一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
第三节 一元二次方程的根与系数的关系【教学目标】1．掌握一元二次方程根与系数的关系式——韦达定理2．运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数.3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和.【重难点】运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.【知识要点】一、一元二次方程根与系数的关系1．如果21,x •x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则ac x x a b x x =-=+2121.. 2．应用一元二次方程根与系数的关系式时，0≥∆是前提，这一点易被忽视.3．常数项为0，两根积必为0，，因为此时21,x •x =ac 的分子为0.同理，当一次项系数为0时，两根和为0.二、已知一元二次方程和一个根，求另一个根.1．当一元二次方程的二次项系数为1时，如21,x •x 是方程02=++c bx x 的两个根时，则b x x -=+21，c x x =21.2．由本例的两个解法进行比较，可知应用根与系数求解要比应用根的定义求解简捷.三、求含根的对称式的值不解方程，利用根与系数关系，求已知一元二次方程两根的某些代数式的值，应把代数式经恒等变形，化为含有两根和、两根积的形式，再代入求值.【经典例题】例1.写出下列方程的两根和与两根积.（1）1532=+x x （2）0122=++x x（3）32=+-m mx x （4）0232=-x x例2．已知方程022=++kx x 的一个根是-1，求k 的值与另一根.例3．已知03422=-+x x 不解这个方程，求：（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和.例4．已知关于x 的方程0122=-++m x x .（1）求证：方程有两个实数根；（2）设方程的两个实数根为21,x x ，且有22221=-x x ，求m 的值.例5．是否存在常数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实数根21,x x 满足21x x =23，如果存在，试求出所有满足条件的k 值；如果不存在，请说明理由.例6．已知关于x 的方程，042)2(2=---m x m x ． （1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个异实根；（2）若这个方程的两个实根21,x x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的21,x x【典型练习】1．若21,x x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则2111x x +的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、22．一元二次方程0301322=+-=--x x x x 及的所有实数根的和等于（ ）A 、2B 、-4C 、4D 、33．如果一元二次方程0752=--x x 的两个根为βαβα+则.,的值为（ ）A 、-5B 、5C 、-7D 、74．若方程0122=--x x 的两个实数根为21,x x ，则代数式2112x x x x +的值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、-65．若方程0122=--x x 的两根为21,x x ，则代数式222111x x +的值为（ ） A 、6 B 、4 C 、2 D 、-26．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则)1)(1(21++x x 的值为（ ）A 、-7B 、-1C 、291+-D 、291--7.下列一元二次方程中，两根分别为51,51--+-的是（ ）A 、0422=++x xB 、0422=-+x xC 、0422=+-x xD 、0422=--x x8．已知一元二次方程062=++a x x 有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、9<aB 、9≤aC 、9-≥aD 、9->a9．已知一元二次方程0822=-+x x 的一个根 2，则另一个根是 .10．一元二次方程x x =2的两根之和与两根之积分别是 .11．已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k .12．若b a ,是关于x 的方程012=--mx x 的两个实数根，则2)(b a -= .13．已知2)1)(1(,1322=--=+βαβα，则以βα,为根的一元二次方程为 .14.已知21,x x 是方程01-422=-x x 的两个实数根，求2221x x +的值．15．已知关于x 的方程为0)1()1(2)2(2=++---k k x k ，且3≤k .（1）求证：此方程总有实数根；（2）当方程有两个实数根，且两实数根的平方和等于4时，求k 的值.【课后作业】1．如果方程041)1(2=+--x m x 的两个不相等的实数根，则m 的值为（ ） A 、0 B 、2 C 、O 或2 D 、2±2．如果a 是一元二次方程032=+-m x x 的一个根，-a 是一元二次方程032=-+m x x 的一个根，那么a 的值等于（ ）A 、1或2B 、0或-3C 、-1或-2D 、0或33．