江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题_253
江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是_______________．（要求用数学符号表示）．2、已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ．3、已知ab cb ac b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，则C ∠= ．4、等差数列}{n a 中，10S =120，那么92a a += ．5、函数113x y -=的值域是 ．6．给出50个数，1，3，7，13，21，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大4，第4个数比第3个数大6，…，以此类推.以下流程图给出了计算这50个数的和的一种算法，那么在（1）处应该填写的内容是 ．7．如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为4的正方形，该三棱柱的左视图面积为 . 8．若21=-z ，则13--i z 的最小值为 ． 9．曲线y=x 2与直线y=2x 所围成的面积为 .第10题图第7题图_ B_ A_ B_ A_ B _A_ B _ A正视图俯视图第6题图10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文24,22,10,9时，则解密得到的明文为 .11．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是1∶2，那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 ． 12．规定符号 “ * ”表示一种运算,即,,a b a b a b *=+是正实数,已知71=*k ，则函数()f x k x =* 的值域是_____ _．13．若空间一点P 到两两垂直的射线OC OB OA ,,的距离分别为c b a ,,,则以OP 为半径的球的表面积为 .14．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 .二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数()()2 1 A 0,0,02f x Acos x πωϕωϕ⎛⎫=++>><<⎪⎝⎭的最大值为3，()x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y 轴上的截距为2.（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）设数列()n a f n =，n S 为其前n 项和，求100S .16．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （Ⅱ）求证：PC 1∥面MNQ ．第14题图ABC D A 1B 1C 1D 1P A 1AB CP MNQ 1C 117. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||P A 、||PO 、||P B 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N两点，试判断tan QM QN M QN⋅⨯∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.18．（本题满分15分）某出版公司为一本畅销书定价如下:***12(124,)11(2548,)10(49,)n n n N C n n n N n n n N ⎧≤≤∈⎪≤≤∈⎨⎪≥∈⎩.这里n 表示定购书的数量,C （n ）是定购n 本书所付的钱数（单位:元） （1）有多少个n,会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少?（2）若一本书的成本价是5元,现有两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?19．（本题满分16分）已知函数xx x f y ln )(==.（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像在ex 1=处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f y =的最大值；(Ⅲ) 设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值.20．（本题满分16分）已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xt x x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N .（I ）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.数学附加题1、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤200 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2、在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213xy +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．3、求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．4、已知10101010)1()1(++⋯+++=x a x a a x（1）求6a 的值 （2）求∑=101i i a 的值 （3）求∑=10||i i a 的值江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题答案1. R x ∈∀,012≥+x2.或－２233.３π4.２４5.）（１，＋（０，１）∞ 6、p ←p ＋2i 7、388、1 9、34 10、1,4,2,6 11、212、[),4∞+ 13、π)(2222c b a ++ 14、22+15．【解】（Ⅰ）∵()()22122A A f x cos x ωϕ=+++，依题意：1322A A ++=，∴2A =.…1′又22T =，∴242πω=，得4πω=.…3′∴()222f x cos x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 令0x =得：222cos ϕ+=，又02πϕ<<，∴22πϕ=.故函数()x f 的解析式为：()22f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭………6′ （Ⅱ）由()22f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭知：()22n a f n sin n π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，()2=n f ………10′当n 为奇数时，()()()()()()135797994f f f f f f +=+==+= . ∴100250425200S =⨯+⨯=.………14′16．（Ⅰ）∵AC=BC ， P 是AB 的中点 ∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内 ∴CC 1⊥AB ， ∵CC 1∩PC =C∴AB ⊥面PCC 1； 5分 又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 8分 （Ⅱ）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ， ∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点， ∴K 为PB 1的中点．又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ 14分 而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ∴PC 1∥面MNQ ． 16分17. 