2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 章末小结 知识整合与阶段检测

[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.解析：要使x1－y2＋y1－x2＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y1－x2，即2y1－x2＝1－x2＋y2.只需使(1－x2－y)2＝0，即1－x2＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n n x n ≥n ＋1，故a ＝n n .答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n ＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1①而(2－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。