角形仿形的原理可知，两个三角形只有当对应边与对应角彼此相等时才叫做相似）2、定理2等腰三角形的底角的平分线也是它的高线。
证明：因为角A等于角B，所以它们的平分线重合，即AD 也是角B的平分线。
3、定理3等腰三角形的高线与底边平分线重合。
证明：将等腰三角形△ABC的两条等边分别延长，分别交于点D和点E，连接DE，则△EBD与△ECD是全等三角形，所以BD=DC。
（利用等腰三角形仿形的原理）又因为AD⊥BC，DE=BC，所以AD也是BC的平分线，即AD平分BC。
4、定理4等腰三角形所在的平面是一个轴对称图形，且对称轴为底边的中垂线。
证明：连接AB，AC，则AD是三角形的高和底角的平分线。
过D作法线DE交BC于点M，则DM=MB，故M为BC的中点，易知M是△ABC的中心，即AD为中心线。
根据轴对称和中心对称的知识，可知△ABC的所在平面是对称的。
三、等腰三角形的面积公式等腰三角形的面积公式为：S=1/2×底边长×高。
证明：从顶点A向BC作高线AD，分别连接AB和AC，则△ABC可看成两个直角三角形，S=1/2×AB×AD=1/2×AC×AD，化简可得S=1/2×BC×AD。
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结
等腰三角形是一种特殊的三角形，其任意两边长度相等。
以下是等腰三角形的一些知识点总结:
1. 等腰三角形的定义：三角形任意两边长度相等，则该三角形
为等腰三角形。
2. 等腰三角形的判定方法:(1) 两边相等;(2) 两角分别相等且
夹角相等;(3) 两腰长度相等且夹角相等。
3. 等腰三角形的性质:(1) 等腰三角形的顶点到对边的距离相等;(2) 等腰三角形的底边上的中线等于底边的一半;(3) 等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高相互平分。
4. 等腰三角形的应用场景：等腰三角形在几何学中经常出现，
主要用于解决三角形的面积、周长、角平分线等问题。
5. 等腰三角形的求解方法:(1) 利用等腰三角形的性质求解;(2) 利用等腰三角形的判定方法求解;(3) 利用勾股定理求解。
总之，等腰三角形是三角形中一种特殊的形态，其性质和判定方法较为复杂，需要深入理解和掌握。
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等腰三角形知识点归
纳及提高
等腰三角形知识点归纳及提高
知识点归纳：
（一）等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2、定理及推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边
相等推出两
角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1、有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明
线段相等的重
要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
3、等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。
例1、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，
且CE=CD，D M⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
例2、如图，已知：△ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，且ＡＤ＝ＤＢ，ＤＣ
＝ＣＡ，求∠ＢＡＣ的度数
例3、已知：如图：△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D。
求证：∠BAC=2∠DCB。