二次函数与根与系数关系综合运用(最新整理)
(完整word版)二次函数与根与系数关系综合运用
中考压轴题之——二次函数与根与系数关系（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．FMNN 1M 1 F 1 Oyx l第22题图y xBAO图1F Ey xBAO1、如图，已知抛物线y=-x ²+3x+6交y 轴于A 点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n 个单位长度后与直线AC 交于心对称，求n 的值。
3、如图，已知抛物线y=x ²-4x+3，过点D(0，-2)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。
* 例7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、 B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．* 例8 如图，抛物线4)(22c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是一种常见的数学函数形式，通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，根是函数图像与 x 轴相交的点，也就是函数的零点或解。
本文将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
这里的 a 是最重要的系数，它决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
2. 二次函数的根为了确定二次函数的根，需要解方程 f(x) = 0。
根据求根公式（也称作二次公式），根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 根与系数的关系根与系数之间有着密切的关系，可以通过系数的值推断根的性质。
3.1 开口方向当 a > 0 时，二次函数开口向上，拥有最小值，也就是抛物线的顶点。
当 a < 0 时，二次函数开口向下，拥有最大值，同样是顶点。
3.2 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3.3 根的个数根的个数与判别式有关，判别式（也称为二次方程的判别式）可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac若Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实数根；若Δ < 0，则方程没有实数根。
3.4 根之间的关系对于有两个实数根的二次函数：设 x1 和 x2 分别为两个根，且 x1 < x2，则 x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。
4. 根与二次函数图像根与二次函数的图像之间有着密切的联系。
当根为实数时，二次函数图像与 x 轴相交；当根为负数或复数时，二次函数图像则不与 x 轴相交。
5. 例题分析假设有二次函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，我们可以根据函数的系数计算根的性质和其他相关信息。
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个根与系数之间存在以下8个关系公式：1.二次方程的根与系数的关系公式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，它的两个根可以通过以下公式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.一元三次方程的根与系数的关系公式：对于一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0，它的根可以通过三角恒等式表示：x = (√3 R cos(θ/3) - b)/(3a), (√3 R cos((θ+2π)/3) -b)/(3a), (√3 R cos((θ+4π)/3) - b)/(3a)其中 R = ∛(q + √(q^2 + p^3)), q = (3ac - b^2)/(9a^2), p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3)3.一元四次方程的根与系数的关系公式：对于一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a ≠ 0，它的根可以用四舍五入的方法获得。
但在实际情况中，它的根通常是通过数值方法，如牛顿迭代法等获得。
4.一元五次方程的根与系数的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。
5.一元二次方程的系数与根的关系公式：如果一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 p 和 q，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q)c = pq6.一元三次方程的系数与根的关系公式：如果一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根为 p，q 和 r，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r)c = pq + qr + rpd = -(pqr)7.一元四次方程的系数与根的关系公式：如果一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 的根为 p，q，r 和 s，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r+s)c = pq + qr + rs + spd = -(pqr + qrs + rsp + spq)e = (pqr)s8.一元五次方程的系数与根的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。
其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
在二次函数中，最重要的就是函数的根。
根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。
它可以是一个实数或者是一个复数。
在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。
首先，我们来看一个二次函数的图像。
当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。
当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。
当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。
此时的图像是一条直线。
对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。
求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。
也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。
但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。
由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。
可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。
反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。
从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。
也就是说，x1和x2就是二次函数的根。
接下来，我们来推导方程没有实根的情况。
当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
二次函数和根与系数的关系
例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2 +2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=（1+k 2）（x 1﹣x 2）（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2k•k+2=k 4+5k 2+4，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 为直角三角形．如图，已知抛物线y=x ²-4x+3，过点D(0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线M的解析式。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系二次方程是一个常见的数学概念，它的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
解决这个方程的关键是求出它的根，也就是满足方程的x值。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系，并解释这些关系对解的影响。
1. 一元二次方程的一般解法为了求解二次方程，我们可以使用以下一般解法：1) 判断Δ = b² - 4ac的值：若Δ > 0，则方程有两个不同实根；若Δ= 0，则有两个相同实根；若Δ < 0，则没有实根；2) 计算根的值：若Δ > 0，则实根为x₁ = (-b + √Δ) / 2a和x₂ = (-b - √Δ) / 2a；若Δ = 0，则实根为x₁ = x₂ = -b / 2a。
2. 二次方程根与系数之间的关系接下来，我们将讨论二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程的根为x₁和x₂，则有以下关系：1) 根的和与系数的关系：x₁ + x₂ = -b / a。
这意味着二次方程的根的和与系数b和a之间存在着特定的关联。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的和为x₁ + x₂ = -3 / 1 = -3。
2) 根的乘积与系数的关系：x₁ * x₂ = c / a。
同样地，二次方程的根的乘积与系数c和a之间也有着特定的关系。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，根的乘积为x₁ * x₂ = 2 / 1 = 2。
这两个关系可以帮助我们更好地理解二次方程的性质和解的特点。
3. 根与系数的例题分析为了更加具体地说明根与系数之间的关系，我们来看几个例题。
例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以计算出Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 1，由于Δ > 0，该方程有两个不同实根。
根据一般解法，我们可以得到根的计算公式：x₁ = (5 + √1) / 2(1) = 3，x₂ = (5 - √1) / 2(1) = 2。
根与系数的关系与二次函数
△=1-4 ＜ 0 ，函数图像与 x 轴无交点，应将
2
y 2x x 1
m=2 舍去，函数解析式为
二、二次函数图像与 x 轴两交点之间的距离问题。 例 2：（扬州市考题）已知二次函数 y x2 kx k 3
（1 ）求证：不论 k 取何值，这个函数的图像与 x 轴总有两个交点。
（2 ）实数 k 为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。
消去 k 解得 m 1 =2 ， m 2= 1 3
∵x1 x2 ＞0，即 m ＞1， ∴将m= 1 舍去，从而 m=2 ，函数解析式为 y
3
x 2 2x 3 .
