2018-2019学年江苏省常州市高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年江苏省常州市高级中学高一上学期期中数学试题一、填空题1．合{}{}0,1,21,0,1A B ==，－，则A B = __________.【答案】{}1,0,1,2-【解析】根据集合并集运算的定义{}1,0,1,2A B ⋃=-. 2．不等式2301x x -<+的解为________________. 【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】将分式不等式转化为整式不等式，求解即可。

【详解】 解：2301x x -<+ ()()2310x x ∴-+< 即23010x x -<⎧⎨+>⎩或23010x x ->⎧⎨+<⎩解得312x -<<或无解 即不等式的解集为：31,2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭故答案为：31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分式不等式的解法，需注意将解集写成集合或区间的形式，属于基础题。

3．函数2ln(2)()1x x f x x -=-的定义域为_______．【答案】(0，1)∪(1，2)【解析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案． 【详解】要使原函数有意义，则22010x x x ＞⎧-⎨-≠⎩，解得：0＜x ＜2，且x≠1．∴函数f （x ）=()221ln x x x --的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．4．函数3()32xx f x =+的值域为__________．【答案】(0,1)【解析】利用反函数的定义域为原函数的值域求解。

【详解】 解：3()32xxy f x ==+ 231x yy∴=- 32log 1y x y ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭即3()32xx f x =+的反函数为32log 1x y x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭又32log 1x y x ⎛⎫=⎪-⎝⎭则201x x >-解得01x << 故函数32log 1x y x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的定义域为()0,1所以函数3()32xx f x =+的值域为()0,1，故答案为：()0,1 【点睛】本题考查求函数的值域，利用反函数跟原函数的关系，属于基础题。

5．已知幂函数．．．()y f x =的图象过点1(2,)4，则1()3f =_________. 【答案】9【解析】根据幂函数的一般解析式y x α=，因为其过点1(2,)4，求出幂函数的解析式，从而求出1()3f ； 【详解】 解：幂函数的一般解析式y x α=，幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4， 124α∴=，解得2a =-， 2y x -∴=， 211()()933f -∴==，故答案为：9 【点睛】此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题；6．若(1,2)m ∈,0.30.30.3,log ,m a b m c m = = =,则用“＞”将,,a b c 按从大到小可排列为 ． 【答案】b a c >> 【解析】试题分析：因为(1,m ∈，所以可得0.30.300.31,log 0,1m a b m c m <=< =< =>，所以可得b a c >>【考点】对数、指数、幂函数的性质7．已知函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 12)f f -+=__________．【答案】9【解析】分清所给的变量所在的范围，然后求出函数值即可． 【详解】由题意得f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3； 又log 212>1， 所以f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9． 【点睛】对于分段函数求函数值的问题，解题的关键是要分清变量所在的范围，然后再根据相关运算求出函数值即可．8．已知方程3log 6x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *+ ∈，则k =______. 【答案】4【解析】令3()log 6f x x x =-+，由()40f <，()50f >，()()450f f ⋅<，可得函数()f x 的零点所在的区间为(4,5)，由此可得k 的值． 【详解】解：令3()log 6f x x x =-+， ()334log 464log 420f =-+=-<，()335log 565log 510f =-+=->，()()450f f ∴⋅<，故函数()f x 的零点所在的区间为(4,5)，即方程3log 6x x =-的解所在区间为(4,5)，故4k =， 故答案为： 4． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．若函数()28,2,3log ,2,x a x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞,则实数a 的取值范围是___________． 【答案】15(2,2]【解析】首先求出函数在2x ≤时的值域，根据条件得到()3log 4a f x x =+≥恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可。

【详解】解：当2x ≤时，()[)284,8xf x =-+∈，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()3log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞且含有[)8,+∞，故1a >，所以()3log 2a f x >+，所以43log 28a ≤+≤，解得1522a <≤，所以实数a 的取值范围是15(2,2]， 故答案为：15(2,2] 【点睛】本题考查对数函数的单调性及恒成立问题，属于中档题。