解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）……… 2分由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=；……… 4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =--- ，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，25[,0)2PA PB ∴⋅∈- ………………………9分（3）tan ||||cos tan QM QN M QN QM QN M QN M QN⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQN QM QN M QN S =⋅∠=，……… 11分A 1AB CP MNQ B 1C 1由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3）， 直线M Q l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时M Q N S 有最大值32. ……… 14分 即tan Q M Q N M Q N ⋅⨯∠有最大值为32， 此时直线l 的方程为250x y --=.……… 15分18．（1）由于C （n ）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的现象. 解：C （25）＝11⨯25＝275，C （23）＝12⨯23＝276，∴C （25）<C （23）……..1分 C （24）＝12⨯24＝288，∴ C （25）<C （24）…………………..…………..2分 C （49）＝49⨯10＝490，C （48）＝11⨯48＝528，∴ C （49）<C （48） C （47）＝11⨯47＝517，∴ C （49）<C （47） C （46）＝11⨯46＝506，∴ C （49）<C （46）C （45）＝11⨯45＝495，∴ C （49）<C （45）……….. ……….………..……..5分 ∴这样的n 有23，24，45，47，48……….……….………..……….. ……………6分 （2）设甲买n 本书，则乙买60－n 本，且n ≤30，n *N ∈（不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）①当1≤n ≤11时，49≤60－n ≤59出版公司赚得钱数()1260(60)5602300f n n n n =+--⨯=+…….. …7分 ②当12≤n ≤24时，36≤60－n ≤48，出版公司赚得钱数()360f n n =+……..……….. ………8分 (3)当25≤n ≤30时，30≤60－n ≤35，出版公司赚得钱数()1160560360f n =⨯-⨯=……..……….. ………9分 ∴2300,111()360,1224360,2530n n f n n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤⎨⎪≤≤⎩……..………………………………..10分∴当111n ≤≤时，302()322f n ≤≤ 当1224n ≤≤时，372()384f n ≤≤当2530n ≤≤时，()360f n ≤………. .………. .………. .………...……..11分 故出版公司至少能赚302元，最多能赚384元.………. .……….………..12分19．解（Ⅰ）)(x f 定义域为()+∞,0 2/xl n x -1(x )=∴f 2分e ef -=)1( 又 2/2)1(e ef k == 4分∴函数)(x f y =的在ex 1=处的切线方程为：)1(22ex e e y -=+，即e x e y 322-= 5分（Ⅱ）令0)(/=x f 得e x = 6分当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，在),(+∞e 上为减函数 8分ee f x f 1)()(max ==∴ 10分（Ⅲ） 0>a ，由（2）知：)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减．∴)(x F 在[]a a 2,上的最小值)}2(),(min{)(min a F a F x f =2ln21)2()(a a F a F =- 12分∴当20≤<a 时，,0)2()(≤-a F a F =)(min x f a a F ln )(= 14分当a <2时0)2()(>-a F a F ，=)(min x f a a F 2ln 21)2(= 16分20． 解：（I ）当,2)(,2xx x f t +==时 0221)(222>-=-='xx xx f 1分2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞ 4分（II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x xt x t x P PM x x xt x t x y PM xt x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2） 6分由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x 8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-=])1(1][4)[(22121221x x tx x x x -+-+把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为 10分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++< 则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴ 13分,)64(20)64(2022022022nn nn m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m nn nn nn n nn nn m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m . 15分归海木心 QQ:634102564归海木心 QQ:634102564又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6. 16分附加题1、解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'00'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'00'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y += 所以，曲线F 的方程是 221x y +=2、解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值2 3、利用积分易得614、210；1-；1024；（提示：令y x =+1换元即得）。
09年高考数学卷江苏含详解
【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i ，其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为★. 【答案】 20
3号
7
6
f
(m)
4号
8
7
f
5号 7 9
开始
S 0 T 1 S T2 S
S 10
Y
W S T 输出W
结束
(n) ，则 m, n 的大小
T T 2
N
关系为 ★ .
【答案】 m n
【解析】略
11.已知集合 A x | log2 x 2， B (, a) ，若 A B 则实数 a 的取值范围是
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)
2009年高考模拟试卷(无锡市区)
