一元二次方程根与系数的关系
21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
一元二次方程组根与系数的关系
一元二次方程组根与系数的关系稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一元二次方程组根与系数的关系，这可有意思啦！你知道吗，一元二次方程就像一个神秘的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个小盒子的钥匙。
比如说，对于方程ax² + bx + c = 0 （a≠0），如果它有两个根 x₁和 x₂，那它们之间的关系可神奇了。
两根之和 x₁ + x₂就等于 b/a 。
你想想，这是不是很奇妙？就好像是在方程的背后隐藏着一个小秘密，被我们发现啦！还有两根之积 x₁x₂等于 c/a 。
这两个关系在解题的时候可好用了呢。
比如说，给你一个方程，告诉你其中一个根，让你求另一个根，这时候根与系数的关系就能派上大用场。
有时候做题做到头疼，突然想到这个关系，一下子就找到了解题的突破口，那种感觉简直太棒啦！而且哦，掌握了这个关系，还能让我们对一元二次方程有更深入的理解，是不是很有趣呀？所以呀，小伙伴们，一定要好好记住这个神奇的关系，它会在数学的世界里给我们带来很多惊喜的！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来唠唠一元二次方程组根与系数的关系。
这玩意儿听起来好像有点复杂，其实呀，可简单有趣啦！先来说说啥是一元二次方程，就是那种长得像ax² + bx + c = 0 （a≠0）的式子。
然后呢，它要是有两个根，咱们就能发现一些好玩的规律。
比如说，两根之和等于 b/a 。
哎呀，别被这式子吓到，其实就是个小规律。
你就想象成是方程在跟咱们悄悄说它的秘密。
还有两根之积等于 c/a 。
这就像是方程给咱们的小礼物，只要咱们找到了，解题就能变得轻松不少。
我跟你讲哦，有一次我做数学题，怎么都解不出来，急得我抓耳挠腮。
突然想到了根与系数的关系，一下子就豁然开朗了。
这感觉就像是在黑暗中找到了明灯，别提多爽啦！而且呀，这不仅能帮我们解题，还能让我们觉得数学其实没那么枯燥，充满了小惊喜。
所以呀，朋友们，别害怕这个根与系数的关系，多琢磨琢磨，你会发现数学的乐趣无处不在！。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系一、目标认知学习目标1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．难点一元二次方程的根与系数的关系的运用．二、知识要点梳理一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.三、规律方法指导解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1当m1=3，m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2，x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.法二：设方程的另一个根为x.则2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，∵∴原方程有两个异号的实数根.总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.举一反三：【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，则有由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：∵m≠0，∴m＞0或m＜0，∴上面不等式组化为：由⑴得m＞1；⑵不等式组无解.∴m ＞1∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2==1，解得k=4当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0，解得k=又当k=时，x1+x2=，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3.关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.解：设方程两根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1·x2=k+1∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)＜5∴k＞1①又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1＜k≤.总结升华：应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.举一反三：【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.解：∵方程有两个实数根，∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0解这个不等式，得m≤0设方程两根为x1，x2，∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4∵x12+x22-x1x2=21∴(x1+x2)2-3x1x2=21∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又∵m≤0，∴m=-1.总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．所以，得方程4m2-7m-2=0．解这个方程，或m=2．经检验，或m=2都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，所以，m=2都符合题意．总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．4．求简单的关于根的对称式的值．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．如+，，(1+x 1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x 1+x2)2-2x1x2，……等等．4.如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式.解：∵Δ=b2-4ac=8＞0，∴方程有实根．∵∴举一反三：【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算．解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是==．把=与=-代入，得====总结升华：这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会．5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1与x2是方程x2+px+q=0的两个根．证明如下：由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-x1)(x-x2)=0，∴x=x1或x=x2．这就是说，x1和x2是方程x2+px+q=0的两个根．5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；(2) ∵，，∴-与-是方程6y2+19y+10=0的两个根；(3) 虽然有(+)(-+)=+3，但是(+)+(-+)=+2≠-(-2)；所以+与-+不是方程a2+2a-3=0的根．6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．解：(1) 由于-+=-2+=-，-·=-=-4，所以所求方程是x2+x-4=0．(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有x1+x2=，x1x2=-4．所以，．于是所求方程是x2-x-=0．也就是8x2-5x-2=0．。
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
第二讲 元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 思考：你能利用一元二次方程的求根公式推出韦达定理吗？二、韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数如：已知2是关于x 的一元二次方程042=-+p x x 的一个根，求该方程的另一个根2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值如：若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值如：若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1x 2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax 2+bx+c= a(x- x 1)(x- x 2)巩固练习一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.二、选择题7.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-8.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ）A.32- B .—2 C.92 D.—92 9.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—210.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题已知关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个非零实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则 ．练习2.方程的解为、，则 ； ．3.已知，是方程的两个实数根，则 ．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（ ）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为 ．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且， ，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．18.方程的所有实数根之和是 ．19.已知关于的方程的两根为和，则 ，．一元二次方程的根与系数的关系 题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根 ；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则 ，， ，．30.已知，是方程的两个根，那么 ， ．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系 题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（ ）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于 的方程．若方程总有两个实数根，求 的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是 ．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若，则的值 ．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（ ）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为 ．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ．。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程综合 12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1?x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1?x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1?x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=] （4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析 1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1?x2的值分别为（）（A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。
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（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系？
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是
x1 ,
x2 则有 x1
x2
b a
;
x1. x2
x1+x2=
-
2
,
x1
·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+( 3
2
)+1=
5 2
3.设x1，x
为方程
2
x2
4x
1
0的两个根，
则：
x1 x2 4 x1 x2 1
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ＝ 14
(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ＝ 12
b
b2 4ac 2a
●
b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a2
4ac
c
= 4a2 = a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2=
-b a
,
c
x1x2 = a
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见的求值:
1. 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
2. x1 x2 x12 x22
x2 x1
x1 x2
(x1 x2 )2 2x1x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
4. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
c a
2、熟练掌握根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.
基本知识
下列方程的两根的和与两根的积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0
⑷.3X2=1
(1). x1 x2 3
(2).
x1
x2
2 3
(3).
x1
x2
3 2
(4). x1 x2 0
x1x2 1
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
4.已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2且 x12 x22 4， 求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
(1) x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2
(2)
2x2
-
3x
+
1 2
=0
3
x1+x2= 2
x1x2=-1
1
x1x2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2=0
4
x1x2= - 3
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
一元二次方程的 根与系数的关系
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
b b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0
（3）3x2-4x+1=0 (4) 2x2+3x-2=0
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △=-8＜0 ∴k=4(舍去） 当k=-2时，△=4＞0 ∴ k=-2
6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围；
（2）当x12-x22=0时，求m的值.
6.（2013•荆州）已知：关于x的方程
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值.
解：由根与系数的关系,得
⑵在使用X1+X2=－
b a
时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么
X1+X2= －P , X1X2= q .
一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积：x1 x2来自2 3x1x2 0
1
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法二：设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
两根
x1
x2
3
4
1 -4
1
1
3
-2
1
2
两根和 两根积
X1+x2 x1x2
7
12
-3
-4
4
1
3
3
-3
-1
2
方程
两根
两根和 两根积
x1
x2 X1+x2 x1x2
x2-7x+12=0
3
4
7
12
x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
1
-4
-3
-4
1
1
4
1
3
3
3
-2
1
-3
-1
2
2
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根为x1、x2, 则
x1 x2 b a.
c x1 x2 a
.
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
X1+x2=
b b2 4ac 2a
= 2b
2a
=
-b a
b b2 4ac
+
2a
X1x2=