第二节数量积、向量积、混合积-BeijingNormalUniversity
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高等数学第八章第二节数量积向量积混合积课件
例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
角形 ABC 的面积
B
A
C
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
4 17
a b 17
3. 在顶点为 A(1,1,2) , B(1,1,0) 和 C(1,3, 1) 的
三角形中, 求 AC 边上的高 BD .
B
解： AC ( 0, 4, 3)
AB ( 0, 2, 2 )
三角形 ABC 的面积为
A
DC
S 1 | AC AB | 1 (2)2 02 02 1
答案: a b 1 ,
a b (1, 1, 3)
cos 1 , sin 11
23
12
2. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 | a | 2, | b | 3,
4
解：
( ab)( ab)
aa
bb
a 2 2 a b cos b 2
( 2)2 2 2 3 cos 3 32
AMB .
A
B M
例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积
v
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
北师大高中数学必修第二册2.5.1向量的数量积【课件】
方法归纳
向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角， 其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似 于多项式的乘法运算．
题型二 求向量的模——师生共研 例 1 (1)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝( )
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( × ) (2)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a·b>0.( √ ) (3)对于向量 a，b，若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( × ) (4)对于任意向量 a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( × ) (5)若 a，b，c 为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.( × ) (6)若两个非零向量 a，b 满足 a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.( √ )
解析：(3)∵非零向量 a 与 b 的夹角是56π，且|a|＝|a＋b|，
∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 56π，
∴|b|2－ 3|a||b|＝0.∵|b|≠0，∴|b|＝ 3|a|，
∴|2a|＋b| tb|2＝4|a|2＋t2||bb||22＋4ta·b＝4|a|2＋t2·33|a|a|2|2－6t|a|2
解析：由已知得A→D＝21(A→B＋A→C)，A→E＝23A→C，B→E＝B→A＋A→E＝32A→C－ A→B，所以A→D·B→E＝21(A→B＋A→C)·(32A→C－A→B)＝21×(32|A→C|2－|A→B|2－13A→B·A→C)＝ 21×(23－1－13cos 60°)＝－14.
数量积 向量积 混合积
其中θ为F与 的夹角. 由上例可见，这是一个由两个向量确定一个数量的运算，
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
向量的数量积向量积混合积课件
a 0 (c a ,c oa o ,c ss a o ) , s
b 0 (c b , c o b o , c s b s ) o , s
co a ,sb a b a 0b 0 |a | |||b | ||
ca c o b o c sa c s o b o c sa c s o b 。 o ss
二. 向量的向量积 • 向量的向量积的概念. • 向量的向量积的性质. • 向量的向量积的坐标形式.
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力 力的 臂大 的小 长度 方向: 由力臂到力符合右则 手法
设力 F作用于杠杆 P处 上 , 点O
( a b ) ( c d ) a ( c d ) b ( c d )
a c a d b c b d
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a ( b )) a a a ( b ) b a b ( b ) a ( b ) | a a | ||a |b p ||p |a ( a r b b r )jj a a 2 2 b a 2 。 b b a b 2
b c 0 ( 5 ) 3 1 1 ( 3 ) 0 。 (bc) pb r a j|a b | b | | 0 2 3 1 2 1 2 1 1。 0 pa r b j|a a | b | | 4 2 ( 1 1 )2 2 2 1 2。 1
问
位于坐标面上的量非的零特向征是什么？
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a b b a (交换 ) 律
证 由数量积的定,义得
a b |a ||b ||c | a o , b ,s b a |b ||a ||c | b o , a ,s 因 c a o , b 为 s c b o , a ,所 s 以
b 0 (c b , c o b o , c s b s ) o , s
co a ,sb a b a 0b 0 |a | |||b | ||
ca c o b o c sa c s o b o c sa c s o b 。 o ss
二. 向量的向量积 • 向量的向量积的概念. • 向量的向量积的性质. • 向量的向量积的坐标形式.