2009年高考模拟试卷数 学命题单位 无锡市区本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟．选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟．第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则|z|= ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版选修2-2)118P 的第4题改编而得，主要考查复数模的概念与复数的运算等基础知识，属容易题，只要根据复数的运算法则进行准确的计算就能很快地得出结果．【答案详解】由i z i 6)33(=-，得z ===∴||z =【链接高考】复数是高中数学新课程的新增内容，高考对复数的考查要求较低，常以填空题的形式出现，只考查复数的有关概念、代数运算及简单的几何意义，备考时不要过分拔高，应立足于求会、求准、求熟而不求深．2．已知集合{}2{|1},|log 1M x x N x x =>=<，则()U M N = ð ▲ ．【解题探究】本题主要考查集合的表示、集合的运算和对数函数的单调性等基础知识，属容易题，只要根据对数函数的单调性的求出集合N 中的元素，再借助数轴求出两个集合的公共部分即可．值得注意的是要注意对数的真数必须大于0，防止因忽略定义域而导致解题失误．【答案详解】{|02}N x x =<<，{|12}M N x x =<< ，∴(){|1U M N x x =≤ ð或2}x ≥． 【链接高考】集合是一种语言,是一种工具,也是一种思想,是高考必考的内容之一．根据《考试说明》的要求，江苏省高考对集合的考查主要以填空题的形式进行，难度不大，重点是集合的表示方法、集合间的关系和集合的运算等基础知识以及分类讨论和数形结合等思想方法，常常与函数、方程、不等式知识结合在一起，体现高考数学在知识点的交汇处设计命题、考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力的命题思想和命题原则．3．如图是某次大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版必修3)82P 的第10题改编而得，主要考查茎叶图的概念以及均值与方差的计算方法等基础知识，考查统计学运用样本估计总体的基本思想和识图用图的能力．求解本题，只要直接运用均值与方差的计算公式准确地进行计算即可． 【答案详解】依题意，有180(44647)855x =+++++= ， ∴22221[3(8485)(8685)(8785)] 1.65s =-+-+-=． 【链接高考】茎叶图与均值、方差等都是统计学中的重要内容，对于抽样获取的样本，用茎叶图或频率分布直方图可以使蕴含在数据之中的规律得以客观的揭示，而且富有直观、形象等特征，高考对统计知识的考查，常常以茎叶图或频率分布直方图的形式给出样本数据的规律，考查考生对统计学的思想方法的掌握情况和从图表中获取信息、处理信息的能力．在复习中对此应引起一定的重视．4．已知α是第二象限的角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为 ▲ ． 【解题探究】这是一道三角函数知值求值问题，由教材(苏教版必修4)108P 的第4题改编所得，主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角的正切公式等基础知识以及运用三角公式进行三角变换的能力．由已知条件，运用诱导公式求出sin α的值，再由同角三角函数的关系式求出tan α的值，最后根据二倍角的正切公式得到tan 2α的值．需要注意的是，运用同角三角函数的基本关系式时，要由角的象限确定根号前的符号．【答案详解】由3sin()5πα+=-，得3s i n 5α=，∵α是第二象限的角，∴4cos 5α=- 从而得3tan 4α=-，∴2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===---． 【链接高考】诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等是进行三角恒等变形的重要公式，也是高考对三角恒等变形的考查的一个重点内容和热点内容，要熟悉这些公式并能灵活地加以应用．在运用三角函数公式进行恒等变换时，要注意坚持结构同化的原则，即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函数等，其中，切函数化为弦函数也是同化思想的一种体现．5．已知数列{}n x 满足*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈，且1231001x x x x ++++= ，则101102200lg()x x x +++= ▲ ．7 8 9 9 4 4 6 4 7 3【解题探究】本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式与前n 项和的求法等基础知识和基本方法，考查推理能力、运算能力和灵活地运用所学知识分析问题与解决问题的能力．由*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈结合等差数列的定义，知数列{lg }n x 是等差数列，从而知数列{}n x 是等比数列，只要正确地运用等比数列的前n 项和公式进行计算即可使问题获解．【答案详解】 由1lg 1lg n n x x +=+得1lg lg 1n n x x +-=，∴110n nx x +=，数列{}n x 是公比为10的等比数列，∴100110n n x x +=⋅，得1010101102201231010()10x x x x x x x +++=++++= ，∴100101102200lg()lg10100x x x +++== ．【链接高考】等差数列与等比数列在江苏省2009年的《考试说明》中都被列为C 级要求，是高考考查的热点和重点，复习中，要牢固地掌握其定义、通项公式、前n 项和公式以及它们的有关性质，并能熟练地加以运用，要注意这两个特殊数列之间的内在联系，关注它们与对数、函数、方程、不等式等知识的交汇与综合，提高综合运用和灵活运用数列的知识分析问题和解决问题的能力，以适应新课程高考的要求．6．右图是一个空间几何体的三视图，各视图中的尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积是 ▲ cm 2．【解题探究】 本题由教材(苏教版必修2) 60P 的第9题改编而得，旨在考查三视图、三棱柱和球的体积公式等基础知识，考查识图用图能力、空间想象能力和运算能力，解题的关键是根 据三视图想象出几何体的直观图，再利用相应的几何体的体积公式进行计算．【答案详解】由三视图可知，空间几何体是一个水平摆放的正三棱柱（如图所示），其表面积为（18＋23）cm 2．【链接高考】几何体的投影和视图是高中数学新课程新增的教学内容，它是描述现实生活中的一些简单实物的重要手段，也是在平面上表示空间图形的重要方法．由于三视图是空间图形平面化描述的有效载体，因此能有效地考查空间想象能力和几何直观能力，从而受到新课程高考命题人员的青睐．考查三视图可以由直观图画三视图，也可由三视图画直观图，然后按传统方法求面积、体积等，既可以在填空题中出现，也可以在解答题中进行考查．7．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个33 2主视图 俯视图左视图小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．则中奖的概率为 ▲ ．【解题探究】 本题主要考查古典概型和对立事件的概率计算等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．求解本题， 由于正面的情形：“中奖”的情况比较复杂，故可以从反面入手，通过计算不中奖的概率，再运用对立事件的概率公式求出结果．【答案详解】两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1）两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2），故22()163P B =-=． 【链接高考】古典概型是一种重要的概率模型，其基本特征是实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，明确这个特征，能将实际问题转化为古典概型问题，从而借助公式()m P A n =求出结果是高考对概率问题考查的一个重点．由于没有计数原理的支持，计数的方法通常是枚举法或者是树形图法，这一点，在复习中要把握好尺度，避免在计数方法上设置障碍，人为地增加解题的难度．8．设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐 近线相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 ▲ ．【解题探究】 本题在直线与圆的位置关系和双曲线的几何性质等知识的交汇点处设计，主要考查双曲线的渐近线、准线等几何性质以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力和运用数形结合的思想、方程的思想分析问题、解决问题的能力．解题时，要注意结合图形进行分析，通过运算作出判断．【答案详解】在如图所示的坐标系下，圆心(2,0)G c 到渐近线b y x a=即0bx ay -=的距离22bc d b c ===，故圆G 的半径2r=2a x c =的距离为2222222a c a c b c c c c-+-==． ∵222222()20c b c b bc c b b c c c++---==>， ∴双曲线的右准线与圆G 的位置关系是相离．【链接高考】 圆锥曲线是解析几何中的重要内容，新课程高考降低了直线与圆锥曲线的位置关系的要求，圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质成了考查的重点，复习中，准确地理解圆锥曲线的定义，熟练地掌握圆锥曲线的方程的求法，能根据圆锥曲线的方程讨论圆锥曲线的性质，体会蕴含在这些问题中的数学思想方法显得尤为重要，必须引起足够的重视．