已知方程0)7()1(2=++--m x m x 有一个正根，一个负根，那么（ ）A 、7>mB 、1>mC 、1<mD 、7<m4．若两数和为-7，积为12，则这个两个数是（ ）A 、3和4B 、2和6C 、-3和-4D 、2和-95．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A 、43<mB 、43≤mC 、243≠>m m 且D 、2,43=≥m m 且 6．若方程042=+-m x x 的一个根是6，则另一个根和m 分别是（ ）A 、2，12B 、-2，-12C 、-6，12D 、6，-127．方程02222=-+x x 的解的情况是（ ）A 、没有实数根B 、两根之和为22C 、两根之积为2D 、有一根为22-8．如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ，且2111x x +=2，那么实数m 的值等于（ ） A 、4 B 、-4 C 、8 D 、-89．已知方程02)21(2=--+x x 的两根为21,x x ，求2221x x +的值.。
韦达定理：一元二次方程根与系数的关系
ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是
、
1
， 那么你可以
2
一元二次方程根与系数关系的证明：
∵ x1 b b2 4ac 2a
b x2
b2 4ac 2a
∴x1+x2= =
b b2 4ac
2a
2b = - b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
x1x2=
b b2 4ac
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0，
求下列方程的两根之和与两根之积。
1、 x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2= -1
2、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1x2=0
3、 3x2 = 4
x1+x2=0
4
x1x2= - 3
注意：应用一元二次方程的根与系数关系时首先要把方程化为一般形式
填写下表：
方程
两个根
两根 之和
两根 之积
a与b a与c 之间 之间 关系 关系
x1
x2 x1 x2 x1 • x2
b a
c a
x2 3x 2 0
x2 5x 6 0
3x2 x 2 0
观察：方程的两根之和以及两根之积与系数有怎样的关系？
x x 猜想： 如果一元二次方程
发现什么结论？
●
2a
=
(b)2 ( b2 4ac )2 4a 2
b b2 4ac
2a
c
a =
4ac 4a 2
=
韦达（1540－1603）
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1、 x2 ，那么：
一元二次方程根与系数关系
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论 1
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
解:∵ α、 β是方程x2+2x-5=0 的实数根 ∴ α+ β =-2 ∴ α2+ α β+2 α= α（ α+ β ）+2 α=0
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k22=0的两根的平方和比两根之积的3倍 少10，求k的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
3 基 一个根是___，m =____。 -3 （还有其他解法吗？） 2 础 练 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 习
一元二次方程根与系数的关系
方程ax bx c 0(a 0)的求根公式是
2
b b 4ac (b 2 4ac 0) x 2a
2
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程 的系数有何关系？
说明：判别根的符号，需要把“根 的判别式”和“根与系数的关系” 结合起来进行确定，另外由于本 题中x1x2＜0，所以可判定方程的 根为一正一负；倘若 x1x2 ＞0， 仍需考虑 x1+x2的正负，方可 判别方程是两个正根还是两个 负根。
已知 α、 β是x2+2x-5=0方程 的两个实数根,求α2+ α β+2 α的值
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况是由2
4b ac -决定的，我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用“∆”表示。
（1） 若方程有两个不等的实数根；则240;b ac ∆=->
（2） 若方程有两个相等的实数根；则240;b ac ∆=-=
（3） 若方程没有实数根，则240.b ac ∆=-<
2. 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,.x x
则12x x += 。
12x x ⋅= 。
注意：只有一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系，即①240;b ac ∆=-≥ ②二次项系数0.a ≠
已知m,n 是方程22630x x -+=的两根，则m+n= ,m ⋅n= ,
11m n
+= .
已知一元二次方程220x x m -+=，
（1） 若方程有两实根，求m 的取值范围，
（2） 若方程的实根为12,.x x 且1233x x +=，求m.
