二次函数与根与系数关系综合运用(可编辑修改word版)
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。
其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
在二次函数中，最重要的就是函数的根。
根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。
它可以是一个实数或者是一个复数。
在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。
首先，我们来看一个二次函数的图像。
当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。
当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。
当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。
此时的图像是一条直线。
对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。
求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。
也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。
但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。
由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。
可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。
反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。
从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。
也就是说，x1和x2就是二次函数的根。
接下来，我们来推导方程没有实根的情况。
当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
二次函数与二次方程的根与系数的关系
二次函数与二次方程的根与系数的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨二次函数与二次方程的根与系数的相互关系。
1. 二次函数的定义及一般形式二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次函数中，x 是自变量，f(x) 是因变量。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
2. 二次方程的定义及一般形式二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次方程中，x 是未知数。
求解二次方程的根可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法得到。
3. 二次函数的根与系数的关系对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，可以推导出以下关系：3.1 零点等于根二次函数的零点即为函数的根，也就是函数图像与 x 轴相交的点。
根据二次函数的定义，当 f(x) = 0 时，求解该方程可以得到二次函数的根。
如果二次函数有两个不同的实根，那么方程必有两个不同的解。
如果二次函数有一个重根（两个根相等），那么方程也有一个重解。
3.2 判别式与根的关系对于二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式 D = b² - 4ac 可以用来判断方程的根的性质。
当判别式 D > 0 时，方程有两个不同实根；当 D = 0 时，方程有一个重实根；当 D < 0 时，方程没有实根，有两个虚根。
3.3 根与系数的关系根与系数之间存在着一一对应的关系。
对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，根据求根公式可得：根 x₁ = (-b + √D) / (2a)根 x₂ = (-b - √D) / (2a)可以发现，根与系数 a、b、c 之间存在着明确的线性关系。
根的值受到系数的影响，不同的系数会导致不同的根的取值。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1(1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是( )(A)有两个负根(B)有两个正根(C)两根异号(D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵ m，n异号且m<n，∴m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2(1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3(1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4(2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5(1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( ) (A)(B)(C)(D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数根与系数关系专题
二次函数根与系数关系【知识归纳】1.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根与系数之间的关系为：x1+x2=-ba，x1x2=ca.2.利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式.3.求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足a¹0且∆³0.4.构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为：①以x1，x2为根的一元二次方程为：x2-(x1+x2)x+x1x2=0；②如果a+b=m，ab=n，那么以a, b为根的方程为x2-mx+n=0.类型一、求对称式的值例1、已知x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）(x1-x2)2（2）x1-x2（3）x12-x22（4）(x1-2)(x2-2)类型二、已知根求方程中的参数例1、若方程x2-4x+c=0的一个根为2c的值.练1、已知关于x的方程x2-13x+k=0的两根a ,b满足条件a-3b=1，求k的值．