10．已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意的实数12,x x （12x x ≠）均有1212()(()())0,x x f x f x --<则实数a 的取值范围是____________． 【答案】104⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a 的范围．【详解】解：对任意的实数12x x ≠，都有1212()(()())0x x f x f x --<成立，∴函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，可得：300141a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤⎩，解得104a <≤即10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键． 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足：①()f x 在(0,)+∞内单调递增，②(1)0f -=，则不等式(1)()x f x +>0的解为___________． 【答案】(,1)(1,0)(1,)-∞--+∞【解析】本题可以先再利用奇函数的特征得到函数在(,0)-∞上的特征，对原不等式进行分类讨论，易得本题结论． 【详解】 解：实数集R 上的奇函数()f x 满足(1)0f -=，∴函数()f x 的图象过点(1,0)-和点(1,0)．()f x 在(0,)+∞内单调递增，()f x ∴在(,0)-∞内单调递增． ∴当1x <-或01x <<时，()0f x <；当10x -<<或1x >时，()0f x >． 当1x =-或1x =或0x =时，()0f x =． (1)()0x f x +>，∴10()0x f x +>⎧⎨>⎩或10()0x f x +<⎧⎨<⎩，10x ∴-<<或1x >或1x <-．∴不等式(1)()x f x +>0的解集为{|1x x <-或10x -<<或1}x >．故答案为：(,1)(1,0)(1,)-∞--+∞【点睛】本题考查了奇函数的性质、函数单调性，还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，本题有一定的思维难度，属于中档题．12．已知函数21,01()3log ,12x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设,()()a b f a f b >=，则()b f a ⋅的取值范围是___________________. 【答案】3[,2)4【解析】画出函数的图象，利用已知,()()a b f a f b >=，得到,()b f a 的取值范围。

进而得出()b f a ⋅的取值范围。

【详解】解：画出函数()f x 的图象，可知0a b >>()()f a f b =令23log 121b +=+得12b = 112b ∴≤< 又3(1)()22f f a =≤< 3()24b f a ∴≤⋅< 故答案为：3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数的零点及函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，属于中档题。

13．已知函数()()x x f x e e x R -=-∈(e 为自然对数的底数)，且对任意的实数t 均有不等式22()()0f t x f t x -+-≥恒成立，则实数x 的取值集合．．是_________________. 【答案】1{}2-【解析】根据函数的单调性和奇偶性得到22t x x t -≥-对t R ∀∈恒成立，结合二次函数的性质求出x 的范围即可． 【详解】解：()xxf x e e -=-，xy e =Q 在定义域内单调递增，xy e -=在定义域内单调递减；()x x f x e e -∴=-在R 上单调递增，而()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-， 故()f x 是奇函数，若对任意t R ∈，不等式22()()0f t x f t x -+-≥都成立， 即22()()f t x f x t -≥-，故，22t x x t -≥- 故220t t x x +--≥对t R ∀∈恒成立，则()2140x x ∆=++≤可得12x =-即1x {}2∈-故答案为：1{}2- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．14．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15．若关于x 的不等式20x x a ++>的解为一切实数，则实数a 的取值范围是________. 【答案】14a >【解析】关于x 的不等式20x x a ++>的解为一切实数，从而方程20x x a ++=的判别式140a ∆=-<，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：关于x 的不等式20x x a ++>的解为一切实数，∴方程20x x a ++=的判别式140a ∆=-<，解得14a >． ∴实数a 的取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．设函数()f x 是R 上的偶函数，且[0,)x ∈+∞时函数单调递减，则使得(1)(21)x f f >-成立的x 的取值范围是___________.【答案】1x >【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得(1)(21)xf f >-得121x<-，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数()f x 为R 上的偶函数，且[0,)x ∈+∞时函数单调递减，则()f x 在(],0x ∈-∞上单调递增，则(1)(21)xf f >-， 则121x<- 解可得：1x >，即x 的取值范围为()1,+∞； 故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题．17．若函数1(),0()2ln ,0xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩在区间(2,2)-上有两个零点，则实数a 的取值范围是_____________. 【答案】[1,2ln 2)+【解析】判断分段函数的单调性，根据题意，判断函数的零点，推出实数a 的取值范围。