江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0a b >>，则11a b> C. 若0a b <<，则a b b a < D. 若a b >，11a b>，则0ab < 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ．若a b >，若0c =则22ac bc =故A 错；对于 B ．若0a b >>，取12,1,12a b ==<则11a b >是假命题；C ．若0a b <<，取21112,1,2,,21222a b --=-=-==>--，则a bb a<是错误的， D ．若a b >，则取0a b ->，又11a b >，所以11()(),11,2b a a b a b a b a b a b b a ⨯->-->-+<-，又因为,a b b a 同号，则0ab < 考点：不等式的性质的应用2.某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A. 261 B. 341C. 477D. 683【答案】B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人.点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．3.已知有穷数列{}(1,n a n =2，3，⋯，6}满足(1,n a ∈2，3，⋯，10}，且当(,1,i j i j ≠=2，3，⋯，6)时，.i j a a ≠若123a a a >>，则符合条件的数列{}n a 的个数是( ) A. 33107C A B. 331010C CC. 33107A AD. 63106C A【答案】A 【解析】 【分析】先选出三个数确定为123,,a a a ，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求.【详解】先确定123,,a a a ，相当于从10个数值中选取3个，共有310C 种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为456,,a a a ，共有37A 种选法，所以符合条件的数列{}n a 的个数是33107C A ，故选A.【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据.4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是( )附：由公式算得：22()7.8()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++A. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.【点睛】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.5.设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（ ） A. i B. i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】先化简x ，结合二项式定理化简可求. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i x i i i i +===-+--+，122332019201901223320192019201920192019201920192019201920192019 (1)C x C x C x C x C C x C x C x C x ++++=+++++-201920193(1)1i 1i 1i 1x =+-=-=-=--，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.6.若随机变量X 的分布列：已知随机变量(,)Y aX b a b R =+∈且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值为( ) A. 10,3a b ==B. 3,10a b ==C. 5,6a b ==D.6,5a b ==【答案】C 【解析】 【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值. 【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=；因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+===解得5,6a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.7.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：y1.5 4.04 7.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A. 22y x =-B. 1()2xy =C. 2y log x =D.()2112y x =- 【答案】D 【解析】 【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.8.对任意实数x ，若不等式12x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（ ） A. 3k < B. 3k <-C. 3k ≤-D.【答案】B 【解析】考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a 恒成立，需f （x ）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a ，问题转化为求f （x ）的最小值．解：（1）设f （x ）=|x+2|-|x-1|，则有f （x ）=32{122131x x x x -≤----≤≤≥，，，， 当x≤-2时，f （x ）有最小值-3；当-2≤x≤1时，f （x ）有最小值-3； 当x≥1时，f （x ）=3．综上f （x ）有最小值-3，所以，a ＜-3． 故答案为：B ．9.若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A=（）．A. 38B.18C.316D.116【答案】A【解析】【分析】先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【详解】由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A包含的基本事件有222642C C C个；在事件A发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28CP B A⨯==,故选A.【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.10.某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有( )A. 96B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】先安排第一节的课表33A种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2种，最后一节只有1种安排方案，所以可求.【详解】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有33A种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得3 322124A⨯⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养.11.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A.6523B.5523C.6623D.5623【答案】B【解析】【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333P C==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333P C C C C =+=，所求概率56512665222333P P P =+=+=；故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.12.已知n 元均值不等式为：()121n x x x n+++≥L 12,,,n x x x L 均为正数，已知球的半径为R ，利用n 元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为( )A.36481R B.3827R C.349R D.313R 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n 元均值不等式可求最大值.【详解】设正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则有222())2h R a R -+=，解得2242a hR h =-；正四棱锥的体积223311114264(42)(42)()3333381R h h h V a h hR h h R h hh R -++==-=-≤=，当且仅当43h R =时取到最大值，故选A.