简解：（1 ）只需证△＞0，过程从略。
（ 2 ） 解 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： x1 x2 k ， x1 x2 k 3 ，
d | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2
( x1 x2 )2 4x1x2
k 2 4k 12 (k 2) 2 8
当 k=2 时， d 有最小值，最小值为 2 2 。 三、二次函数图像与 x 轴两交点的相对位置问题 例 3：（南京市中考题）如果抛物线 y x 2 2( m 1) x m 1与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的负半轴上，0A=a,0B=b, 若 a:b=3:1 ， 求抛物线的解析式。
A （ x1，0 ），B（ x2 ，0），且满足 (x1 1)( x2 1) m 1，求此二次函数解析式。 解：由根与系数的关系可得：
1
1
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1
( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1 m 1
2
即
m ，解得 m 2 或 m 1
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中考压轴题之——二次函数与根与系数关系
（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214
y x =
交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．
⑴求b 的值．⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学
们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直2
(0)y ax a =<角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：O A B （1）若测得（如图1），求
的值；
OA OB ==a （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作O B BF x
⊥轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
F 1OF =B A （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连
O A B
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
第22
题图
图
1
图2
1、如图，已知抛物线y=-x²+3x+6交y 轴于A 点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n 个单位长度后与直线AC 交于
心对称，求n 的值。
3、如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D(0，-
)的直线与抛物线交于点M 、N ，2
与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点
E 对称，求直线MN 的解析式。
* 例7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求
出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
* 例8 如图，抛物线，其中、、分别是△ABC 的∠A 、
4
)(2
2
c x b a x y ++-=a b c ∠B 、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；
x （2）设有直线与抛物线交于点E 、F ，与轴交于点M ，抛物线与轴交于点N ，bc ax y -=y y 若抛物线的对称轴为，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
a x =* 例9 已知抛物线，
22
12+-=x x y （1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）如图，若直线分别与抛物线交于两个不同的点A 、B ，与直线)0(:>=k kx y l 4+-=x y 相交于点P ，试证
；2=+OB
OP
OA OP （3）在（2）中，是否存在值，使A 、B 两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出值；k k 如果不存在，请说明理由
.
x
* 12.已知抛物线，其顶点在轴的上方，它与轴交于点C （0，3），与c bx ax y ++=2x y x
轴交于点A 及点B （6，0）.已知方程两根的平方和等于40，（1）)0(02
≠=++a c bx ax 求些抛物线的解析式；（2）试问：在此抛物线上是否存在一点P ，在轴上方且使
x ，如果存在，求点P 的坐标，如果不存在，说明理由.
CAB PAB S S ∆∆=2* 13.已知二次函数,
422-+-=m mx x y （1）求证:不论为何实数时,抛线线与轴总有交点；
m x （2）如图，当抛物线与轴交于A 、B 两点（A 、B 分别在轴左、右侧）且OA 与OB 的长x y 之比为2：1时，求的值；
m （3）如果抛物线与轴相交的两个交点，以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求这个x 抛物线所表示的函数解析式.
【小试锋芒】
一、填空题
1、已知抛物线与轴交于两点A （，0），B （
，0），且
23)1(2
----=k x k x y x αβ，则＝ 。
1722=+βαk 2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A （，0），B （，0），且
m x m x y 2)12(2
---=x 1x 2x ，则的值为 。
12
1
=x x m 3、若抛物线交轴于A 、B 两点，交轴于点C ，且∠ACB ＝900，12
12
-++-
=m mx x y x y 则＝ 。
m 4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于1)12(2
--+=x k kx y x 1x 2x )(21x x <下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0
2-=x 1=y 2x x >0>y 1)12(2
--+x k kx 有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有
1x 2x 11-<x 12->x k
k x x 2
1241+=-正确的结论是 （只填写顺号）。
二、解答题
5、设P 是实数，二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点
p px x y --=22
.求证：；（2）若A ，B 两点之间的距离不超过，
()()0,,0,21x B x A 032221>++p x px 32-p 求P 的最大值.
19.已知关于的一元二次方程。
x 048322
2=-+--m m mx x （1）求证：当时，原方程永远有两个实数根；
2>m （2）若原方程的两个实根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围。