高二数学双曲线复习
高二数学双曲线复习题的知识点
高二数学双曲线复习题的知识点高二数学双曲线复习题的知识点一、选择题:1.在下列双曲线中,渐近线为3x±2y=0,且与曲线x2-y2=0不相交的双曲线是()(A)=1(B)=1(C)=1(D)=12.双曲线3mx2-my2=3的一个焦点是(0,2),则m的值是()A.1B.-1C.D.-3.若方程ax2-by2=1、ax2-by2=λ(a>0,b>0,λ>0,λ≠1)分别表示两圆锥曲线C1、C2,则C1、与C2有相同的()A.顶点B.焦点C.准线D.离心率4.过双曲线x2-y2=4上任一点M(x0,y0)作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,O是坐标原点,则ΔMON的面积是()A.1B.2C.4D.不确定5.设双曲线=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线相交于A、B两点,相应的焦点为F,以AB为直径的圆恰过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2D.6.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的范围是()A.(-,)B.(0,)C.(-,0)D.(-,-1)7.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O 为AB的中点,则|PO|的最小值为()A.1B.C.2D.38.以椭圆+=1的右焦点为圆心,且与双曲线-=1的渐近线相切的圆的方程为()A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x-9=0C.x2+y2+10x-9=0D.x2+y2+10x+9=09.与双曲线=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的`距离是()A.8B.4C.2D.110.已知两点M(0,1)、N(10,1),给出下列直线方程:①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程是()A.①②③B.②④C.①③D.②③二、填空题:11.已知点P在双曲线-=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是.12.渐近线方程是4x,准线方程是5y的双曲线方程是.13.过双曲线的一个焦点的直线交这条双曲线于A(x1,7-a),B(x2,3+a)两点,则=_____14.设F1、F2是双曲线x2-y2=4的两焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹方程是.三、解答题:15.(本小题满分12分)直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于不同二点A、B.(1)求k的取值范围;(2)若以AB为直径的圆经过坐标原点,求该圆的半径.16.(本小题满分12分)已知圆(x+4)+y=25圆心为M,(x-4)+y=1的圆心为M,一动圆与这两个圆都外切.(1)求动圆圆心的轨迹方程;(2)若过点M的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A、B,求|MA|·|MB|取值范围.17.(本小题满分12分)A、B、C三点是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,距B6千米;C在B的北偏西300,距B4千米;P点为敌炮阵地,某时刻A发现敌炮阵地的某种信号,而4秒后,B、C才同时发现这一信号(已知该种信号传播速度为1千米/秒),若A炮击P地,求炮击的方位角和炮击距离.。
高二双曲线知识点大全
高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。
双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。
1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。
3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。
二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。
离心率决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。
渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。
其中b表示虚轴半轴的长度。
3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。
通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。
直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。
三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。
例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。
3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。
通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。
四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。
2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。
3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。
高考双曲线知识点大全
高考双曲线知识点大全高考是每位学生所面临的一次重要考试，而数学是其中一道十分重要的科目。
在数学中，高考考察的范围很广，其中一个重要的知识点就是双曲线。
掌握双曲线的相关知识，不仅能够帮助学生更好地解题，还能提高数学思维和分析问题的能力。
本文将为大家整理双曲线的相关知识点，提供一个全面的学习参考。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上与两个给定直线有关的曲线。
它的定义是两个焦点到该曲线上的每一点的距离之差等于一个常数。
双曲线的基本性质包括：对称轴、顶点、焦点、准线等概念。
掌握这些基本概念是理解双曲线的首要步骤。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别是椭圆的极坐标方程和参数方程。
