(整理)数学奥林匹克初中训练题5

数学奥林匹克初中训练题5
姓名
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.方程xy+41z=2 009的质数解有( )组.
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
2.一条直线上有n个点,这条直线上线段的条数记为a n;一个平面内有n条直线,这n条直线把这个平面最多分成b n个部分、最少分成c n个部分.则a n与b n-c n的关系是( ).
(A)a n>b n-c n (B)a n=b n-c n (C)a n<b n-c n (D)以上都不正确
3.某中学从初一到高三年级学生中挑选学生会成员,至少要满足以下一个条件:①初一年级至多选1人;②初二年级至多选2人;③初三年级至多选3人;④高一年级至多选4人;⑤高二年级至多选5人;
⑥高三年级至多选6人.则至多要选出( )名同学才能做到.
(A)21 (B)22 (C)26 (D)28
1), 4.在直角坐标系中,P是抛物线y=x2上的一个动点,点M(0,
4
1),过N作直线l∥x轴.则以点P为圆心、PM为半径的⊙P N(0,-
4
与直线l的位置关系是( ).
(A)相交(B)相切(C)相离 (D)以上都有可能
5.若实数x 、y 、a 、b 满足x 2+y 2=1,a 2+b 2=25,则ax+by 的最大值是
( ).
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
6.在⊙O 中,弦CD 垂直于直径AB 于点E,弦DF 平分BC 交BC 于点G,弦AF 交O 于点H.则GH/AB 的值为( ).
(A)1/3 (B)1/4 (C)1/5 (D)2/5
二、填空题(每小题7分,共28分)
1.在凸四边形ABCD 中,AD=BC,∠A=∠C=100°.则四边形ABCD 的形状是 .
2.从1,2,…,2 008中,至少取 个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为2 012.
3.在锐角△ABC 中,∠A=60°,AD ⊥B 于点D,BD=1,CD=2.则△ABC 的面积为 .
4.若不等式(x+y))a x 1(y
≥16对任何正实数x 、y 均成立,则实数a 的最小值是 .
第二试
一、(20分)甲、乙两辆汽车同时从A 地出发,沿同一方向直线行驶,甲车最多能带aL 汽油,乙车最多能带bL 汽油(a ≥b 且均为油箱的最大容量),途中不能再加油,但是两车可相互借对方的油,最终两车要
返回A地.请设计一种方案,使其中一辆车尽可能地远离出发点A,并求出这辆车一共行驶了多少千米? (两车耗油量相同,每升油可使一辆车前进12 km.)
二、(25分)已知在凸四边形ABCD中AB=CD,G、H分别为BD、AC的中点,延长BA到点E,延长DC到点F,使AE=CF.求证:GH平分EF.
三、(25分)“若a、b、c为正实数,则abc≤
3c
b
a+
+,其中,当且仅当a=b=c时,上式等号成立.”利用以上结论,求函数y=2x(4-x)(3-2x)(0<x<3/2)的最大值.
数学奥林匹克初中训练题5参考答案
第一试
一、1.A.
由原方程得xy=2 009-41z=41(49-z).因为x 、y 为质数,所以,x=41或y=41.
(1)当x=41时,y=49-z,知y 、z 必有一个为偶数,故(y,z)=(2,47),(47,2),此时,原方程有两组质数解;
(2)当y=41时,类似(1)得原方程也有两组质数解.
2.B.
注意到
a n =1+2+…+(n-1)=2
1)-n(n , b n =1+(1+2+…+n)=2
2n n 2++, c n =n+1.
故b n -c n =2
2n n 2++-(n+1)=an. 3.C.
从反面考虑.
假如六个条件都不能满足,则初一年级至少选2人;初二年级至少选3人;……高三年级至少选7人.此时,总共至少选2+3+4+5+6+7=27人.故至多选26人.
4.B.
如图,过点P 作PA ⊥y 轴于点A,PB ⊥l 于点.设P(a,a 2).
则PA=|a|,PB=a 2- -14=a 2+1/4.
在Rt △PAM 中,AM=a 2-1/4.
则由勾股定理得PM= a 2+1/4=PB.
故⊙P 与直线l 相切.
5.C.注意到0≤(a-5x)2+(b-5y)2=(a 2+b 2)+25(x 2+y 2)-10(ax+by)
=50-10(ax+by).
