热力学与统计物理期末复习笔记1

热力学与统计物理期末复习笔记1

《热力学统计物理》期末复习

一、简答题

1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）

答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；

自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；

吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。

2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？

答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。

3、简述平衡态统计物理的基本假设。

答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。

4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。

答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均

匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数称为特性函数。简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。 5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。 答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。

6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。

答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。

7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=k lnΩ

熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。 8、

简述开系、闭系以及孤立系的定义。

答：热力学研究的对象是由大量微观粒子（分子或其它粒子）组成的宏观物质系统。与系统发生相互作用的其它物体成为外

界。根据系统与外界相互作用的情况，可以作以下区分：与其它物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界有能量交换，但没有物质交换的系统称为闭系；与外界极有能量交换，又有物质交换的系统称为开系。

9、判断孤立系统是否处于平衡态的基本原则以及熵判据。

答：基本原则：可以设想系统围绕该状态发生各种可能的虚变动，而比较由此引起热力学函数的变化，根据热力学函数处在平衡态时的性质来判断系统的状态。

熵判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的熵增加的方向进行。如果孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不可能再发生任何宏观的变化，系统就达到了平衡态。

因此孤立系统/处在稳定平衡状态的必要和充分条件为：

1

2<

δ。

Sδ

S

+

=

?S

10、写出熵判据的內容。

答：孤立系统的熵永不减少，过程进行时熵增加，直到熵达到最大值，系统处于平衡态。

11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.

答：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不引起其他变化。

12、写出等概率原理的内容。

答：处于平衡态的孤立系统，各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。

答：（开尔文表述）不可能制造出这样一种循环工作的热机，它只使单一热源冷却来做功，而不放出热量给其他物体，或

者说不是外界发生任何变化。

（克劳修斯表述）不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化。用数学式表示为：dW

≤。

TdS

dU+

14、简述等概率原理

答：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。该原理是统计物理中一个基本的假设。15、什么是能量均分定理？

答：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中的

1。这是根据经典玻耳兹曼分布导每一个平方项的平均值等于kT

出的一个重要定理。

16、什么是微观粒子的全同性原理？

答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。

17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布{ a l }的表达式

答：三个系统的分布{ a l }的表达式分别为：

玻耳兹曼系统：l

e a l l βεαω--=；玻色系统：1

-=

+l e a l

l

βαω费米系统：

1

+=

+l

e

a l

l βαω

18、简述卡诺定理的内容。

答：卡诺定理指出：所有工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机，以可逆的卡诺机的效率为最大，任可ηη≥。 19、吉布斯函数的定义及其物理意义 答：吉布斯函数定义为：PV TS U G +-=。

吉布斯函数是一个态函数,它的变化可以用可逆的等温 等压过程中的除体积功以外的功来量度。 20、统计物理基本假设是什么？

答：统计物理基本假设是就是等概率原理,即孤立系统平衡态时各种可能的微观态出现的概率均等。 21、简述热力学平衡态

答：孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学平衡态。

22、叙述自由能的定义及其物理意义 答：自由能的定义TS U F -=。

自由能是个态函数，它的变化可以用可逆等温过程中的功来量度。

23、简述等概率原理的基本内容

答：孤立系统处于平衡态时，所有可能出现的微观态的概率均相等。

24、玻耳兹曼关系及其物理意义

Ω=ln k S ，系统愈趋于平衡态，微观态数愈多，熵越大，因此熵

是混乱度的量度。

25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。有人利用地球表面和地球内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为有用的电能，这是否违背热力学第二定律。 答：开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不引起其他变化。由于地球表面和地球内部的温度不同，不是单一热源，所以不违背热力学第二定律

26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联系？

区别：由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理；

由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束；把可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称为玻耳兹曼系统。

联系：在满足经典极限条件a e >>1时，玻色（费米）系统中的

近独立粒子在平衡态遵从玻耳兹曼分布。 27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均分定理的三种情形。

对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平

方项的平均值等于T k 2

1 。

（1）原子内的电子对气体的热容量没有贡献。（2）双原子分子的振动在常温范围内对热容量没有贡献。（3）低温下氢的热容量所得结果与实验不符。 28、为什么在熵和体积不变的情况下，平衡态的内能最小？

由热力学第二定律有：dU TdS pdV ≤- 可得：当S 、V 不变时，即dS=0，dV=0。 所以，0dU ≤

由此可见，在系统由非平衡态趋向平衡态的过程中，系统的

内能一直在减少0dU <。

当系统达到平衡时，dU=0，内能取极小值。 29、什么是熵增加原理？

答：绝热过程中系统的熵永不减少。对于可逆绝热过程，系统的熵不变。对不可逆绝热过程，系统的熵增加。或孤立系统的熵永不减少，这个结论叫做熵增加原理。 二、计算题

1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为：

()

bx ax p p p m

z y x ++++=

2

22221ε ，其中b a ,是粒子常量，求粒子的平均能量。 解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能量表达式ε 中2ax 和bx 两项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理

应用于2ax 项而得出kT ax 2

12=的结论。要通过配方将ε表达为 ()

a b a b x a p p p m z y x 42122

2

22-

??? ?