已知方程2
351x x -=的两根为12,x x 求： 2212(1)x x + （2）
2112
x x x x +。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系1.知识讲解：方程)0(0ax 2≠=++a c bx 的求根公式a ac b b x 242-±-=不仅表示可以由方程的系数a,b,c 决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 思考从因式分解法可知,方程0))((21=--x x x x (1x ，2x 为已知数)的两根为1x 和2x ,将方程化为02=++q px x 的形式,你能看出1x ，2x 与p,q 之间的关系吗?延展把方程0))((21=--x x x x 的左边展开，化成一般形式，得方程 0)(21212=++-x x x x x x这个方程的二次项系数为1,一次项系数)(21x x p +-=，常数项21x x q =，于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系p x x -=+21 q x x =21再思考一般的一元二次方程02=++c bx ax 中，二次项系数a 未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?结论： 根据求根公式可知：a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=由此可得 ab a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221， ac a ac b b a ac b b a ac b b x x =---=---∙-+-=22222214)4()(2424 因此，方程的两个根1x ，2x 和系数a,b,c 有如下关系：a b x x -=+21，ac x x =21。
这两条公式叫韦达定理。
2. 典型例题例1：已知方程01832=-+kx x 的一个根式2，求另一个根以及K 的值。
分析：按以往的经验是将x=2带入方程，求出k ，再求解。
但是现在可以用韦达定理进行求解。
解：设方程的两根为1x ，2x ，则1x =2。
由韦达定理可得1x ·2x =-6，∴ 32-=x ， 又1321-=-=+k x x∴ k=3.例2：设a ，b 是一元二次方程0732=-+x x 的两个根，求b a a ++42的值。
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次根和系数的关系
一元二次根和系数的关系
一元二次方程的标准形式为：
ax^2 + bx + c = 0
其中，a、b、c分别为方程的系数。
一元二次方程的根可以通过判别式来确定：
Δ = b^2 - 4ac
根的情况和系数之间的关系如下：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，且它们的关系为：根1 = (-b + √Δ) / (2a)
根2 = (-b - √Δ) / (2a)
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，且它们的值相等：
根1 = 根2 = -b / (2a)
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根，它们的关系为：
根1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)
根2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)
综上所述，一元二次方程的根和系数之间的关系主要通过判别式Δ来确定。
对一元二次方程来说，根与系数的关系可以通过Viète定理来描述。
假设一元二次方程的两个根分别为α和β，根据Viète定理可以得到以下关系：
1. 根的和与系数的关系：
α + β = -b / a
2. 根的积与系数的关系：
α * β = c / a
简而言之，一元二次方程的两个根的和等于系数 b 的相反数除以系数 a，而两个根的积等于常数项 c 除以系数 a。
这是一元二次方程的基本性质，可以通过Viète定理进行推导和验证。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
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一元二次方程的根与系数的关系
教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。
2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
教学目标
知识目标：
1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．
能力目标：
通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感目标:
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.
教学重点和难点
重点：一元二次方程根与系数的关系;
难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.
教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;
2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系
教学过程
一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。
，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年龄是0180272=+-x x 的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。
由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a 、b 、c 确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。
我们用配方法、因式分解法等措施求出根。
除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？ 二、探索发现
活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。
一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a 、b 、c 为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a 、b 、c 为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。
学生若没有提出，老师在表格中补充。
小组讨论
前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。
刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？
初步感知：学生很容易发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定1x 、2x 分别等于几，因此差商不在本节课的谈论范围中。
学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。
当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。
教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。
知识初探：问题（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数q p ,之间有什么关系？怎么表示两根？
学生探索得到：关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数q p ,的关系是：
12x x p +=-， 12x x q =。
反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。
学生讲证明思路。
（用求根公式直接的两根，或配方法得到均可）2
42q p p x -±-=，推导出21x x +，21x x ⋅
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。
并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？知识再探：问题（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数c b a ,,之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导
学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。
放手给学生做，最后总结为两种做法：①可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠
∴20b c x x a a
+
+= ∴12b x x a +=-，12c x x a = ②利用求根公式给出证明。
（思路点拨即可）
证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：
x =
设1x =，2x =，则
∴122222b b b b x x a a a a
-+---+=+==-
221222(4)444b b ac ac c x x a a a
--⋅==== 介绍韦达：
练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？
0342=++x x 01422=+-x x 0322=++x x
首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？
0180272=+-x x ，两根之和等于27.
学生思考、归纳并回答下列问题：
(1)小结根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
利用方程得到两根之和两根之积，知道两根之和和两根之积求方程。
若1≠a ，先把二次项系数化为1.
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
根与系数关系使用的前提是：240b ac -≥。
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