则ax+by ≤5.
当ax+by=5时,a=5x,b=5y(x 、y 为任意实数).
故ax+by 的最大值是5.
6.B.
如图,联结CF.由垂径定理得︵AD = ︵AC ,有 ∠B=∠AFD.由OC=OB,得
∠B=∠OCB.
于是,∠AFD=∠OCB.所以,C 、H 、G 、F 四点共圆.
因此,∠CGH=∠AFC=∠B.
从而,GH ∥OB. 在△OCB 中,由CG=GB,得CH=HO.
根据三角形中位线定理得GH=21OB=41AB GH/AB=4
1. 二、1.平行四边形.
如图,作DE ⊥AB 于E 、BF ⊥CD 于 F.则∠EAD=∠FCB.又AD=BC,故 △EAD ≌△FCB.因此,DE=BF,AE=CF.①联结BD.则Rt △BED ≌Rt △DFB.故BE=DF.②②-
①得AB=CD.所以,四边形ABCD 是平行四边形.
2.504.
从1,2,…,2 008中选出两个偶数,和为2 012的共有501组,即4+2
008,6+2 006,…,1 004+1 008.由于2或1 006与其中的任意一个
偶数之和均不等于2 012,因此,至少取出501+2+1=504个偶数,才能保证其中一定有两个偶数之和为2 012. 3.4
)11 3 3(+. 如图,作BE ⊥AC 于点E,交AD 于点F.则∠1=∠2.由△AFE ∽△BCE AF/BC=AE/BE AF=AE/BE ·BC=BCcot ∠BAE=3.
由△BFD ∽△ACD FD/CD=BD/AD AD BD CD AF -AD =，AD
123 -AD = AD 2- 3AD-2=0
AD=211 3+或AD=2
11 -3 (舍去) 故S △ABC =
21BC ·AD=4)11 33(+. 4.9.
由题设,将原不等式变形整理为y 2-(15-a)xy+ax 2≥0.①
将式①看作关于y 的一元二次不等式因为式①对任意实数y 均成立,所以,
Δ=[-(15-a)x]2-4ax 2≤0,
即 (a 2-34a+225)x 2≤0.
又因为x 2>0,所以,a 2-34a+225≤0.解得9≤a ≤25.
故a 的最小值是9.
第二试
一、两车由A 地行驶到B 地,乙车在地停留,先借给甲车部分汽油,让甲车油箱满,甲车最远行驶到C 地用掉油箱中一半油,再返回B 地时用掉油箱中另一半油,时,乙车再第二次借汽油给甲车,两车同时回至A 地.设甲车从A 地到C 地共用汽油xL,车从A 地到B 地共用汽油
yL.则x+y=
21(a+b),x-y=2
1a. 解得x=4b 2a +,y=b/4. 故这辆车(甲)共行驶路程为6(2a+b) (km).
二、如图,设直线GH 交EF 于点P,联结AF,取EF 、AF 、BC 的中点分别为P ′、Q 、R,联结GR 、HR 、P ′Q 、HQ 、HP ′.易知GR
21CD, HR 21AB,HQ 2
1CF,P ′Q 21AE 又AB=CD,AE=CF,则
GR=HR,HQ=P ′Q,GR ∥HQ,HR ∥P ′Q
故∠RGH=
2
GRH -180∠︒, ∠QHP ′=2HQP'-180∠︒, ∠GRH=∠HQP ′.
于是,∠RGH=∠QHP ′.
又由GR ∥HQ,有∠RGH=∠QHP. 因此,∠QHP ′=∠QHP.
从而,HP 与HP ′重合,此时,P 为EF 的中点.故GH 平分EF.
三、由已知不等式知abc ≤3)3
c b a (++.要求y 的最大值,必须使y 的三个因式之和为常数且三个因式相等时,x 的值必须存在.显然,y 的三个因式不满足以上条件为此要引进参数.设a 、b 均为正数.
则y=ab 2 [x(4a-ax)(3b-2bx)]≤3]3
2bx)-(3b ax)-(4a x [2++ab = 3]3
1)x -2b (a 34a [2+-+b ab . 当a+2b-1=0,x=4a-ax=3b-2bx 时,解得(x,a,b)=(2/3,1/5,2/5)或(3,3,-1)(舍去). 故y 的最大值为
3)334(2b a ab +=200/27.。