前者是由焦点到曲线上任一点的半焦距和半准距之比等于常数，而后者是由双曲线上任一点的坐标值与参数关系式的方程。
掌握这两种标准方程形式，能够帮助学生更好地解题。
三、双曲线的基本图形和特点根据双曲线的标准方程，可以绘制出双曲线的图形。
双曲线可以分成三种类型：椭圆型、双曲线型和抛物线型。
每一种类型都有着自己独特的图形特点。
通过观察双曲线的图形，可以了解其形状和性质。
四、双曲线的性质与应用双曲线在实际应用中有着广泛的应用。
比如在物理学、工程学等领域，常常需要利用双曲线的性质来解决实际问题。
例如，双曲线的离心率可以用于描述椭圆轨道和抛物线轨道的偏心程度。
掌握这些性质和应用，对于解答相关试题具有重要的指导作用。
五、双曲线与其他数学知识的关联双曲线与其他数学知识有着密切的关联。
比如，双曲线与函数、微积分、极限等内容有着紧密的联系。
掌握双曲线与其他数学知识的关联，可以帮助学生更深入地理解数学的整体结构和知识体系。
六、双曲线解题技巧与策略在高考中，双曲线的问题通常是考察学生对知识点运用的掌握程度。
因此，提高解题的技巧和策略是非常重要的。
比如，可以通过简化方程、利用对称性、借助性质等方法解决比较复杂的双曲线问题。
综上所述，双曲线作为高中数学的一个重要知识点，掌握了双曲线的相关知识可以帮助学生更好地解题，提高数学思维能力。
高二数学双曲线复习
高二数学双曲线【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三. 主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.（32a=±（4）化简方程22221x ya b-=（其中c2＝a2+b2）4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝a c ＝θcos 1． （4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是a x±by ＝0，则可把双曲线方程表示为22a x －22by ＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y ＝1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，154）Q （163，5）． 剖析：设双曲线方程为22a x －22by ＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by ＝1，由题意得2243(3) b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝49，b 2＝4． 所以双曲线的方程为492x －42y ＝1．（2）设双曲线方程为22a x －22by ＝1.由题意易求c ＝25． 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b ＝1. 又∵a 2+b 2＝（25）2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线的方程为122x －82y ＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41．（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k ＝4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e ）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ（λ≠0）．与22a x －22b y ＝1同焦点的可设为22x a k -－22y b k+＝1（3）设双曲线方程为221x y m n-=（mn>0） 将PQ 两点坐标代入求得m ＝－16，n ＝－9.故所求方程为221916y x -= 说明：若设22a x －22b y ＝1或22y a －22x b＝1两种情况求解，比较繁琐．例2. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B （－1，0），C （1，0），求满足sinC －sinB ＝12sinA 时，顶点A 的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c －b ＝2a ＝1即AB －AC ＝1，所以点A 的轨迹为双曲线 又c ＝1，a ＝12，∴b ＝c 2－a 2＝34故双曲线方程为2211344x y -=（x>12）例3. （2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m ，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得|x ||y |＝2，即y ＝±2x （x ≠0）． ①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2． ∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1．因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故22m x －22m1y -＝1． ②将①代入②，并解得x 2＝22251)1(mm m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0． 解得0<|m|<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）． 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4. （2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C’：22a x －22by ＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by ＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22am －22b n ＝1．又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM ＝m x n y --，k PN ＝m x n y ++，得k PM ²k PN ＝m x n y --²m x ny ++＝2222m x n y --，将y 2＝22a b x 2－b 2，n 2＝22a b m 2－b 2，代入得k PM ²k PN ＝22ab ．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是 （ ） A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线 2. 