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力 力的 臂大 的小 长度 方向: 由力臂到力符合右则 手法
设力 F作用于杠杆 P处 上 , 点O
( a b ) ( c d ) a ( c d ) b ( c d )
a c a d b c b d
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a ( b )) a a a ( b ) b a b ( b ) a ( b ) | a a | ||a |b p ||p |a ( a r b b r )jj a a 2 2 b a 2 。 b b a b 2
b c 0 ( 5 ) 3 1 1 ( 3 ) 0 。 (bc) pb r a j|a b | b | | 0 2 3 1 2 1 2 1 1。 0 pa r b j|a a | b | | 4 2 ( 1 1 )2 2 2 1 2。 1
问
位于坐标面上的量非的零特向征是什么？
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a b b a (交换 ) 律
证 由数量积的定,义得
a b |a ||b ||c | a o , b ,s b a |b ||a ||c | b o , a ,s 因 c a o , b 为 s c b o , a ,所 s 以
向量的数量积向量积和混合积
向量的数量积向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积向量是在物理学和数学中广泛应用的概念。
在向量运算中，数量积、向量积和混合积是重要的概念和运算符号。
本文将详细介绍向量的数量积、向量积和混合积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量关系的一种表示方法。
给定两个 n 维实数向量 A 和 B，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角。
数量积的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C数量积的应用：1. 判断向量的正交性：若 A·B = 0，则向量 A 和 B 垂直（即正交）。
2. 求两个向量夹角：θ = arccos(A·B / (|A| |B|))3. 计算向量的投影：向量 A 在 B 方向上的投影为 ProjB A = (A·B /|B|²) B二、向量的向量积向量积，也叫叉积或外积，是两个向量的向量关系的一种表示方法。
给定三维实数向量 A 和 B，它们的向量积定义为：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角，n 是一个垂直于向量 A 和 B 的单位向量，其方向由右手法则确定。
向量积的性质：1. 反交换律：A × B = -B × A2. 分配律：A × (B+C) = A × B + A × C向量积的应用：1. 求面积：以向量 A 和 B 为邻边的平行四边形的面积为 S = |A × B|2. 求法向量：若平面上有两个向量 A 和 B，则平面的法向量为 n =(A × B) / |A × B|3. 求垂直向量：若向量 A 和 B 垂直，则它们的向量积为A × B ≠ 0三、向量的混合积混合积是三个向量（也可看作三维向量组成的平行六面体）之间的一种数量关系。
第2讲 向量的数量积、向量积、混合积
ay,
az
)。
a
i
ax, ay , az 不同时为零
在 x 轴上：a ( ax , 0, 0 ) ；a yz 平面
a//
i
在 y 轴上：a ( 0, ay , 0 ) ；a xz 平面 在 z 轴上：a ( 0, 0, az )。a xy 平面
a//
j
a//
k
ax, ay , az 不为零
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力的大小 力臂的长度 方向: 由力臂到力符合右手法则
设力
F
作用于杠杆上点
P 处,
F 与OP间的夹角为。
F
O P
Q
则力 F对点 O 产生的力矩为一个向量
M,
且
||
M
||
||
F ||
||
OQ
||
||
F ||
||
OP
||
sin
,
M
的方向是从OP
到
F 以不超过
|
a
b|
|
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
|
||
a||
||
b ||
,
得
| axbx ayby azbz | ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 。
(当
cos
a,
b
1
时等号成立,
此时
a// b。)
例 (a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
1 1 。
02 32 12
10
2.5.1向量的数量积-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
典型例题
例1：如图，已知向量与，其中||=3，
||=4，且与的夹角θ=150°.
(1)求 · ；
(2)求向量在方向上的投影数量，并画图解释.
解： (2)如图，作 = ， = ，
过点B作直线OA的垂线，
垂足为B1，则
OB1=||cos=4× −
=-2 ，
当90°＜ < ， >≤180°， · ＜0；
当< ， >=0°时， · =||||；
当< ， >=180°时， · =-||||.
B
θ
A
课文精讲
➢ 投影
如图，已知两个非零向量和，作 = ，
=，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，
且与 的夹角θ =120°， 与的夹角γ=60°，
求 + 在方向上的投影数量.
解： + 在方向上的投影数量为
( + )·||= ·||+ ·||
=| |cosθ+| |cosλ
=4cos120°+6cos60°
=-2+3=1.
综合练习
已知向量||=3，且 ·=6，则向量在向量的
(2)关于，是非零向量，则 · =0
⊥ ；
(3) · =||2，即||= · ；
(4) cos< · >=
·
||||
(|||| ≠0)；
(5)| · |≤ ||||，当且仅当 ∥ 时等号成立.
典型例题
例2：已知向量，， ，其中||=4， ||=4，
向量的数量积
授课教师：
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
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axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
ij
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向量积的行列式计算法
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx ) k
i jk ax ay az
bx by bz
a ax i ay j az k b bx i by j bz k
ax az , bx bz
( 行列式计算见上册附录I: P355～P358 )
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例4. 已知三点A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
AMB .
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
则 cos AMB MA MB MA MB
10 0 22
A
B M
故
AMB
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为) .
解: P v
为单位向量
A vn
A
单位时间内流过的体积:
v
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二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2abcos
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4. 数量积的坐标表示
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
i j jk ki 0
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
( a b ) c 记作 a b c
ab
为a , b , c 的混合积 .
角形 ABC 的面积 .
B
解: 如图所示,
S ABC
1 2
AB
AC sin
1 2
AB AC
A
C
i jk
1 2 2 21 2
2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 14 2
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例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的数量积 (点积) .
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当a 0 时, b 在 a 上的投影为
记作
b
Pr ja b
故
a b a Pr ja b
同理,当b 0 时,
2. 性质
(1) a a
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
a 0, b 0 则 ab 0
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
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*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式
当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
第二节
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
S＝
a b
c ab
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2. 性质
a b a b sin
(1) a a 0
(2) a , b为非零向量, 则 a b 0
a∥ b
证明: 当a 0, b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0，即 0 或 π
a∥ b
(1) a b b a
ab
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
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1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考: 右图三角形面积