7_5向量的数量积向量积混合积
解析几何中的向量积与混合积
解析几何中的向量积与混合积向量积和混合积是解析几何中非常重要的概念。
向量积用于计算两个向量之间的垂直于这两个向量构成的平面的向量，而混合积则用于计算三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
这两个概念虽然看似简单，但是在很多实际应用中都有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
向量积（叉积）向量积也被称为叉积，是两个向量所构成的平面上的向量，它的方向垂直于这两个向量所构成的平面，且符合右手定则。
向量积的大小等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
假设有两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的向量积可以表示为：$$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}\vec{n}$$其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 是$\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 之间的夹角，$\vec{n}$ 是单位法向量，表示向量积的方向。
对于向量积的计算，我们可以使用行列式方法：$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$其中，$a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$ 分别是向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的三个分量，$\vec{i}$，$\vec{j}$ 和$\vec{k}$ 是单位向量。
我们可以通过展开这个行列式来计算向量积。
混合积混合积是三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
假设有三个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，它们所构成的混合积可以表示为：$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times\vec{c})$$其中，$\vec{b} \times \vec{c}$ 表示向量积，它指向与向量$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 所构成的平面垂直的方向；$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ 表示向量 $\vec{a}$ 在向量积 $\vec{b}\times \vec{c}$ 方向上的投影，它可以通过计算向量积的大小乘以$\vec{a}$ 在 $\vec{b} \times \vec{c}$ 方向上的投影得到。
向量的数量积、向量积、混合积
向量的混合积的坐标形式
例 解
按第二行展开
解
例
有什么附带产物？
定理 4
标题
01
向量的数量积
02
第二节 向量的数量积、向量积、混合积
04
向量的混合积
03
向量的向量积
01
向量的数量积的概念.
03
向量的数量积的坐标形式.
02
向量的数量积的性质.
04
两个向量间的夹角.
一.向量的数量积
1. 向量的数量积的概念
2. 向量的数量积的性质
证
性质 1
性质 2
证
解
例
常用的公式
证
其它情形 类似可证
性质 3
3. 向量的数量积的坐标表示
证
定理 1
例 解
问题
请课后思考、讨论。
问题
4. 两个向量间的夹角
看出点什么没有？
例 解 物理单位
解
例
例
证
O
例
证
01
向量的向量积的概念.
02
向量的向量积的性质.
03
向量的向量积的坐标形式.
二.向量的向量积
第七讲 向量的数量积、向量积、混合积
高等院校非数学类本科数学课程
第一章 向量代数与空间解析几何
第二节 向量的数量积、向量积、混合积
本节教学要求：
▲ 正确理解向量的数量积、向量积、混合积的概念。 ▲ 熟悉数量积、向量积、混合积的运算性质。 ▲ 熟悉数量积、向量积、混合积的坐标形式。 ▲ 理解向量在轴上的投影，向量间的夹角与数量积的关系。 ▲ 会计算三阶行列式。 ▲ 掌握向量间垂直、平行、共面与数量积、向量积、混合积 的关系。
《向量的混合积》课件
混合积的拓展和总结
混合积不仅仅局限于三维空间中的向量，它可以推广到更高维度的向量运算 中。在本次课件中，我们学习了混合积的定义、性质、几何意义、计算方法 和应用举例。通过运用混合积，我们可以更好地理解向量的几何性质和应用 场景。
混合积的性质
1 线性性质
混合积具有线性性质，即 对于两个向量的混合积乘 以一个标量，等于这两个 向量分别乘以该标量后的 混合积。
2 交换性质
混合积具有交换性质，即 对于三个向量的混合积， 改变它们的次序不改变混 合积的值。
3 反交换性质
混合积具有反交换性质 （差积性质），即对于三 个向量的混合积，改变混 合积中任意两个向量的位 置，混合积的符号变为相 反数。
《向量的混合积》PPT课 件
欢迎来到本次关于《向量的混合积》的PPT课件。在这个课件中，我们将探讨 混合积的定义、性质、几何意义、计算方法以及应用举例。我们还将介绍混 合积与平行六面体的关系，并进行拓展和总结。
混合积的定义
混合积是向量运算的一个重要概念，它表示三个向量的数量积，用来确定一 个以这三个向量为边的平行六面体的有向体积。
坐标法
将三个向量的坐标表示，然后按照混合积的定义，逐步计算得出混合积的值。
混合积的应用举例
建筑结构分析
混合积可以应用于建筑结构分析，帮助计算柱体、 梁、桥梁等的稳定性和结构设计。
物理学
混合积在物理学中具有重要意义，可以应用于力的 计算、矢量场的分析等方面。
混合积与平行六面体的关系
混合积的数值等于以三个向量为边所构成的平行六面体的有向体积。通过计 算混合积，我们可以判断三个向量是否共面，以及判断平行四边形是否为平 行六面体的底面等。
混合积的几何意义
向量积和数量积的运算公式
向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。
在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。
而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。
2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。
3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。
a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。
4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。
5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。
向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。
对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。
（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。
具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。
（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。
假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。
（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。