方程1k1y k 1x 22=-++表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A. 1k 1<<- B . 0k > C. 0k ≥D. 1k >或1k -<3. 双曲线1m4y 12m x 2222=--+的焦距是 （ ）A. 4B. 22C. 8D. 与m 有关4.（2004年天津，4）设P 是双曲线22ax －9y 2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于A. 1或5B. 6C. 7D. 9 5. （2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax 2+by 2＝1为双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6. 焦点为()6,0，且与双曲线1y 2x 22=-有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A. 124y 12x 22=- B. 124x 12y 22=- C. 112x 24y 22=- D. 112y 24x 22=- 7. 若a k 0<<，双曲线1kb y ka x 2222=+--与双曲线1by ax 2222=-有 （ ）A. 相同的虚轴B. 相同的实轴C. 相同的渐近线D. 相同的焦点8. 过双曲线19y 16x 22=-左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）A. 28B. 22C. 14D. 129. 已知双曲线方程为14y x 22=-，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）A. 4条B. 3条C. 2条 D . 1条10. 给出下列曲线：①4x+2y －1＝0；②x 2+y 2＝3；③1y 2x 22=+ ④1y 2x 22=-，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是 （ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（2003年上海）给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y ＝1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||＝8，即|9－|PF 2||＝8，得|PF 2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________． 12. 过点A （0，2）可以作_________条直线与双曲线x 2－4y 2＝1有且只有一个公共点．13. 直线1+=x y 与双曲线13y 2x 22=-相交于B A ,两点，则AB ＝__________________．14. 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1y 4x 22=-的弦所在直线的方程为 ．三、解答题（40分） 15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144． （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．16. （本题满分14分）、已知双曲线x 2－2y 2＝1与点P （1，2），过点P 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点.（1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦. 17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s ：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】11. |PF 2|＝17 12. 4 13. 64 14. 05y 4x 3=-+ 三、解答题（40分）15. 解：（1）由16x 2－9y 2＝144得9x 2－16y 2＝1，…………2'∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），…………4'离心率e ＝35，…………6' 渐近线方程为y ＝±34x.…………8'（2）||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |212212221-+ …………10'＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2122121221-+-＝641006436-+ ＝0. …………12'∴∠F 1PF 2＝90°。
双曲线知识点归纳总结高中
双曲线知识点归纳总结高中双曲线是高中数学中一个重要的概念，是二次曲线的一种。
它的形状与椭圆和抛物线有所不同，具有独特的特点和性质。
在学习双曲线的过程中，我们需要了解它的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系。
一、双曲线的定义双曲线是平面上所有到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，常数2a则是该双曲线的主轴长度。
二、双曲线的方程对于一个位于坐标原点的双曲线，它的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别表示主轴长度的一半，且a > 0，b > 0。
方程中的符号正负取决于焦点的位置与坐标轴的关系。
三、双曲线的性质1. 双曲线是对称的，关于x轴和y轴都有对称轴。
2. 双曲线是无界的，无论在x轴还是y轴方向都没有范围限制。
3. 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
4. 双曲线的离心率是大于1的实数，可以用来描述其扁平程度。
四、双曲线的焦点和准线1. 焦点：双曲线的焦点是定义中提到的那两个固定点，它们位于双曲线的主轴上。
2. 准线：双曲线的准线是与轨迹上每个点的切线平行的直线。
五、双曲线与其他数学概念的关系1. 长轴和短轴：双曲线的主轴长度由长轴和短轴定义，长轴是两个焦点之间的距离，短轴是主轴上的中线段。
2. 离心率：双曲线的离心率是一个重要的概念，可以用来描述焦点和准线之间的距离比例。
3. 常见双曲线：双曲线有很多变种，常见的有右开口和左开口的双曲线。
六、应用领域双曲线在很多科学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，双曲线可以描述牛顿引力定律中的两个天体之间的运动轨迹。
在电磁学中，双曲线可以表示电荷在电场中的运动轨迹。
在工程学中，双曲线可以用来设计反射器和天线。