?++++=ε

在上式中，仅第四项是x 的函数，又是平方项。由能量均分定理知

()

a b kT a b kT a b a b x a p p p m z y x 42424212222

222-

-=--=-??? ?

?++++=ε

2、系统由N 个无相互作用的线性谐振子组成. a)若其能量表达式为：

2

2122

x p kx m ε=+

时，求系统的内能；

b)若其能量表达式为： 2,1,0,)2

1(=+=n n n ωε时，求系统的内能。解：a) 由能均分定理 NkT U = b) εN U =, β

ε??-

=1ln Z , n

e Z n

n βε

ω-∑=1

ω

βωβωβωβωβ ----??

? ??+--===∑∑e e

e e

e

Z n

n n

n 112

12

1211

()ωβωβ ----=e Z 1ln 2

1ln 1

121ln 1---=??ωβωωβ e Z 1

21-+=ω

βω

ωε e ∴ 1

21-+=

ω

βω

ω e N N U 讨论：高温极限和低温极限。

3、试求双原子分子理想气体的振动熵。

解：双原子分子理想气体的振动配分函数：

()ωβω

βωβ --

∞

=?

?? ?

?

+--==∑e e

e

Z n n v

1/2

0211

()ωβv e ω

βZ ----

=1ln 2

ln 1

()

??????---=???

? ????-=ωβωβv v v e e ωβNk Z ββZ Nk S 1ln 11ln ln 11 引入k v /ωθ = ，得：()T θT θv v

v

v

e Nk e T θNk S /11ln 1----??? ??=

三、证明题

1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。

证明：等压过程中熵随体积的变化率为：P

V S ???

????，温度随体积的

变化率为：P

V T ??? ????

方法一：由雅可比行列式可得：

P

V S ??? ????=()()P V P S ，，??=()()()()P V P T P T P S ，，，，????=P

P V T T S ???

??????? ???? （1） 由P P

T S T dT Q d C ??? ????=??? ??=可得：T

C T S P P =???

???? （2） 将（2）式代入（1）式可得：P

P P V T T C V S ???

????=???

???? 证毕 因为：00>>T C P

，，所以：P V S ??? ????的增减取决于P

V T ???

????的增减。

方法二：由()()[]V P T P S V P S S ，，，== 可得：

P

P P P P V T T C V T T S V S ??? ????=???

??????? ????=??? ????

2、 试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2

内，在ε到εεd +的

能量范围内，量子态数

为()επεεmd h

L d D 22

2=。

证明：对于二维自由粒子，在μ体积元y x dp dxdydp 内的量子态数为：

y x dp dxdydp h 2

1

， 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 ?pdpd 。在面积2

L S =

内，动量大小在p 到dp p +范围内，动量方向在θ到θθd +范围内，二维自由粒子的可能状态数为：的

?PdPd h

S dP dP h

S dn y x 2

2

=

=

(s －面积)

因m

P 22

=ε只与

P 有关（P >0）,故对?积分可得：

()???

?

??==

m P h S PdP h S d D 222222

ππεε，επd h mS m 22=()22h mS D πε=?， (s=L 2)

3、证明：V

T V T

p

T V C )()(22??=?? ，p T p T V T p

C )(

)(

2

2??=??，并由此导出：

)(

2

20dV T p T C C V

V V V

V ?

??+=

；

)(

2

20dp T V T C C p

p p p

p ?

??-=

证明：V

V V

T S T T U C ???

????=??? ????=……………………………⑴ 以V T ,为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有

V

T V T p T V

T S T T V S T V C ????

????=???? ?

????=???? ?????=???

????2222……………⑵ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理想气体的物态方程nRT pV =知，在V 不变时，p 是T 的线性函

数，即022=???? ????V

T p ，所以0=???

????T V V C 。这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数。在恒定温度下将式⑵积分，得 ?

????

????+=

V

V V

V

V

dV T p T C C 0220…………………⑶

同理式（2.2.8）给：???

?

?

???=????

?

???22T V T p C T p …………………………………⑷

以以p T ,为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有

p

T p T V T p T S T T p S T p C ????

????-=???? ?????=????