【点睛】本题主要考查四棱锥体积求解和n 元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______．【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】 【分析】1ξ=表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出ξ的所有取值，分别求出概率可得()E ξ.【详解】11372107(1)15C C P C ξ===,根据题意ξ的所有取值为0,1,2；272107(0)15C P C ξ===，11372107(1)15C C P C ξ===，232101(2)15C P C ξ===，故()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键.14.组合恒等式11m m mn n n C C C -++=，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求()11n x ++和()()11nx x ++的展开式中m x 的系数．前者()11n x ++的展开式中m x 的系数为1mn C +；后者()()11nx x ++的展开式()()1111m m m m n n n n n n n x C C x C xC x C x L L --+++++++中m x 的系数为1111m m m m n n n n C C C C --⨯+⨯=+.因为()()()1111n nx x x ++=++，则两个展开式中m x 的系数也相等，即11m m mn n n C C C -++=．请用“算两次”的方法化简下列式子：()()()()2222012nnnnnC C C C ++++=L ______．【答案】2nn C 【解析】 【分析】结合所给信息，构造2(1)(1)(1)nn n x x x +=++，利用系数相等可求.【详解】因为2(1)(1)(1)nn n x x x +=++，则两个展开式中n x 的系数也相等，在2(1)nx +中nx 的系数为2nn C ，而在01220122(1)(1)()()n n n n n nn n n n n n n n x x C C x C x C x C C x C x C x ++=++++++++L L 中n x 的系数为011002122()()()n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C -+++=+++L L ，所以可得021222()()()n nn n n n C C C C +++=L .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯ 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．【答案】27【解析】 【分析】先求出最近路线的所有走法共有77A 种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率. 【详解】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有77A 种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有4345A A 种，故所求概率为43457727A A P A ==. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.16.伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：()()22222()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”．证明思路：()1图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；()2图1中阴影区域的面积为ac +bd ，图2中，设BAD θ∠=，图2阴影区域的面积可表示为______(用含a ，b ，c ，d ，θ的式子表示)；()3由图中阴影面积相等，即可导出不等式()()22222().ac bd a b c d +≤++当且仅当a ，b ，c ，d 满足条件______时，等号成立．【答案】2222sin a b c d θ++ (2). ad bc = 【解析】根据勾股定理可得22AB CD a b =+,22 AD BC c d ==+,所以可得ABD CDB ∆≅∆ ，12ABD CDB S S ∆∆==2222.sin a b c d θ++，可得图阴影部分的面积是ABD CDB S S ∆∆+=2222.sin a b c d θ++;由()()22222(ac bd a b c d +=++）可得22a c +222222 2acbd b d a c a d +=++2222b c b d +,22 a d -222acbd b d += ()20,ad bc -=ad bc =,所以当且仅当,,,a b c d 满足条件ad bc =时，等号成立.故答案为2222sin a b c d θ++ ， ad bc =.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知()*23nx n N x ⎫∈⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和； （Ⅱ）求展开式中中间项．【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）924540T x-=-.【解析】【分析】（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶求出n的值，然后可求各项二项式系数的和；（Ⅱ）根据n的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：()1由题意知，展开式的通项为：52123(3)(0r n rr n r r rr n nT C C x r nx--+⎛⎫=-=-≤≤⎪⎝⎭，且)r∈N，则第五项的系数为44·(3)nC-，第三项的系数为22·(3)nC-，则有4422·(3)9·(3)1nnCC-=-，化简，得42n nC C=，解得6n=，∴展开式中各项二项式系数的和6264=；()2由（1）知6n=，展开式共有7项，中间项第4项，令3r=，得924540T x-=-．【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知,,a b c∈R,且1a b c++=.证明：（Ⅰ）22213a b c++≥；（Ⅱ）2221a b cb c a++≥.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.【详解】证明(Ⅰ)a Q ，b ，c +∈R ，且1a b c ++=，()22222221()2223a b c a b c ab bc ac a b c ∴=++=+++++≤++， 22213a b c ∴++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立. (Ⅱ2)2a b a b +≥Q ，22b c b c +≥，22c a c a +≥，()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 2221a b c a b c b c a ∴++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥ 【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表()1所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表()2所示．（Ⅰ）将表()1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表()2中成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）715. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；（Ⅱ）根据古典概型的求解方法求解.【详解】解：(Ⅰ)依题意，补充完整的表1如下：由表中数据计算2K的观测值为()2250231179 5.223 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．(Ⅱ)从成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为2615(C =种)，这2人恰好在同一组内的基本事件为2242617(C C +=+=种)，故所求的概率为715P =． 【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.20.如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=o ，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA V 沿AD 折到PDA V 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -．（Ⅰ）求证AD PB ⊥； （Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD ． ①求二面角B PC D --的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤u u u u r u u u r ，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45o ，求λ的值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120o ，② 0λ=或23λ=． 【解析】 【分析】(Ⅰ)可以通过已知证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n r 、平面PCD 的法向量m r，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)图1中，//AB CD Q ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=o Q ，AD BE ∴⊥，当EDA V 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥， 又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ， 又PB Q ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD则(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =u u u r 1，1)-，(0,BC =u u u r 1，0)，(1,DC =u u u r0，0)，设平面PBC 的法向量为(,n x =ry ，)z ，则0PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r ru u u r r ，取1z =，得(1,n =r 0，1)， 设平面PCD 的法向量(,m a =rb ，)c ，则0m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r r u u u r r，取1b =，得(0,m =r 1，1)， 设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角，则1cos 222m n m n r r r rθ⋅=-=-=-⋅⨯，120o θ∴=． ∴二面角B PC D --的大小为120o ．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=u u u u r u u u r u u u u r0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n =r0，1)，Q 直线AM 与平面PBC 所成的角为45o ，22212sin cos ,22(1)AM n AM n AM n λλαλλλ⋅+-∴====⋅⋅++-u u u u r r u u u u r r u u u u r r ，解得0λ=或23λ=． 【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.21.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量(X 单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：污水量 [)230,250 [)250,270 [)270,290 [)290,310 [)310,330 [)330,350频率 0.30.440.150.10.0050.005将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． （Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230,270X ∈时，没有影响；当[)270,310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由． 【答案】（Ⅰ）2732；（Ⅱ）采取方案二最好，理由详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求污水排放量[)270,310X ∈的概率0.25，然后再求未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率；（Ⅱ）分别求解三种方案的经济损失的平均费用，根据费用多少作出决策. 【详解】解：(Ⅰ)由题得()12703100.254P X ≤≤==， 设在未来3年里，河流的污水排放量[)270,310X ∈的年数为Y ，则13,.4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～ 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ， 则()()()0312333312701()()44432P A P Y P Y C C ==+==+⨯=． ∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732． (Ⅱ) 方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P x ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=．用1S ，2S ，3S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则1 3.8S =万元． 2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=．3S 的分布列为：3S 0 10 60 P 0.740.250.01()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=．∴三种方案中方案二的平均损失最小，∴采取方案二最好．【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，数学期望是生活生产中进行决策的主要指标，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.22.在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．根据上表数据统计，可知考试成绩落在[]105,125之间的频率为0.28． （Ⅰ）求m 、n 的值；（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩()2,X N μσ～，其中μ近似为样本的平均数，2σ近似为样本方差2s ，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于110120～分的人数；(以各组的区间的中点值代表该组的取值)(Ⅲ)现按分层抽样的方法从成绩在[)85,95以及[]115,125之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在[]115,125之间的人数为X ，求X 的分布列以及期望()E X ． 参考数据：若()2,X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【答案】（Ⅰ）210,100m n ==；（Ⅱ）5436； （Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据考试成绩落在[]105,125之间的频率为0.28，可知频数为140，结合样本数可求m 、n ；（Ⅱ）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于110120～分的人数； （Ⅲ）求出X 的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.【详解】解：(Ⅰ)由题意可得5003012040,400.28500140,m n n +=---⎧⎨+=⨯=⎩解得210100m n =⎧⎨=⎩.(Ⅱ)依题意，故800.06900.241000.421100.21200.08100x μ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，224000.061000.2400.421000.24000.08100s σ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．则()2100,10X N ～，所以0.95440.6826(110120)0.13592P X -<<==，故所求人数为0.1359400005436⨯=．(Ⅲ)依题意成绩在[)85,95之间的抽取9人，成绩在[]115,125之间的抽取3人，故X 的可能取值为0，1，2，3．故()4941214055C P X C ===，()133941228155C C P X C ===，()223941212255C C P X C ===，()31391121355C C P X C ===． 故X 的分布列为故E ()14281210123155555555X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查利用样本估计总体和随机变量的分布列及期望，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.。