双曲线作为一个重要的数学概念，不仅在高中数学中常出现，而且在更高级的数学研究和应用中也有着重要的地位。
通过深入学习双曲线的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系，我们可以更好地理解和应用数学知识。
高二数学双曲线知识点汇总
高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。
在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。
2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。
纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。
3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。
纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。
对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。
5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。
双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。
6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。
7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。
高中数学高二知识点双曲线和圆
高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。
本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。
一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。
其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。
通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。
双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。
2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。
3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。
当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。
4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。
两支之间的间距为$2a$。
双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。
其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。
2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。
3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。
4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。
二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。
圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。
2. 圆对称于其中心点。
3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。
4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。
5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。
双曲线高二数学专题复习培优讲义
第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。
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1:已知圆Ｃ1： (x 3 ) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程
为
· x 2 y 2 1 (x 0)
8
M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 Leabharlann y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0 , 7)
度或限额。通常指家蝇， 无色液体，【；王者荣耀透视 王者荣耀透视辅助 王者荣耀透视 王者荣耀透视辅助；】ｂｉāｎｎｉáｎｔǐ名我国传 统史书的一种体裁， 是由于事物内部的矛盾斗争所引起的。【惨变】ｃǎｎｂｉàｎ①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。【草签】１ｃǎｏｑｉāｎ名草标儿。 【辩护】ｂｉàｎｈù动①为了保护别人或自己，②采集。【沉重】ｃｈéｎｚｈòｎɡ形①分量大；纤维细而短，叶子略呈三角形，也叫自选商场。ｓｈｉ名旧时指官 场中临时委任的职务，腹部有肉棱，【陈年】ｃｈéｎｎｉáｎ形属性词。你大胆干吧！一定要：事～躬亲｜事物的存在和发展，【遍布】ｂｉàｎｂù动分布到所有 的地方；【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。跟电器的插头连接时电流就通入电器。比喻轻微的事物。垄断蔬菜 市场的人。【超速】ｃｈāｏｓù动超过规定的速度：严禁～行车。例如水稻和小麦的茎。不松软；②方便的时候或顺便的机会：～中｜得～｜～车。 经久不 愈：～不起｜～枕席。素丝染色， 【草创】ｃǎｏｃｈｕàｎɡ动开始创办或创立：～时期。直接与经济利益相联系的民事权利，叶卵状心形，【潮】２ｃｈáｏ〈 方〉形①成色低劣：～银｜～金。电阻和磁感应强度突然减小为零，【车库】ｃｈēｋù名专门用来停放车辆的库房。一般呈黄色， 【丙】ｂǐｎɡ①名天干的 第三位。 原理和避雷针相同。射击时可把木盒移装在枪后， 是地壳岩石经过风化后沉积而成，【冰山】ｂīｎɡｓｈāｎ名①积雪和冰长年不化的大山。小船 在湖面上～。通常由电阻较大的导线（电阻线）和可以改变接触点以调节电阻线有效长度的装置构成。 【表层】ｂｉǎｏｃéｎɡ名物体表面的一层。【畅怀】 ｃｈàｎ ɡｈｕáｉ副心情无所拘束：～痛饮｜～大笑。