另外，以圆锥曲线为背景，考查直线与圆的位置关系的x判定，体现高考在知识网络的交汇处设计命题的原则，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，也应在复习中予以高度的关注．9．求数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和1223(1)n S n n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++，可以采用如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得： 112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ …1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算(){}12n n b b n n n =++：（）的前n 项和123234n T =⨯⨯+⨯⨯ (1)(2)n n n +⋅⋅⋅+++，其结果为 ▲ ．【解题探究】 本题根据教材(苏教版选修2-2)72P 的例1改编而成，主要考查观察、归纳、类比和数学探究的能力．求解本题，可以从题目给出的求数列{}1n na a n n =+：（）的前n 项和的方法，类比得到求数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的方法，从而归纳得出结论，也可以由数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和的结果，直接类比得到数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的结果，关键在于掌握合情推理的方法． 【答案详解】类比数列{}n a 的前n 项和n S 的求法，先改写第k 项，有如下恒等式：()(1)2k k k ++()()1[(1)(2)3(1)(1)2],4k k k k k k k k =+++--++由此可得： 1123(12340123),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1234(23451234),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ … ()()()1(1)2[(1)(2)3(1)(1)2].4n n n n n n n n n n n ++=+++--++ 相加，得123234n T =⨯⨯+⨯⨯()1(1)(2)(1)(2)34n n n n n n n +⋅⋅⋅+++=+++．【链接高考】推理与证明也是新课程中的重要内容，江苏省2009年《考试说明》对推理论证能力的考查提出了较高的要求：能够根据已知的事实和已经获得的正确命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一命题的正确性．对这一要求的落实，新课程的高考，可能将其体现在填空题中，也可以将其以解答题的形式出现，寓推理与论证能力的考查于一体．10．已知1()sin cos f x x x =+，记'''21321()(),()(),,()()n n f x f x f x f x f x f x -=== ，*(,2)n N n ∈≥，则20091()4i i f π==∑ ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查三角函数的导数的求法和函数的周期性等基础知识与基本方法，考查灵 活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．根据正弦函数和余弦函数的导数公式，通过求导，不难发现()n f x 具有周期性，最小正周期为4，并且有1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，从而就使问题迎刃而解了．【答案详解】由题设，有''2132()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-==--， ''4354()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-+==+，∴4()()n n f x f x +=．又1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，∴2009200911()()()444i i f f f πππ====∑ 【链接高考】三角函数的导数是高中数学新课程教材中的新增内容，近几年来，全国各地的高考试题中，涌现了不少以三角函数的导数为背景和考查方向的试题，这些试题创意新颖，构思独特，对知识和能力的考查要求较高，备考复习中，要予以一定的关注和足够的重视．11．已知命题p ：1431x -≤-≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】本题根据教材(苏教版选修2—1)7P 的例1改编而得，主要考查不等式的解法、四种命题及其关系、命题的否定、充要条件等基础知识，考查运用等价转化的思想方法分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以通过求出满足条件p ⌝、q ⌝的集合,A B ，再从集合,A B 的关系入手求出实数a 的取值范围，也可以考虑其逆否命题，运用命题的等价性求解．【答案详解】命题p 即：1[,1]2M =，命题q 即：[,1]N a a =+．∵p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有1,21 1.a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩．∴102a ≤≤． 【链接高考】充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题p 和结论q 之间的逻辑关系，是考查逻辑思维能力的重要素材，是《考试说明》中要求掌握的重要知识点．在2009年的备考中，对充要条件的复习，要注意以下几点：(1)理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，弄清它们之间的逻辑关系，能正确运用概念作出判断；(2)掌握探求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件的方法，会证明命题成立的充要条件；(3)明确充要条件与等价转化之间的关系，避免由于问题变形过程中由于不等价而导致的解题错误，从而有效地提高解题的准确性．12．已知动点(,)P x y 满足约束条件3010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-10，O 为坐标原点，定点(3,4)A ，则向量OP 在向量OA 上的投影的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 这是一道简单的线性规划与平面向量的简单综合题，主要考查二元一次不等式组表示的平面区域、向量的投影等基础知识和基本方法，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题能力．给出的约束条件是平面上的一个多边形闭区域，而目标函数一般在边界处取得最值．解题时通常运用图解法，根据题意画出图形，从图形中寻求思路、获得答案，体现了数形结合的思想方法的解题价值．【答案详解】 画出不等式组30100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-1所表示的平面区域D ，向量OP 在向量OA 上的投影：||cos()||||||||OP OA OP OA OP AOP OP OP OA OA ∙∙∠=⋅= 345x y +=． 根据线性规划的知识，运用图解法，得min 343()55x y +=，max 3411()55x y +=， 故向量OP 在向量OA 上的投影的取值范 围是311[,]55． 【链接高考】在知识的交汇点处设计命题，是高考数学命题的一个重要原则，也是高考数学填空题 题型设计的一个重要特点．本题在二元一次不等式组表示的平面区域、平面向量和三角函数、简单的线性规划等知识的交汇点处设计，寓数学基础知识、数学思想方法的考查于一体，具有一定的创新性，值得我们认真研究，细细地加以体会．13．按下列流程图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若恰好运行8次才停止，则实数x 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 本题在算法、数列和不等式等知识的交汇点处设计，是一道颇具创意的好题，主要考查算法流程图、数列通项的求法与不等式组的解法等基础知识和基本方法，考查观察、归纳、推理和数学探究的能力，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以根据题目给出的流程图，求出运行n 次的结果n a 的表达式，再由5244a >，并且4244a ≤，列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求出x 的取值范围． 