一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系

教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．

学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．

教学目标

知识目标：

1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力

2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．

能力目标：

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

情感目标:

1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.

教学重点和难点

重点：一元二次方程根与系数的关系;

难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.

教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;

2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系

教学过程

一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年龄是0180272=+-x x 的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。

由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a 、b 、c 确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？ 二、探索发现

活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a 、b 、c 为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a 、b 、c 为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论

前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？

初步感知：学生很容易发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定1x 、2x 分别等于几，因此差商不在本节课的谈论范围中。学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。知识初探：问题（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数q p ,之间有什么关系？怎么表示两根？

学生探索得到：关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数q p ,的关系是：

12x x p +=-， 12x x q =。

反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。。。学生讲证明思路。（用求根公式直接的两根，或配方法得到均可）2

42q p p x -±-=，推导出21x x +，21x x ⋅

引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？知识再探：问题（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数c b a ,,之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导

学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。

放手给学生做，最后总结为两种做法：①可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠

∴20b c x x a a

+

+= ∴12b x x a +=-，12c x x a = ②利用求根公式给出证明。（思路点拨即可）

证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：

x =

设1x =，2x =，则

∴122222b b b b x x a a a a

-+---+=+==-

221222(4)444b b ac ac c x x a a a

--⋅==== 介绍韦达：

练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？

0342=++x x 01422=+-x x 0322=++x x

首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？

0180272=+-x x ，两根之和等于27.

学生思考、归纳并回答下列问题：

(1)小结根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？

利用方程得到两根之和两根之积，知道两根之和和两根之积求方程。 若1≠a ，先把二次项系数化为1.

（2）运用根与系数的关系要注意些什么？

根与系数关系使用的前提是：240b ac -≥。

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