向量的数量积公式
向量的数量积公式向量的数量积公式，又称为“矢量积”，是一种有关多维空间中两个向量之间关系的实用计算工具。
它被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等科学领域，被用来表示向量对外界作用的物理意义。
向量的数量积概念最早出现在17世纪，由英国数学家和物理学家斯坦利·斯特里克（Stanely Stricke）提出。
他将这种积的概念延伸到三维空间中，并命名为“矢量积”，即用“矢量”表示某一方向上的量或变化量。
用数学语言来说，向量的数量积就是把两个向量A (a1, a2, a3) 和 B(b1, b2, b3) 乘起来得到的结果：A×B= (a1*b1, a2*b2, a3*b3)其中，a1, a2, a3分别是向量A的三个分量，b1,b2, b3分别是向量B的三个分量。
如果两个向量的分量都是实数，那么这种数量积也叫标量积，公式为：A×B=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出，标量积是将两个向量的分量分别相乘再求和得到的结果。
如果两个向量的分量都是复数，那么这种数量积也叫复数积，公式为：A×B=a1b1-a2b2-a3b3，可以看出，复数积是将两个向量的分量分别相乘，然后相减得到的结果。
另外，向量的数量积还可以是三个向量的积，比如A, B, C三个向量，其中A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3), C=(c1, c2, c3)，那么它们的数量积就是：A×B×C = (a1*b1*c1, a2*b2*c2, a3*b3*c3)向量的数量积在多维空间中具有重要的物理意义。
它可以用来表示两个向量之间的相互作用，以及描述物体在外力作用下受到的变形。
例如，如果给定一个平面上的两个力F1和F2，那么这两个力之间的数量积就可以表示出平面上物体受到的变形，即形变矩阵。
此外，由于向量的数量积具有多种物理意义，它也被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等领域。
向量的数量积、向量积与混合积及其应用
向量的数量积、向量积与混合积及其应用一、两向量的数量积及其应用1．向量的数量积向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的数量积为其中θ为向量a与b之夹角，规定0≤θ≤π.2．向量的数量积运算规律(1) 交换律 a∙b=b∙a；(2) 结合律 (λa)∙b=a∙(λb)= λ(a∙b )；(3) 分配律 (a+b)∙c= a∙c + b∙c；(4) a∙a=| a|2.3．两向量的夹角两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为4．两向量垂直位置关系的判定【注】：零向量与任何向量垂直.5．向量积的物理应用常力F拉物体沿位移S所做的功W为W=F∙S.二、两向量的向量积及其应用1．向量积的定义两向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)的向量积定义【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．关于向量a，b的向量积，有：(1) aⅹb与a，b分别垂直；(2)a，b与aⅹb服从右手法则；(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a，b间的夹角．2．向量积的运算律(1) 反交换律aⅹb=- bⅹa；；(2) aⅹa=0；(3) 结合律 (λa)ⅹb=aⅹ(λb)=λ(aⅹb)，其中λ为实数；(4) 分配律 (a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc.3．向量积的几何应用4．向量积的物理应用设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上点P处，则力F对支点O的力矩M为三、向量的混合积及其应用1．向量的混合积设有三个向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),则称(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]，并有根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即(aⅹb)∙c=( bⅹc)∙a =( cⅹa)∙b.2．混合积的几何应用(1) a,b,c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.(2) 空间四点A,B,C,D共面(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：参考课件：。
向量的数量积与向量积
向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。
2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。
3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。
4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。
在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。
二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。
向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。
2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。
3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。
向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。
数量积 、向量积、混合积
1 ，所以 3π ．
ax2
a
2 y
பைடு நூலகம்az2
bx2 by2 bz2
2
4
（3） Prjb a |a|cos
12
12
(4)2
1 2
3
．
1.2 两向量的向量积
在力学上，研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力
所产生的力矩．下面举一个简单的例子来说明力矩的表达方法．
如图所示，设 O 为一根杠杆 L 的支点，力 F 作用于这杠杆上点 P 处，且 F 与 OP
的夹角为 ．由力学中的规定可知，力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M ，它的模为
| M || OQ || F || OP || F | sin ．
1.2 两向量的向量积
M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面； M 的指向符合右手规则，即当右手的四 个手指从 OP 以不超过 π 的角转向 F 来握拳时，大拇指的指向就是 M 的指向，如图所示．
高等数学
1.1 两向量的数量积
如图所示，设一物体在恒力 F 作用下沿某一直线移动，其位移为 s ，由物理学知，
力 F 所做的功为
W | F | | s | cos ，
其中 为 F 与 s 的夹角．
像这样由两向量的模与其夹角余弦的乘积构成的算式，也会出现在其他问题中．为 此，我们引入两向量数量积的概念．
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a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