类型三、根系关系+根的定义例1、已知a, b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，a2+ab+2a的值为例2、已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两根，求x13+8x2+20的值.练1、已知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实根，求x13+2x22+x2-3的值.练2、已知x1，x2是方程x2+x-3=0的两根，求x13-4x22+19的值.类型四、根系关系中的隐含条件例1、已知a, b是方程x2+3x+1=0的两根，则练1、 已知a, b 是方程x 2+5x +2=0.类型五、根系关系求参数例1、已知关于x 的方程x 2+(2k -3)x +k 2-3=0有两个实数根x 1,x 2，且x 1+x 2=1x 1+1x 2，求k 值.练1、 设x 1,x 2是方程x 2-2(k +1)+k 2+2=0的两个不同的实根，(x 1+1)(x 2+1)=8，求k 值. 练2、 已知关于x 的方程x 2+2(m +2)x +m 2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值.类型六、根系关系解决根的分布例1、已知x 1,x 2是方程ax 2+(a +2)x +9a =0的两根，且x 1<1<x 2,求a 的取值范围. 练1、若关于x 的一元二次方程x 2-(2k -3)x +(2k -4)=0的一个根大于3，一个根小于3，求k 的取值范围.类型七、条件中含绝对值的处理例1、已知x 1,x 2是一元二次方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根，且x 1x 2=32，则m =__________练1、已知关于x 的方程x 2-(k +2)x +14k 2+1=0的两个实根x 1,x 2(x 1<x 2)满足x 1+x 2=3，求k 的值.类型八、利用根系关系构造新方程例1、若ab ¹1，且有5a 2+2001a +9=0及9b 2+2011b +5=0，则a b = ，a +1b= 练1、已知2m 2-5m -1=0，1n 2+5n -2=0且m ¹n ，求1m +1n的值.类型九、根系关系与判别式的结合求最值例1、设x 1，x 2是方程2x 2-4mx +2m 2+3m -2=0的两个实根，当m 为何值时，x 12+x 22有最小值，并求出这个最小值.练1、若关于x的二次方程(m2-4)x2+(2m-1)x+1=0（m为实数）的两实根的倒数和为S，求S的取值范围.【知识总结】思想：转化思想，分了思想，方程思想，整体思想.方法：1.利用跟与系数的关系将于一元二次方程的根有关的问题转化为与系数相关的式子，结合二次项系数a¹0和判别式∆³0求值或求取值范围2.由方程的两根x1，x2构建二次项系数为1的一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.3.与根的符号相关的问题，一般先转化为x1+x2和x1x2的符号问题，列不等式求解. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
二次函数根与系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，∴ m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )(A) (B) (C) (D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是高中数学中的重要内容，它的根与系数之间有着密切的关系。
在数学中，二次函数以 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式表示，其中 $a$、$b$、$c$ 为实数且$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系，并希望能对读者的数学学习有所帮助。
首先，让我们来了解什么是二次函数的根。
根是指函数在横轴上与其交点的横坐标值，也就是函数的零点。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的根可以通过解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来求得。
根据求解二次方程的一般方法，我们知道二次方程的判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 是用来确定二次方程的根的个数和性质的。
当判别式为正时，即 $\Delta>0$，二次方程有两个不相等的实根；当判别式为零时，即 $\Delta=0$，二次方程有两个相等的实根；当判别式为负时，即 $\Delta<0$，二次方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。
接下来，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑二次函数中的系数 $a$。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上，具有最小值点，根的个数与判别式的关系如下：- 当 $\Delta>0$ 时，函数有两个不相等的实根。
- 当 $\Delta=0$ 时，函数有两个相等的实根。
- 当 $\Delta<0$ 时，函数没有实根。
当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下，具有最大值点，根的个数与判别式的关系相同。
接下来考虑二次函数中的系数 $b$。
系数 $b$ 决定了二次函数图像的对称轴位置。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的对称轴的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}$。
当对称轴与横轴相交时，二次函数有一个实根，即判别式 $\Delta=0$。
最后考虑二次函数中的常数项 $c$。
常数项 $c$ 决定了二次函数图像与纵轴的交点位置。
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
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中考压轴题之——二次函数与根与系数关系
（黄冈市 2011）24．（14 分）如图所示，过点 F （0，1）的直线 y =kx ＋b 与抛物线 y = 1
x 2
4
交于 M （x 1，y 1）和 N （x 2，y 2）两点（其中 x 1＜0，x 2＜0）．
⑴求 b 的值．
⑵求 x 1•x 2 的值 ⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y =－1 的垂线，垂足分别是 M 1、N 1，判断△M 1FN 1 的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
