绘制三角形的内切圆
具体操作指南——三角形内切圆的画法——教案
具体操作指南——三角形内切圆的画法——教案教案三角形内切圆是指一个圆正好能够放置在三角形的内部且切于三角形的三条边上。
本篇教案将为大家介绍如何画出三角形的内切圆，并详细解释具体操作步骤。
1.测量三角形的三边长在进行三角形内切圆的画法之前，我们需要先测量三角形的三条边长，以便计算出圆心和半径的数值。
2.计算圆的半径三角形内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长（即三边长的和除以2）。
因此，我们可以利用以下公式来计算圆的半径：r = A / s其中，r是圆的半径，A是三角形的面积，s是半周长。
3.计算圆心在计算圆心之前，我们需要先求出三角形的高和底边的垂线。
将三角形的底边作为一条直线，可以得到其垂线相交于底边上某个点（如图所示）。
将该点称为点D，垂线长度称为h。
接下来，我们可以考虑如何求出圆心坐标。
由于圆心是三角形三条垂线的交点，我们就需要求出所有三条垂线的方程，并解出它们的交点。
具体来说，我们可以利用下列公式来计算圆心坐标：h1 = 2A / a,h2 = 2A / b,h3 = 2A / c,其中，a、b、c分别是三角形的三边长度。
设三角形的三个顶点为A、B、C，三边的中点分别为E、F、G，圆心为O，则可以得到：OE = h1 + h2，OF = h2 + h3，OG = h3 + h1。
因此，我们可以计算出圆心O的坐标：x = (b2c2h1 + c2a2h2 + a2b2h3) / (2s2)y = (b2c2h1 + c2a2h2 + a2b2h3) / (2s2)其中，s是三角形的半周长。
4.画出内切圆知道了圆心和半径的数值之后，我们可以使用这些数值画出内切圆。
具体操作步骤如下：1.在纸上画出三角形ABC，标出三个顶点A、B、C和三条边长a、b、c。
2.根据前面的计算，求出圆心坐标x和y，以及半径r。
3.在纸上画出坐标为(x, y)，半径为r的圆。
4.将圆心O与三角形三个顶点A、B、C相连，如果画出的线段正好与三角形三条边相切，则说明画得正确。
三角形的内切圆
三角形的内切圆三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。
内切圆可以从许多不同角度来研究，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍三角形的内切圆的定义、性质和一些相关应用。
首先，让我们来定义三角形的内切圆。
给定一个三角形ABC，假设它的三条边分别为a、b和c。
现在我们想要找到一个圆，使得该圆内切于三角形ABC，并且与三角形的三边分别相切于点D、E和F。
圆心O位于三角形的内部，并且到三角形的三边的距离相等，我们将其距离记为r。
这个圆就是三角形ABC的内切圆。
三角形的内切圆具有许多有趣的性质。
首先，内切圆的圆心和三角形的每个顶点以及内切点D、E和F在一条直线上，这条直线叫做内切圆的欧拉线。
此外，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s 的差值，即r = S/s，其中S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s为半周长。
内切圆还有一些重要的性质。
首先，内切圆与三角形的每个外接圆相切于同一点D、E和F，并且它们的半径相等。
其次，内切圆的半径和三角形的面积成正比，当半径增加时，面积也增加，反之亦然。
此外，内切圆的面积等于三角形的面积，且内切圆的周长等于三角形的周长。
内切圆还有一些实际应用。
例如，在制作方程式赛车时，车轮的形状通常是一个内切圆，这样可以确保车轮与地面的接触面积最大，提供更好的牵引力和操控性能。
此外，在建筑和工程中，内切圆也被广泛应用，例如在圆形井盖、管道等设计中。
通过研究三角形的内切圆，我们可以更深入地了解几何学中的一些基本概念和性质。
同时，内切圆还有一些实际应用，使我们更好地理解它们在现实世界中的意义。
总结起来，三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。
它具有许多有趣的性质，包括与三角形的每个外接圆相切、与三角形的三个顶点和内切点在一条直线上等。
它也有一些实际应用，如在方程式赛车和建筑工程中的应用。
通过研究三角形的内切圆，我们可以深入了解几何学中的一些基本概念和性质。
AutoCAD-任务一 绘制三角形及其内切圆
2．自动对象捕捉 自动捕捉就是当把光标放在一个对象上时，系统自动捕捉到对象上
所有符合条件的几何特征点，并显示相应的标记。
（1）菜单栏：单击菜单栏中的 “工具” → “草图设置”→ “对象捕捉”选项卡。 （2）状态栏：右键单击状态栏 中“对象捕捉 ”按钮，从快捷 方式中选取“设置”选项。 （3）命令行：OSNAP。
将绘制好的图形保存为“三角形及其内切圆文件后缀为“.dwt”。