【答案详解】一般化处理，设第k 次运行的结果为n a ，则132a x =-，23(32)2a x =-- 23322x =-⨯-，23233(3322)2332322a x x =-⨯--=-⨯-⨯-，…，132k k a a -=- 1221313323232232(1333)3231k k k k k k k x x x ----=-⨯-⨯--⨯-=-++++=-⨯- 331k kx =-+．由题意，有87244,244.a a >⎧⎨≤⎩即8877331244,331244.x x ⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩解之得2810279x <≤． 【链接高考】算法是新课程教材中的新增内容，江苏省的高考对算法的考查一般情况下也是以填空题的形式出现，主要考查根据算法流程图和伪代码识别算法程序的能力．算法的核心思想是解决问题的方法的程序化，复习中要注意循环结构是处理递推问题的有效工具，对于我们理解数列问题的本质也很有帮助．各地高考常常以流程图的形式给出递推数列的问题，这是将算法思想综合到其他分支的范例，由于背景新颖，能有效测试数学能力，因此在复习中要予以关注，引起重视．14．若二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，则2211a c c a +++的最小值为 ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查二次函数的图象和性质以及运用基本不等式或函数的单调性求最值等基础知识和基本方法，考查灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题，可以先由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞这一条件得出0a >，1ac =，再运用基本不等式或通过消元借助函数的单调性求出最值．【答案详解】方法1由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，得0a >且min 44[()]04ac f x a-==，故有0a >，1ac =，从而也有0c >． ∴22222211()()()()a c a c a c a c c a c ac a ac c c a a a c ac a c ac a c +=+=+=+++++++++222()12()2a c a c a c a c a c +++=≥=≥=++，当且仅当1a c ==时取等号． ∴2211a c c a +++的最小值为1． 方法2 同方法1，得1,0,0ac a c =>>，且22222()211a c a c a c ac c a a c a c++-+==++++2a c a c =+-+． 令a c x +=，则2x ≥，2y x x =-在[2,)+∞上单调增，故当2x =时，min 1y =． 即2211a c c a +++的最小值为1． 【链接高考】求解二元函数的条件最值问题，是高中数学的一个重要内容，也是高考数学考查的一个重点内容．其求解思路主要有两种：一是运用基本不等式，进行整体处理；二是通过消元，转化为一元变量的函数，运用函数的单调性或导数法等方法求解．当给出的问题具备了正数、和或积的特征时，基本不等式的运用是一个有力的工具，它具有简捷明快、干净利落的特点．具体解题时，要注意检查“一正、二定、三相等”是否全部满足，以有效地防止解题错误．这些，都是高考考查的重点和热点，复习备考中切不可掉以轻心．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABCD 是矩形，4=AD ，2=AB ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，⊥PA 面ABCD（1）证明：平面⊥PAF 平面PDF ；（2）在线段PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ． 【解题探究】本题由教材(苏教版必修2)29P 的第12题改编而成，主要考查空间线线、线面和面面的平行、垂直关系的判断与证明方法，考查推理论证能力、空间想象能力和探究能力．第（1）问要证明平面⊥PAF 平面PDF ，可运用面面垂直的判定定理，通过线面垂直来实现；第（2）问要探究点G 的位置，BF P DC A E使得EG ∥平面PFD ，通常是从平行入手，寻找必要条件，再证明充分性．整个问题的求解，充分体现了空间线线、线面、面面位置关系间的相互联系与相互转化，这也是解决立体几何最基本的和最重要的思想方法．【答案详解】 (1)连结AF ，在AFD ∆中，∵AF =DF =，4AD =， ∴AF DF ⊥． ………………2分 ∵PA ⊥底面ABCD ，DF ⊂底面ABCD ，∴PA DF ⊥．又PA DF A = ，∴DF ⊥平面PAF ． …………………………4分 而DF ⊂平面PDF ，∴平面⊥PAF 平面PDF ． …………6分(2)在PA 上取点G ，使3PG GA =， 连EG ，则EG ∥平面PFD ． …………8分 证明如下：在PD 上取点N ，使3PN ND =，连GN ，在PAD ∆中， 由3PG GA =，3PN ND =， 得GN ∥AD ，并且GN 34AD =． …………10分 取DF 中点M ，连结,,GN MN EM ，则EM ∥AD ，并且13(23)324EM AD =+==． ∴GN ∥EM ，且GN EM =， ………………12分 ∴四边形EMNG 为平行四边形， ∴EG ∥MN ．∵EG ⊄平面PFD ，MN ⊂平面PFD ，∴EG ∥平面PFD ．………………14分【链接高考】由于江苏省新课程对立体几何部分教学的整体要求下降，2009的《考试说明》也强调了这一点，因此预计高考对立体几何的考查难度不会太大，特别是空间角与距离的计算会得严格的控制，考查的重点主要是空间线面平行、垂直的论证和简单几何体的面积、体积的计算．当然，不排除在考查和设问的方式方面寻求突破和创新，变传统证明型问题为判断型和探究开放型问题，以适当增加思维的力度和难度，这需要在复习中引起注意．16． (本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是ABC ∆的重心，且56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ．(1)求角B 的大小；(2)设m (sin ,cos2),n (4,1)(1),m A A k k n ==>的最大值为5，求实数k 的值． 【解题探究】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的恒等变形和解三角形的有关基础知识和基B FPD C AE G NM本方法，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．以向量为载体把三角函数和解三角形的有关内容揉合在一起，具有一定的创新性．求解第（1）小题，可由正弦定理和对平面向量的运算，得出三角形的三边a 、b 、c 满足的关系式，再由余弦定理求出角B 的余弦值，从而可结合角B 的范围求得角B 的大小；第（2）小题的求解，只要将m n 表示成关于sin t A =的函数，再运用函数最值的求法将m n的最大值用k 表示出来，从而得到k 的方程即可．【答案详解】(1)由G 是ABC ∆的重心，得0GA GB CC ++= ，∴()CC GA GB =-+ ，由正弦定理，已知等式可转化为564035()0a GA b GB c GA GB ⋅+⋅+⋅--= ，整理，得：(5635)(4035)0a c GA b c GB -⋅+-⋅= ． ………………………3分∵,GA GB 不共线， ∴56350,40350.a cbc -=⎧⎨-=⎩由此，得::5:7:8a b c =．………………5分不妨设5,7,8a b c ===，由余弦定理，得2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯． ………………7分 ∵0B π<<，∴3B π=． ………………8分（2）A A k 2cos sin 4+=⋅22sin 4sin 1A k A =-++， ………………10分由(1)得：3B π=，所以23A C π+=，故得2(0,)3A π∈．设sin (0,1]A t =∈……12分 2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈ 则，所以，当t ⋅=,1时取得最大值5．于是有：2415k -++=，32k =解得，符合题意．