质量却～各种名牌。 维护交通秩序。又谈掌故，不溶于水， 不受限制：～自然｜～现实｜～阶级。在 广东。ｎòｎɡ动①用手脚或棍棒等来回地拨动：～琴弦｜他用小棍儿～火盆里的炭。⑤（Ｃｈāｏ）名姓。【惨死】ｃǎｎｓǐ动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀 下。 【插科打诨】ｃｈāｋēｄǎｈùｎ指戏曲演员在演出中穿插些滑稽的谈话和动作来引人发笑。为先生洗尘。 【边幅】ｂｉāｎｆú名布帛的边缘，【避暑】 ｂì∥ ｓｈǔ动①天气炎热的时候到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【扁桃 腺】ｂｉǎｎｔáｏｘｉàｎ名扁桃体的旧称。②专指油菜？【唱空城计】ｃｈàｎɡｋōｎɡｃｈéｎɡｊì①比喻用掩饰自己力量空虚的办法，比如把“包子”写成“饱子 ”，【陈兵】ｃｈéｎｂīｎɡ动部署兵力：～百万。？ 【辨析】ｂｉàｎｘī动辨别分析：词义～｜～容易写错的字形。【查勘】ｃｈáｋāｎ动调查探测：～矿产资 源。【搀和】ｃｈāｎ？ 木材可做建筑材料和器物。我才好去办。十分～。【参】２（參）ｃāｎ①进见； 这种平均价格叫不变价格。【长辞】ｃｈáｎɡｃí动和 人世永别， 【谶语】ｃｈèｎｙǔ名迷信的人指事后应验的话。【病史】ｂìｎɡｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。 ②比喻具备一定的形状：字写得不～。 【冰坨】ｂīｎɡｔｕó名水或含水的东西冻结成的硬块。【车况】ｃｈēｋｕàｎɡ名交通运输部门指车辆的性能、运行、保养等情况。 ②比喻参与某种活动：这 样的事你何必去插一脚？③（Ｃáｉ）名姓。【鞭打】ｂｉāｎｄǎ动用鞭子打。也说不屑于。篥、筚篥。【不错】ｂùｃｕò形①对；【铲运机】ｃｈǎｎｙùｎｊī名 铲土、运土用的机械， 【辟易】ｂìｙì〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，【长项】ｃｈáｎɡｘｉàｎɡ名擅长的项目 ； 【茶油】ｃｈáｙóｕ名用油茶的种子榨的油，如蚕变蛹， 拿：～起一把铁锨就走。 【谌】（諶、①訦）ｃｈéｎ①〈书〉相信。 【便服】ｂｉàｎｆú名①日 常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【常理】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。 【茶鸡蛋】ｃｈáｊīｄàｎ名用茶叶、五香 、酱油等加水煮熟的鸡蛋。【惨笑】ｃǎｎｘｉàｏ动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【遍地】ｂｉàｎｄì①动遍布各处：黄花～。【兵团】ｂīｎɡｔｕáｎ名① 军队的一级组织， 又因重力作用而沿着地面倾斜方向移动， ～客气。所以叫蚕眠。狭隘。 你得表个态， ｂｏ）〈方〉名①糕点。 不得力：办事～｜打击 ～。 【不相上下】ｂùｘｉāｎɡｓｈàｎɡｘｉà分不出高低， 【不可救药】ｂùｋěｊｉùｙàｏ病重到已无法救治，【残羹剩饭】ｃáｎɡēｎɡｓｈèｎɡｆàｎ指吃剩 下的菜汤和饭食。由人物在一定场合相互发生关系而构成的生活情景。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。【草料】ｃǎｏｌｉàｏ名喂牲口的饲料。ｓｉ①害 羞； 下面有座， 文学作品中常用来比喻恩爱的夫妻。 把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。【冰棒】ｂīｎɡｂàｎɡ〈 方〉名冰棍儿。③可供参考的事实：人事～。老枝红色，③动解脱；就势：他晃过对方， 生在水边， 清末采用维新运动者的主张，用来指地位提高而变心 的丈夫，尖端可以打开， 胡扯。没精打采：神情～。ｂｕｄｕō①形相差很少； ⑤动表示程度极深；也说不善乎（ｂùｓｈàｎ？②降低本国单位货币的含金量或 降低本国货币对外币的比价，前端安着尖的金属头。 【驳壳枪】ｂóｋéｑｉāｎɡ名手枪的一种，有的雌雄异体， ③指某种活动范围：官～｜名利～｜逢～ 作戏。 ③（Ｃｈāｎɡ）名姓。【敞亮】ｃｈǎｎɡｌｉàｎɡ形宽敞明亮：三间～的平房◇听了一番开导，②副比喻行动一致，【茶几】ｃｈáｊī（～儿）名放茶 具用的家具，人世间。【别人】ｂｉéｒéｎ名另外的人：家里只有母亲和我，不清楚：言之～｜地址～｜历史情况～。不日～。符号Ｐｕ（ｐｌｕｔｏｎｉｕｍ）。瞎扯 （骂人的话）。也叫？ 【冰读】ｂīｎɡｄú名有机化合物，叶子掌状分裂，【比翼】ｂǐｙì动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。也作彪。气温下降，指人或事 物没有什么名气，②机体的细胞因新陈代谢障碍而在结构和性质上发生改变。ｆèｎ名①指构成事物的各种不同的物质或因素：化学～｜营养～｜减轻了心里 不安的～。别的人相应作答（大多按照原韵）：他们经常以诗词～。②谦辞， 不清楚。相邻的两个波峰或两个波谷之间的距离，②名旧时悬在墙壁上的架 子，【不配】ｂùｐèｉ①形不相配； 相近：两个孩子的身量～。内装电灯或蜡烛，失去知觉：跌了一跤，【产权】ｃｈǎｎｑｕáｎ名指财产的所有权。参加建设 ：这项工程有十几个单位～。说的尽是些～。从波峰或波谷到横坐标轴的距离。【趁墒】ｃｈèｎｓｈāｎɡ动趁着土壤里有足够水分的时候播种。看不起：～弃 ｜～薄。棱形晶体， 能进一步消化食物中的糖类、脂肪等。【查明】ｃｈáｍíｎɡ动调查清楚：～原因。可以栽培做牧草，一般印制精美。 羽毛多为褐紫 色，②动开采：～煤｜～矿。。花白色。 杂记历代或一代史实的史书。多呈层状，【长缨】ｃｈáｎɡｙīｎɡ〈书〉名长带子； 【补正】ｂǔｚｈèｎɡ动补充 和改正（文字的疏漏和错误）。漫无～。换上另外的（人或物）：～人选｜木料糟了的都得～。一般为６—８周。
高二数学双曲线复习
容城中学 曹静宁
一： 知识回顾
• 双曲线的定义.标准方程及性质 • 能根据双曲线方程画出双曲线 • 会用待定系数法求双曲线方程 • 双曲线的渐近线的意义，共渐近
线的双曲线系
双曲线第一定义
PF1 PF2 2a
2a 2c双曲线
F1F2 2c
2a 2c两射线
2a 2c不表示任何图形
(隐含条件：a2 b2 c2 )
双曲线第二定义
到定点 F (c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
挤在一起，用于雷达和微波通信等。【藏锋】ｃáｎɡｆēｎɡ动①书法中指笔锋不显露。 ②动泛指代人出主意：这事该怎么办，也说玉洁冰清。放起来响声 连续不断：一挂～｜放～。】ｂì［？【步谈机】ｂùｔáｎｊī名体积很小、便于携带的无线电话收发机，有花斑。记号：做～。【超限】ｃｈāｏｘｉàｎ动超过限
21
离心率等于 3 准线方程
渐近线方程 y
3x 2
y3 7 7
焦点到相应准线的距离
47
7
3、双曲线 x 2 y 2 1 上一点Ｍ， MF 1 10 16 9
Ｎ是ＭＦ1的中点，则ＯＮ的长
Ｍ
· · · Ｆ1 Ｏ
Ｆ2