绘制等腰三角形及其外接圆 如图所示，等腰三角形的底边长为40mm，高为30mm，试绘制等腰 三角形及其外接圆。
一、绘制直线 1. 命令执行方式 2．操作提示 3．操作说明 二、绘制圆 1. 命令执行方式 2．操作方式 三、正交模式 四、对象捕捉 1．单一对象捕捉 2．自动对象捕捉
1．单一对象捕捉
单一对象捕捉是一种暂时的、单一的捕 捉模式，每一次操作可以捕捉到一个特 殊点，操作后功能关闭。
（1）工具栏：单击菜单栏中“工 具”→“工具栏”→ “AutoCAD”→ “对 象捕捉”打开“对象捕捉”工具栏
（2）快捷键：在
绘图区任意位置， 按下“Shift”或 “Ctrl”键，再单
4. 在绘图区任意位置，按下 键，再单击鼠标右键，打开单一对象捕捉快捷菜单。
5. 在AutoCAD中，可以使用 种方法绘制圆。
6. 使用状态栏中的“ ”功能，可以方便地绘制出水平线和垂直线。
二、判断题 7.单一对象捕捉模式，每一次操作可以捕捉到多个特殊点。（ ） 8.用“直线”功能绘制的三角形，是由三个对象组成的。（ ） 9.图形文件后缀为“.dwt”，样板文件后缀为“.dwg”。（ ） 10.在正交模式下，只能绘制与X 轴或Y 轴平行的线段。（ ） 11.单击“正交”按钮，即打开正交功能，再次点击 “正交”按钮即关闭该功能。（ ） 三、选择题（将正确的答案填在括号内） l2.用AutoCAD画完一幅图后，在保存该图形文件时用（ ）扩展名。
三角形内切圆尺规作法
三角形内切圆尺规作法引言：三角形内切圆尺规作法是一种用于构造三角形内切圆的方法，通过使用尺规来确定内切圆的圆心和半径。
本文将介绍三角形内切圆的定义、性质以及尺规作法的步骤和原理。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一个点，该点称为圆心，相切点称为切点。
三角形内切圆具有以下性质：1. 三角形的三条边上的切线相交于内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
二、尺规作法的步骤和原理下面将介绍一种常用的尺规作法来构造三角形内切圆：步骤1：画出给定的三角形ABC。
步骤2：以任意一边上的点为圆心，以该边为半径画一个圆，与另外两条边相交于D和E两点。
步骤3：连接AD和AE两条线段。
步骤4：以D和E为圆心，DA和EA为半径，分别画两个圆，它们相交于F点。
步骤5：连接BF线段。
步骤6：以BF的中点为圆心，BF的长度为半径，画一个圆，该圆即为三角形ABC的内切圆。
原理解析：尺规作法的基本原理是利用直尺作直线，利用圆规作圆，通过多次作图和连线来确定内切圆的位置和半径。
在本方法中，步骤2中画的圆与另外两条边相交于D和E点，实际上是构造了两个相切的圆，其切点即为内切圆的切点。
步骤4中画的两个圆与BF相交于F点，通过连接BF线段，可以找到内切圆的圆心。
而步骤6中以BF的中点为圆心，BF的长度为半径作圆，可以得到内切圆的半径。
三、尺规作法的应用举例下面通过一个具体的例子来演示三角形内切圆尺规作法的应用：例：已知三角形ABC，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，求其内切圆的圆心和半径。
解：按照尺规作法的步骤进行如下操作：步骤1：画出三角形ABC。
步骤2：以AB为边，以A点为圆心，作一个圆与BC和AC相交于D和E两点。
步骤3：连接AD和AE两条线段。
步骤4：以D和E为圆心，分别以DA和EA为半径，作两个圆，它们相交于F点。
步骤5：连接BF线段。
步骤6：以BF的中点为圆心，以BF的长度为半径，作一个圆，该圆即为三角形ABC的内切圆。
3.5三角形的内切圆
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁 下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积 尽可能大呢？
A
A B
B
C
C
问题二：
三 角 形 内 切 圆 的 作 法
1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置 有什么特点？
3．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？ 2．如图，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB 的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？ 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？内切圆圆心能否 在三角形外部?B50AFra bibliotek? 80
O
? 100
70
C
O是内心,∠A与∠BOC之间存在怎样的数量 A 关系?请说明理由.