所以，23=k ． ………………14分 【链接高考】新课程的高考将对三角内容考查的重点转移到三角函数方面，把向量、三角函数的图象和性质、三角恒等变换以及解三角形等知识揉合在一起进行综合考查是一个显著的特点．这类问题中对平面向量的考查往往是最基本的，由于三角函数中的两角和与差的公式被列为考试说明中的C 级要求的知识点之一，是高考考查的重点，复习中要牢固掌握其公式，熟练掌握其应用，特别是三角函数与解三角形的综合问题，更要在平时的复习中认真地加以领会．17．（本小题满分14分）如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，斜坡的倾角为α(0)2πα<<，坡面的长度为x ． （1）若倾角45α=且灌溉渠的横截面面积大于5平方米，求x 的最小正整数值；（2）若斜坡坡面的长度为2米，则倾角α为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？最大值是多少？【解题探究】本题源于教材(苏教版必修1)84P 的第3题，以实际问题为背景，把生产和生活实际中的具体问题与三角函数、导数与不等式等知识有机地结合在一起，情境创设不偏不怪、平和清新，主要考查函数的单调性、导数的求法、解不等式等基础知识和基本方法，考查数学建模能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题的关键是要认真审题，弄清题意，在此基础上正确地建立起函数与不等式模型，通过求函数的最值和解不等式使问题获解． 第（1）问由于是求正整数解，因此可以运用估算的方法来处理，这是一种技巧，值得关注． 【答案详解】由题设，灌溉渠的横截面的高为sin x α米，上底长为（22cos x α+）米， ∴灌溉渠的横截面面积211(222cos )sin sin 22sin 22S x x x x αααα=++⋅=+．……2分 （1） 当45α=时，2152S x =+>， …………………………4分令21()2f x x =，则()y f x =在(0,)+∞上为增函数，且(2)25f =+<，9(3)52f =+>． ……………………………………6分 ∴灌溉渠的横截面面积大于5平方米时，x 的最小正整数值为3．………………7分（2）由已知2x =，得()2sin 24sin S g ααα==+，(0,)2πα∈． …………9分 ∴'21()4cos 24cos 4(2cos 1cos )8(cos 1)(cos )2g ααααααα=+=-+=+-．………………11分 当(0,)3πα∈时，'()0g α>，()g α单调递增；当(,)32ππα∈时，'()0g α<，()g α单调递减，故当3πα=时，()g α取得最大值，且最大值为：2()2sin 4sin 333g πππ=+= ……………………………………………13分 ∴当(0,)3πα∈时，灌溉渠的横截面面积最大，最大值是14分【链接高考】新课程强调培养学生的数学应用意识和实际应用的能力，为了体现这一理念，江苏省近几年的高考试题，在解答题中都有一道实际应用题，其特点是回归课本，从课本中寻找应用问题的载体，考查的难度不大，对学生的建模能力的要求不高，试题比较平衡，容易上手，考查的关键是如何将实际问题转化为数学问题，以及转化以后如何综合运用数学知识解决数学问题．预计2009年对应用问题的考查力αx度不会减弱，并且将会在继承中有所创新，其载体可能是三角、函数、数列、概率、统计或不等式等，题目不会太难，但能突出对主干知识的考查，注重学科间知识的联系与综合．18．(本小题满分16分) 已知圆22:4C x y +=与x 轴交于12,A A 两点，椭圆1C 以线段12A A为长轴，离心率2e =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于12,A A 的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆的右准线交于点Q ，试判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．（3）设点00(,)M x y 在直线30x y +-=上，若存在点N C ∈，使得60OMN ∠=（O 为坐标原点），求0x 的取值范围．【解题探究】 本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力、推理能力、探究能力以及分析问题和解决问题的能力．求椭圆的标准方程，一般运用待定系数法，判断直线与圆的位置关系，要注意圆的几何性质的应用，通常是考虑圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系以及圆的切线的性质的灵活应用．第(3)小题具有一定的综合性,可以从极端位置考虑，研究直线与圆相切的情形，构造出关于0x 的不等式，通过解不等式求出0x 的取值范围． 【答案详解】（1）由题意，可设所求椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，易得12(2,0),(2,0)A A -，则有：24,a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩…………………………………… 2分解之，得2,a c =2222b a c =-=．………………………………… 3分∴所求椭圆1C 的方程为22142x y +=． …………………………………… 4分 （2）直线PQ 与圆C 相切． …………………………………… 5分 证明如下：易得椭圆1C的右焦点为F，右准线为x = ………………… 6分 设点00(,)P x y ，则有22004x y +=，又00PF OQ x k k y -==-，∴直线PQ 的方。
无锡市秋学期普通高中高三质量调研试卷
无锡市2009年秋学期普通高中高三质量调研试卷1. 22. 13. -14. （1，2） [解析]∵A ={x |x <2}，B ={x |1<x <5},∴A ∩B ={x |1<x <2}.5. 1206. －4 [解析]设切点为(x 0,y 0),∴ f ′(x 0)=430x =4,∴x 0=1,∴ y 0=0，切线方程为y =4(x -1)=4x -4,∴ b =-4.7. （±2，0） [解析]依题意得双曲线的方程为2222x y b-=1(b >0),∵ 点(2,2)在双曲线上,∴ 2-22b=1，b 2=2,∴ c 2=2+2=4,c =2. 8. 1π[解析]P =241.2ππ=⋅ 9. 25[解析]满足条件的点P 有5×5=25（个）,其中在直线x +y =5下方的点为(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3),共10个.∴ P =25.10. 12 [解析]∵231112317,S a a q a q a a q++==∴ 22217,610,0,q q q q q q ++=--=>∴ q =12. 11. 1 12. 45° [解析]过点A 作AH ⊥CD 于H.设∠CAH=α,∠DAH=β(α, β均为锐角).tan α=13,tan β=12,∴ tan(α+β)=1132 1.11132+=-⨯∴ α+β=∠DAC=45°.13. （-∞，-4）∪（１，+∞） [解析]∵f(x)=15,2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴ f(x)在(0,+∞)单调递增，1≤3+2sin θ≤5,依题意有m2+3m-2>f(5)=25525-=⨯2,即m2+3m-4>0，∴m>1或m<-4.14. （1，2） [解析] g(x)=x2(2a2-x2)≤2222422x a x a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,此时2a2-x2>0,且x2=a2.由-b2+4b-3≥0,得1≤b ≤3,∴ b=1,2,3,由题意知b=2,∴ f(x)=ax2-2x=a 211,x a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭当x=a 时,有a=1a ,∴a=1.15. （1） 因为,BP PA =u u u r u u u r 所以,BO OP PO OA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r 即2OP OB OA =+u u u r u u u r u u u r ， 3分 所以1122OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r 即x=12，y=12. 5分（2） 因为3,BP PA =u u u r u u u r 所以33,BO OP PO OA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r 即43OP OB OA =+u u u r u u u r u u u r ，7分所以3144OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，8分 所以x=34，y=14. 