第 22 题图
（株洲市 2011 年）24．（本题满分 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学
们一起研究某条抛物线 y = ax 2 (a < 0) 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题：
（1） 若测得OA = OB = 2
（如图 1）
，求 a 的值； （2） 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF ⊥ x
轴于点 F ，测得OF = 1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标；
（3） 对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 的连
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
图 1
2 y
F
N
M
x l
M 1
F 1 N 1
O
图 2
1、如图，已知抛物线 y=-x²+3x+6 交 y 轴于 A 点，点 C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移 n 个单位长度后与直线 AC 交于心对称，求 n 的值。
3、如图，已知抛物线 y=x²-4x+3，过点 D(0， 的直线与抛物线交于点 M 、N ，
- ) 2
与 x 轴交于点 E ，且点 M 、N 与 X 轴交于 E 点，且 M 、N 关于点 E 对称， 求直线 MN 的解析式。
* 例 7
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =－ 2
x 2 + b x + c 经过 A （0，－4）、
3
B （ x 1 ，0）、
C （ x 2 ，0）三点，且 x 2 - x 1 =5．
（1） 求b 、c 的值；
（2） 在抛物线上求一点 D ，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；
（3） 在抛物线上是否存在一点 P ，使得四边形 B P O H 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求
2
- c
y
B
A O
P
·
x
出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
x
* 例 8 如图，抛物线 y = x 2 (a + b )x + 4
，其中 a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A、
∠B、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与 x 轴必有两个交点；
（2）设有直线 y = ax - bc 与抛物线交于点 E 、F ，与 y 轴交于点 M ，抛物线与 y 轴交于点 N ， 若抛物线的对称轴为 x = a ，△MNE 与△MNF 的面积之比为 5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
* 例 9
已知抛物线 y = 1 x 2 - x + 2 ， 2
（1） 确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）
如图，若直线l : y = kx (k > 0) 分别与抛物线交于两个不同的点 A 、B ，与直线 y = -x + 4 相交于点 P ，试证 OP + OP = 2 ；
OA OB
（3） 在（2）中，是否存在 k 值，使 A 、B 两点的纵坐标之和等于 4？如果存在，求出 k 值；
如果不存在，请说明理由.
y
B C
O
A
y
A
O
B x
* 12.已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ，其顶点在 x 轴的上方，它与 y 轴交于点 C （0，3），与 x
轴交于点 A 及点 B （6，0）.已知方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 两根的平方和等于 40，（1）求些抛物线的解析式；（ 2） 试问： 在此抛物线上是否存在一点 P ， 在 x 轴上方且使
S ∆PAB = 2S ∆CAB ，如果存在，求点 P 的坐标，如果不存在，说明理由.
* 13.已知二次函数 y = x 2 - mx + 2m - 4 ,
（1） 求证:不论 m 为何实数时,抛线线与 x 轴总有交点；
（2） 如图，当抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点（A 、B 分别在 y 轴左、右侧）且 OA 与 OB 的长
之比为 2：1 时，求 m 的值；
（3） 如果抛物线与 x 轴相交的两个交点，以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求这个
抛物线所表示的函数解析式.
1 1 2
2 【小试锋芒】
一、填空题
1、已知抛物线 y = x 2 - (k - 1)x - 3k - 2 与 x 轴交于两点 A （， 0）， B （ ， 0）， 且
2
+
2
= 17 ，则 k ＝。
2、抛物线 y = x 2
- (2m - 1)x - 2m 与 x 轴的两交点坐标分别是 A （ x ，0），B （ x
，0），且
= 1，则 m 的值为 。
3、若抛物线 y = - 1 x 2 + mx + m - 1交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点 C ，且∠ACB＝900
，
2
则 m ＝。
4、已知二次函数 y = kx 2 + (2k - 1)x - 1与 x 轴交点的横坐标为 x 、 x (x 1 < x 2 ) ，则对于 下列结论：①当 x = -2 时， y = 1；②当 x > x 时， y > 0 ；③方程 kx 2 + (2k - 1)x - 1＝0
有两个不相等的实数根 x 1 、 x 2 ；④ x 1 < -1， x 2 > -1 ；⑤ x 2 - x 1 =
正确的结论是 （只填写顺号）。
二、解答题
，其中所有
k
5、 设 P 是 实 数 ， 二 次 函 数 y = x 2 - 2 px - p 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点
A (x 1,0),
B (x 2 ,0).求证： 2 px 1 + x 2
+ 3
p > 0 ；（2）若A ，B 两点之间的距离不超过 2 p - 3 ，
求 P 的最大值.
19.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2mx - 3m 2
+ 8m - 4 = 0 。
（1） 求证：当 m > 2 时，原方程永远有两个实数根；
（2） 若原方程的两个实根一个小于 5，另一个大于 2，求 m 的取值范围。
x 1
x 2
1 + 4k
2 2 2。