?????=????

????2222……………………⑸ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理想气体的物态方程nRT pV =知，在p 不变时，V 是T 的线性函

数，即022=?

???

?

???p

T V ，所以0=????

????T

p

p C 。这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数。在恒定温度下将式⑵积分，得 ?

????

?

???+=

p

p p

p

p dp T V

T C C 0220 4、气柱的高度为H ，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为)1(0--

+=kT

mgH

e NmgH

NkT U U ，2

2

2

1)

1()(kT e

e mgH N Nk C C kT

mgH

kT

mgH

V V --

+=

证明：假设气体是单原子分子理想气体。重力场中分子的能量为：

()

mgz p p p m

z y x +++=

2

2221ε，粒子的配分函数为： Z Y X mgz p p p m dP dP dxdydzdP e h

Z z y x ββ

-++-??=)(231222

11

)1(1)2(1)2(1112330233mgH mgz

H e mg A m h

dz e dxdy m h ββββπβπ---==?? 其中

d x d y

?

是气柱的截面积。气柱的内能为： )1()

1(23ln 01--+=--+=??-=mgH

βkT mgH e NmgH

NkT U e NmgH NkT NkT Z βN

U 式中NkT U 2

3

0=

气体的热容量为2

22

1)

1()(kT e e mgH N Nk C T U C kT

mgH kT mgH

V V --+=??=

5、试求绝对零度下金属电子气体中电子的平均速率v 。

解：由m

P εF F 22

=

可得K T 0=时电子的分布。

1=f ，()F εμε=<0 0=f ，F εε>

m

P εF F 22

=

其中F ε是费米能级，F P 是费米动量。

因为在体积V 内，动量大小在P -dP P +范围内的量子态数为：

，考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能

值。

因此，动量的平均值为：F F

F

P P P P P dP P h

V dP PP h V P F F 4

3314188342032

03===

??ππ 由：v m P =可得，平均速率为：m

P v F

43=

四、推论题

1、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l

e a l l βεαω--=和'

--'='l

e a l l βεαω。其中l ε和'l ε是两种

粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。

解：粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度'l ω

dP P h

V 2

324??π

体系两种粒子分布要满足的条件为： N a l

l

=∑，N a l

l '='∑ E =''+∑∑l

l l l

l l a a εε

分布{}l a ，对应的微观状态数为

∏∏=

Ωl

a l l

l l

a ω!N!

1

分布{}l a '，对应的微观状态数为

∏∏''''=

Ωl

a l l

l l a ω!!

N 2

则系统的微观态数为21Ω?Ω=Ω

上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件N a l

l

=∑，

N a l

l

'='∑ E =''+∑∑l

l

l l

l

l a a εε下使21

ln ln Ω?Ω

=Ω为极大的分布。利

用斯特林公式可得：

l l

l l l

l l l

l l l

l a a a N a a a N ωω'

'+''-''++-=Ω?Ω=Ω∑∑∑∑ln ln ln N ln ln ln N ln ln 21由0ln 21=Ω?Ωδ，得

0ln ln ln 21='?

??

?

??''-????

??-=Ω?Ω∑∑l l l l l l

l l a a a a δωδωδ 而由限制条件可得：

0=∑l

l

a

δ，0='∑l

l a δ

0=''+∑∑l

l

l

l

l

l

a a δεδε

引入拉氏不定乘子βαα，，'，得

0ln ln ln 21='???

? ??'+'+''-???? ??++-=???

??''+-''--Ω?Ω∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a δεβαωδβεαωδεδεβδαδαδ根据拉格朗日未定乘子法原理，每个l a δ及l a 'δ的系数都等于零，所以得：

[][]??

?'-'-'='--=????

??

??

='+'+'

'

=++l l l

l l l l l l l l

l

a a a a εβαωβεαωεβαωβεαωexp exp 0ln 0ln 讨论：

（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的α，α'不同，但有共同的β，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的β （2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的β是相同的，由此可见，参数β是一个与温度有关的量。

2、写出遵从玻耳兹曼分布的系统配分函数，并导出系统内能、广义力、熵的统计表达式；再根据熵的统计表达式推导出玻耳兹曼关系并阐述其物理意义。

3、写出玻耳兹曼分布的的表达式、解答其物理意义；根据玻耳兹曼分布导出气体分子的速率分布律。

4、详细阐述爱因斯坦的固体模型理论，据此模型推导固体热容量表达式，进而与经典理论做一比较并指出该理论的不足及其根源。

5、利用玻耳兹曼分布推导出理想气体物态方程。

6、简述经典固体模型理论。试根据该模型理论得出的结论与实验结果做一比较。