易证∠BOC= ∠A +∠ABO+∠ACO
O B
D
C
1 =∠A+ (∠ABC+∠ACB) 2 1 =∠A+ (1800-∠A) 2
=900+
1 ∠A 2
例3.如图，△在ABC中，∠A=680，点O是内心， 求∠BOC的度数
30 40 50 r 2
A
30
F O
50
D
C
E
40
B
1. 如图1,△ABC是⊙O的 内接 三角 形.⊙O是△ABC的 外接 圆,点O 叫△ABC的 外心 ,它是三角形 B 三边中垂线的交点. D 2.定义 : 和三角形各边都相切的 1 圆叫做 三角形的内切圆 ,内 ． I 切圆的圆心叫做三角形的 E 内心 ,这个三角形叫做 图2 圆的外切三角形 .
它到三角形各边的距离相等。
C
画一画
三角形的内切圆的画法
三角形的内切圆的画法内切圆是指一个圆恰好与三角形的三条边相切于一点的情况。
在几何学中，内切圆是三角形的一个重要属性，具有许多特殊性质。
本文将介绍一种有效的方法来画三角形的内切圆。
首先，我们需要知道三角形的内切圆的圆心和半径的计算公式。
三角形的内切圆的圆心即为三角形三条边的三条角平分线的交点，而半径则等于三角形的面积除以半周长。
假设给定的三角形为ABC，其中AB、BC和CA代表三角形的三边，而∠A、∠B和∠C分别代表三角形的三个内角。
接下来，我们将具体描述绘制内切圆的步骤。
1. 首先使用直尺和尺子测量并绘制出三角形ABC的三条边AB、BC 和CA。
2. 使用量角器或者直尺求出三个内角∠A、∠B和∠C，并标记出来。
3. 从角∠A开始，使用量角器或者直尺，将∠A平分为两个相等的角，并将平分线延长至与边BC相交，记交点为D。
4. 同样地，从角∠B开始，将∠B平分为两个相等的角，并将平分线延长至与边CA相交，记交点为E。
5. 最后，从角∠C开始，将∠C平分为两个相等的角，并将平分线延长至与边AB相交，记交点为F。
6. 连接交点D、E和F，得到三角形DEF。
7. 使用量角器或者直尺，测量三角形DEF的半周长，并计算出三角形DEF的面积。
8. 根据计算结果，确定内切圆的圆心和半径，将圆心标记在交点D、E和F的共同交点处，圆心记为O，半径记为r。
9. 最后，使用量角器或者直尺绘制出内切圆，将半径r从圆心O 处延伸，与三角形的边AB、BC和CA相切。
通过以上的步骤，我们可以轻松地绘制出三角形的内切圆。
值得注意的是，在实际绘制中，我们可以选择使用绘图工具、计算器等辅助工具来提高绘制的精确度和效率。
总之，绘制三角形的内切圆是一个有趣且有挑战性的几何问题。
希望通过本文的介绍，读者可以更加深入地了解内切圆的概念和绘制方法，进一步提高对三角形性质的理解和掌握。
通过不断的练习和实践，相信大家可以掌握这一方法，并在解决几何问题时灵活运用。
python画出三角形外接圆和内切圆的方法
python画出三⾓形外接圆和内切圆的⽅法刚看了《最强⼤脑》中英对决，其中难度最⼤的项⽬需要选⼿先脑补泰森多边形，再找出完全相同的两个泰森多边形。
在惊呆且感叹⾃⾝头脑愚笨的同时，不免⼿痒想要借助电脑弄个图出来看看，闲来⽆事吹吹⽜也是极好的。
今天先来画画外接圆和内切圆，留个⼤坑后⾯来填。
外接圆圆⼼：三⾓形垂直平分线的交点。
内切圆圆⼼：三⾓形⾓平分线的交点。
有了思路，就可以⽤万能的python来计算了import matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.linalg import solveimport numpy as npfrom matplotlib.patches import Circle'''求三⾓形外接圆和内切圆'''# 画个三⾓形def plot_triangle(A, B, C):x = [A[0], B[0], C[0], A[0]]y = [A[1], B[1], C[1], A[1]]ax = plt.gca()ax.plot(x, y, linewidth=2)# 画个圆def draw_circle(x, y, r):ax = plt.gca()cir = Circle(xy=(x, y), radius=r, alpha=0.5)ax.add_patch(cir)ax.plot()# 外接圆def get_outer_circle(A, B, C):xa, ya = A[0], A[1]xb, yb = B[0], B[1]xc, yc = C[0], C[1]# 两条边的中点x1, y1 = (xa + xb) / 2.0, (ya + yb) / 2.0x2, y2 = (xb + xc) / 2.0, (yb + yc) / 2.0# 两条线的斜率ka = (yb - ya) / (xb - xa) if xb != xa else Nonekb = (yc - yb) / (xc - xb) if xc != xb