9分31()44OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 10分=131442OB OB OA OA OA OB ⋅-⋅+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12分 =22131124429.4422⨯-⨯+⨯⨯⨯=- 14分16. （1） 因为AF ∥BE ，AF ⊄平面BB1E1E ，所以AF ∥平面BB1E1E ， 2分同理可证，AA1∥平面BB1E1E ， 3分所以，平面AA1F1F ∥平面BB1E1E. 4分又F1G ⊂平面AA1F1F ，所以F1G ∥平面BB1E1E. 5分（2） 因为底面ABCDEF 是正六边形，所以AE ⊥ED ，7分又E1E ⊥底面ABCDEF ，所以E1E ⊥AE ，因为E1E ∩ED=E ，所以AE ⊥平面DD1E1E ，9分又AE ⊂平面F1AE ，所以平面F1AE ⊥平面DEE1D1. 10分（3） 因为F1F ⊥底面FGE ，所以11111112sin1202332E GFF F GFE GEF V V S FF --==⋅=⨯⨯⨯︒⨯V 13分=3. 14分17. （1） f （x ）=m （1+cos2x ）msin2x+n 2分 =2mcos23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+m+n. 3分 因为x ∈0,,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以2x+3π∈4,,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ４分cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈11,,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5分因为m ＞0，2mcos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈［-2m ，m ］，6分所以f （x ）max=2m+n=4，f （x ）min=-m+n=1，8分m=1，n=2.10分 （2） 由（1）可知，m ＞0时，f （x ）=2cos23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+3=2，12分 所以cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-12，所以x=6π. 14分 18. （1） 由题意知：P 0,3b ⎛⎫⎪⎝⎭，设F1（-c ，0）. 2分 因为F1PF2Q 为正方形，所以c=3b. 4分即b=3c ，所以b2=9c2，即a2=10c2，6分所以离心率e= 8分（2） 因为B （0，3c ），由几何关系可求得一条切线的斜率为. 10分所以切线方程为x+3c ， 12分因为在轴上的截距为-4，所以c=1，14分所以所求椭圆方程为221.109x y += 16分19. （1） 由f （x ）=ax3+bx2+cx （a ≠0）为奇函数，所以f （-x ）=-f （x ）. 代入得，b=0. 1分所以()f x '=3ax2+c ，且f （x ）在x=1取得极大值2.所以(1)0,30,(1)2, 2.f a c f a c '=+=⎧⎧⇔⎨⎨=+=⎩⎩ 3分解得a=-1，c=3，所以f （x ）=-x3+3x.4分 （2） 因为g （x ）=-x2+3+（k+1）lnx ，所以()g x '=-2x+（k+1）1x =22(1).x k x -++ 5分 因为函数定义域为（0，+∞），所以① 当k+1=0，k=-1时，()g x '=-2x ＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；6分② 当k ＜-1时，k+1＜0，因为x ＞0，所以()g x '=22(1)x k x -++＜0.所以函数在（0，+∞）上单调递减；7分③ 当k ＞-1时，k+1＞0，令()g x '＞0，得22(1)x k x -++＞0，因为x ＞0， 所以-2x2+（k+1）＞0，得x <<结合x ＞0，得0＜x令()g x '＜0，得22(1)x k x -++＜0，同上得2x2＞（k+1），x， 所以当k ＞-1时，单调递增区间为,⎛ ⎝单调递减区间为.⎫+∞⎪⎪⎭ 9分 综上，当k ≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当k ＞-1时，函数的单调递增区间为,⎛ ⎝单调递减区间为.⎫+∞⎪⎪⎭ 10分 （3） 当k=2时，g （x ）=-x2+3+3lnx ，令h （x ）=g （x ）-（x+m ）=-x2-x+3lnx+3-m ，11分()h x '=-2x-1+3x ，令()h x '=0，2230x x x --+=，得x=1，x=-32（舍去）.由函数y=h （x ）定义域为（0，+∞），13分则当0＜x ＜1时，()h x '＞0，当x ＞1时，()h x '＜0，所以当x=1时，函数h （x ）取得最小值1-m.15分要使函数y=g （x ）的图象在直线y=x+m 的下方，则1-m ＜0，所以m ＞1.故m 的取值范围是（1，+∞）.（答［１，+∞）也正确）１６分 20. （1） b6=94. 2分 （2）bn+1=a （n+1）1+a （n+1）2+…+a （n+1）（n+1）=n+1+（an1+an2）+…+（an （n-1）+an n ）+n+1=2（an1+an2+…+ann ）+2=2bn+2; ６分 （3） 因为bn+1=2bn+2，所以bn+1+2=2（bn+2），8分所以{bn+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，9分 则bn+2=3·2n-1⇒bn=3·2n-1-2. 11分若数列{bn}中存在不同的三项bp ，bq ，br （p ，q ，r ∈N*）恰好成等差数列，不妨设p ＞q ＞r ，显然{bn}是递增数列，则2bq=bp+br. 12分即2（3·2q-1-2）=（3·2p-1-2）+（3·2r-1-2），化简得：2·2q-r=2p-r+1（*）， 14分由于p ，q ，r ∈N*，且p ＞q ＞r ，知q-r ≥1，p-r ≥2，所以（*）式左边为偶数，右边为奇数.故数列{bn}中不存在不同的三项bp ，bq ，br （p ，q ，r ∈N*）恰好成等差数列. 16分。
江苏省无锡一中高考数学押题卷
江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是_______________．（要求用数学符号表示）．2、已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ．3、已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，则C ∠= ．4、等差数列}{n a 中，10S =120，那么92a a += ．5、函数113xy -=的值域是 ．6．给出50个数，1，3，7，13，21，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大4，第4个数比第3个数大6，…，以此类推.以下流程图给出了计算这50个数的和的一种算法，那么在（1）处应该填写的内容是 ．7．如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为4的正方形，该三棱柱的左视图面积为 . 8．若21=-z ，则13--i z 的最小值为 ． 9．曲线y=x 2与直线y=2x 所围成的面积为 .第10题图第7题图_ B_ A_ B_ A_ B_ A_ B _ A正视图俯视图第6题图10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文24,22,10,9时，则解密得到的明文为 .11．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是1∶2，那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 ．12．规定符号 “ * ”表示一种运算,即,,a b a b a b *=+是正实数,已知71=*k ，则函数()f x k x =* 的值域是_____ _．13．若空间一点P 到两两垂直的射线OC OB OA ,,的距离分别为c b a ,,,则以OP 为半径的球的表面积为 .14．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 .