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ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0
i j k ax az ax a y a y az , a b ax a y az , bx b y b x bz b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az a b c ( a b ) c b b c x b b c y b b x y x z y z
a
b
c
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例6. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 . (P309 例7)
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
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cos
a x bx a y by a z bz
2 2 ax a2 a y z
a b
例1. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求
AMB. 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
解:
P
v
为单位向量
Avn
A
单位时间内流过的体积
v
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二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP
ax bx az bz
bx
b y bz
,
( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
角形 ABC 的面积 . (P307 例5)
B
解: 如图所示, 1 S ABC AB AC sin 2 A 1 AB AC 2 i j k 1 1 2 2 2 ( 4, 6, 2 ) 2 2
a ( b) ( a ) ( b ) a ( b ) ( a b )
(3) 分配律
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4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
解：
( a b )( a b )
aa
2
bb
2
a 2 a b cos b 3 2 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 3 4 17
a b 17
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2. 在顶点为 A(1, 1, 2) , B(1,1, 0) 和 C (1, 3 , 1) 的
cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
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3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
2 2 2 bx by bz
A B
cos AMB MA MB MA MB
M
1 0 0 2 2
故
AMB
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例2. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域垂直的单位向量 为 μ ) . (P25 例3)
的夹角为
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
三角形中, 求 AC 边上的高 BD .
B A
C
解： AC ( 0 , 4 , 3 )
AB ( 0 , 2 , 2 )
三角形 ABC 的面积为 1 1 S | AC AB | (2) 2 0 2 0 2 1 2 2 1 2 2 而 | AC | 4 (3) 5, S | AC | | BD | 2 1 2 1 5 | BD | | BD | 故有 2 5
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k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
C
1
2
4
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
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例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 一点 M 的线速度 的表示式 . (P307 例6)
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作 向径 它与 的夹角为 , 则
(叉积)
a c ab a
思考: 右图三角形面积 S＝
b
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2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0
证明: 当 a 0 , b 0 时,
a∥ b
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0， 即 0 或
# 18
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内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
第五节 向量的数量积 向量积 *混合积
一、向量的数量积 二、向量的向量积
第七章
*三、向量的混合积
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一、向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F
1. 定义
S cos
M1
s
W Fs
M2
设向量 a , b 的夹角为 , 称 记作
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D
a b (1, 1, 3) 1 11 cos , sin 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c sin A sin B sin C
B
c
A
机动
a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
因
1 S ABC AC AB 2 1 1 BA BC CB CA 2 2 AC AB b c sin A c c a sin B A
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
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思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
a
l
点 M离开转轴的距离
a r sin
且
符合右手法则
M
O
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v r
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*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b )c 为 a , b , c 的混合积 .
几何意义
记作