else Nonealpha = np.arctan(ka) if ka != None else np.pi / 2beta = np.arctan(kb) if kb != None else np.pi / 2# 两条垂直平分线的斜率k1 = np.tan(alpha + np.pi / 2)k2 = np.tan(beta + np.pi / 2)# 圆⼼y, x = solve([[1.0, -k1], [1.0, -k2]], [y1 - k1 * x1, y2 - k2 * x2])# 半径r1 = np.sqrt((x - xa)**2 + (y - ya)**2)return(x, y, r1)# 内切圆def get_inner_circle(A, B, C):xa, ya = A[0], A[1]xb, yb = B[0], B[1]xc, yc = C[0], C[1]ka = (yb - ya) / (xb - xa) if xb != xa else Nonekb = (yc - yb) / (xc - xb) if xc != xb else Nonealpha = np.arctan(ka) if ka != None else np.pi / 2beta = np.arctan(kb) if kb != None else np.pi / 2a = np.sqrt((xb - xc)**2 + (yb - yc)**2)b = np.sqrt((xa - xc)**2 + (ya - yc)**2)c = np.sqrt((xa - xb)**2 + (ya - yb)**2)ang_a = np.arccos((b**2 + c**2 - a**2) / (2 * b * c))ang_b = np.arccos((a**2 + c**2 - b**2) / (2 * a * c))# 两条⾓平分线的斜率k1 = np.tan(alpha + ang_a / 2)k2 = np.tan(beta + ang_b / 2)kv = np.tan(alpha + np.pi / 2)# 求圆⼼y, x = solve([[1.0, -k1], [1.0, -k2]], [ya - k1 * xa, yb - k2 * xb])ym, xm = solve([[1.0, -ka], [1.0, -kv]], [ya - ka * xa, y - kv * x])r1 = np.sqrt((x - xm)**2 + (y - ym)**2)return(x, y, r1)if __name__ == '__main__':A = (1., 1.)B = (5., 2.)C = (5., 5.)plt.axis('equal')plt.axis('off')plot_triangle(A, B, C)x, y, r1 = get_outer_circle(A, B, C)plt.plot(x, y, 'ro')draw_circle(x, y, r1)x_inner, y_inner, r_inner = get_inner_circle(A, B, C)plt.plot(x_inner, y_inner, 'ro')draw_circle(x_inner, y_inner, r_inner)plt.show()下⾯看看两个三⾓形的结果：以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家的学习有所帮助，也希望⼤家多多⽀持。
三角形的内切圆(1)
巩固提高 2、判断。 (1)、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 (2)、直角三角形的外心是斜边的中点。 3、填空： (1)、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径____，内切圆半径_____。 (2)、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比___。
A
B
C
D
E
F
2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝______度。
117.5
62.5
巩固提高 1. 下列命题正确的是（ ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
C
A
F
E
D
O
已知等边三角形的边长，能求出三角形的内切圆的半径的吗？反之呢？
记忆:
例2.已知：△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F，∠DIE=120°,∠EIF=130°.求△ABC的三个内角的度数.
A
B
C
●
I
D
E
F
A
B
C
I
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝______度。
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
C
B
A
E
D
F
O
r
B
C
a
b
c
r
A
直角三角形的两直角边分别是5cm,12cm 则其内切圆的半径为______。
E
D
4.5 三角形的内切圆
5.已知，如图，PA、PB是 5.已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点. 已知 的两条切线， 为切点. 直线OP 直线OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； 写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. 写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 的长. 求半径 OA 的长. E O C B A D P
切线长概念 在经过圆外一点的切线上， 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的 这点到圆的切线长 叫做这点到圆的切线长 A
O · B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 是一回事吗
P
切线和切线长
A
O P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 切线是一条与圆相切的直线 2.切线长是线段的长， 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 切线长是线段的长 一点和切点，可以度量. 一点和切点，可以度量.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 是等腰三角形 ∴OP垂直平分AB OP垂直平分AB 垂直平分
跟踪训练 B
1.若延长PO交 1.若延长PO交⊙O于点C， 若延长PO 于点C 连结CA、CB， AC和BC相等 连结CA、CB， AC和BC相等 CA 吗？为什么？ 为什么？ AC=BC
例
题 B O M A P
若连结两切点A 若连结两切点A、B，AB交OP于点 AB交OP于点 M.你又能得出什么新的结论? M.你又能得出什么新的结论?并给 你又能得出什么新的结论 出证明. 出证明. OP垂直平分AB OP垂直平分AB 垂直平分
尺规作图：三角形的内切圆、外接圆
尺规作图：三角形的外接圆、内切圆
◆三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，即圆心到三角形各个顶点的距离
相等
尺规作图步骤：
（1）找圆心：任取三角形的两条边（如取边BC 和AC ），找它们的垂直平分线的交点
①选一半径R>2
1BC ，分别以B 、C 为圆心画圆弧交于两点，过两个点的直
（1）找圆心：任取三角形的两个角（如取∠B 与∠C ），找它们角平分线的交点
①任取一半径长，过顶点B 画圆弧与∠B 的两边交于两点，任取一半径长大于这两个交点的距离的一半，分别以两个交点为圆心画等半径的圆弧，交于一点，过顶点B 和该交点作射线，这条射线就是∠B 的角平分线。
同样的原理画出∠C 的角平分线，与∠B 的角平分线交于点O ，点O 就是该三角形内切圆的圆心
（2）确定半径，画圆：找圆心O 在三角形任一边上的垂足，O 与垂足之间的距离即为内切圆的半径长
②过O作任意三角形的边（如BC）的垂线：以O为圆心，分别以OB、OC 为半径画圆弧，于BC边的下方有另一交点，过O与该交点作直线于BC交于点D，则OD为内切圆的半径
③以OD为半径，O为圆心画圆。
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复习回顾
1、常用的选取对象的 方式有哪三种？
2、直线段的绘制 方式有哪三种？
a)鼠标直接点取法 b)窗口方式 c)窗交方式
a)鼠标输入法 b)键盘输入法 c)用给定距离的方式输入
任务导入 根据下列图形绘制任意三角形的内切圆
教学目标
1、巩固直线段的基本绘制方法 2、巩固圆的绘制方法 3、巩固“对象捕捉”设置
任务分析
绘制任意三角形
绘制内切圆
实践操作
1、新建文件
2、绘制任意三角形
（1）设置对象捕捉
3）选中“端点”、 “切点”等特征点。
1）移动鼠标光标到状态
栏中的
按钮上，单
击鼠标右键，系统弹出如
图所示的快捷菜单。
2）单击“设置”选项，系 统会弹出“草图设置”对话 框。
（2）绘制三角形
1）单击“绘图”工具栏中 的按钮 ，启动直线命令。
直线段的 绘制方式Leabharlann 课堂小结鼠标输入法
重点
键盘输入法
用给定距离的方式输入
课堂小结
圆的绘制方式 重点
“圆心、半径”方式
“圆心、直径”方式
“两点”方式
“三点”方 式
难点
“相切、相切、半径”方
式 “相切、相切、相切”方式
课后思考
如果不用“对象捕捉”方式，
端点
我们还可以根据命令行提 示，采取什么方式封闭三 角形？
3）绘制第一条线段
2）启用状态栏的“对象捕 捉”.
5）捕捉三角形的起 点绘制第三条线段。
端点
4）绘制第二条线段
选择下拉菜单 “绘图/圆/相切、 相切、相切”命 令
3、绘制内切圆
捕捉圆上 第一个切点
递延切点
3、绘制内切圆
递延切点
捕捉圆上第三 个切点,即可绘 制出内切圆
递延切点
捕捉圆上 第二个切点
1、我们在绘制任意三角形时用 的是直线段的哪种绘制方式？
（答：用的是“鼠标直接点取”法）
想一想
2、在设置“对象捕捉”时，是否可以 一次把所有的点都选中？
（答：不可以，因为如果一次将太多的点选中的， 在进行“对象捕捉”时，会产生干扰。）
递延切点
递延切点 递延切点
小提醒
想捕捉三角形中的切点，必须 打开“状态栏”中的“对象捕 捉”按钮。否则即使在“草图 设置”对话框中选择了“切 点”，也会出现捕捉失败的现 象。