二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数()()2 1 A 0,0,02f x Acos x πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y 轴上的截距为2.（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）设数列()n a f n =，n S 为其前n 项和，求100S .16．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （Ⅱ）求证：PC 1∥面MNQ ．第14题图ABC D A 1B 1C 1D 1P A 1AB CP MNQ 1C 117. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅ 的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.18．（本题满分15分）某出版公司为一本畅销书定价如下:***12(124,)11(2548,)10(49,)n n n N C n n n N n n n N ⎧≤≤∈⎪≤≤∈⎨⎪≥∈⎩.这里n 表示定购书的数量,C （n ）是定购n 本书所付的钱数（单位:元） （1）有多少个n,会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少?（2）若一本书的成本价是5元,现有两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?19．（本题满分16分）已知函数xxx f y ln )(==. （Ⅰ）求函数)(x f y =的图像在ex 1=处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f y =的最大值；(Ⅲ) 设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值.20．（本题满分16分）已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xtx x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N .（I ）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.数学附加题1、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤200 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2、在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．3、求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．4、已知10101010)1()1(++⋯+++=x a x a a x （1）求6a 的值 （2）求∑=101i ia的值 （3）求∑=10||i ia的值江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题答案1. R x ∈∀,012≥+x2.或－２233.３π4.２４5.）（１，＋（０，１）∞ 6、p ←p ＋2i 7、388、1 9、34 10、1,4,2,6 11、212、[),4∞+ 13、π)(2222c b a ++ 14、22+15．【解】（Ⅰ）∵()()22122A A f x cos x ωϕ=+++，依题意：1322A A++=， ∴2A =.…1′又22T =，∴242πω=，得4πω=.…3′ ∴()222f x cos x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令0x =得：222cos ϕ+=，又02πϕ<<，∴22πϕ=.故函数()x f 的解析式为：()22f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭………6′（Ⅱ）由()22f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭知：()22n a f n sin n π⎛⎫==- ⎪⎝⎭.当n 为偶数时，()2=n f ………10′当n 为奇数时，()()()()()()135797994f f f f f f +=+==+=.∴100250425200S =⨯+⨯=.………14′16．（Ⅰ）∵AC=BC ， P 是AB 的中点∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内∴CC 1⊥AB ，∵CC 1∩PC =C∴AB ⊥面PCC 1； 5分 又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 8分 （Ⅱ）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ， ∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点， ∴K 为PB 1的中点． 又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ 14分 而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ∴PC 1∥面MNQ ． 16分17. 解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）……… 2分由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=；……… 4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =---，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，25[,0)2PA PB ∴⋅∈-……………………… 9分 （3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQNQM QN MQN S=⋅∠= ，……… 11分A 1 AB CPM N Q B 1 C 1由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3）， 直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQNS 有最大值32. ……… 14分即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32， 此时直线l 的方程为250x y --=.……… 15分18．（1）由于C （n ）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的现象. 解：C （25）＝11⨯25＝275，C （23）＝12⨯23＝276，∴C （25）<C （23）……..1分 C （24）＝12⨯24＝288，∴ C （25）<C （24）…………………..…………..2分 C （49）＝49⨯10＝490，C （48）＝11⨯48＝528，∴ C （49）<C （48） C （47）＝11⨯47＝517，∴ C （49）<C （47） C （46）＝11⨯46＝506，∴ C （49）<C （46）C （45）＝11⨯45＝495，∴ C （49）<C （45）……….. ……….………..……..5分 ∴这样的n 有23，24，45，47，48……….……….………..……….. ……………6分 （2）设甲买n 本书，则乙买60－n 本，且n ≤30，n *N ∈（不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）①当1≤n ≤11时，49≤60－n ≤59出版公司赚得钱数()1260(60)5602300f n n n n =+--⨯=+…….. …7分 ②当12≤n ≤24时，36≤60－n ≤48，出版公司赚得钱数()360f n n =+……..……….. ………8分 (3)当25≤n ≤30时，30≤60－n ≤35，出版公司赚得钱数()1160560360f n =⨯-⨯=……..……….. ………9分∴2300,111()360,1224360,2530n n f n n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤⎨⎪≤≤⎩……..………………………………..10分∴当111n ≤≤时，302()322f n ≤≤ 当1224n ≤≤时，372()384f n ≤≤当2530n ≤≤时，()360f n ≤………. .………. .………. .………...……..11分 故出版公司至少能赚302元，最多能赚384元.………. .……….………..12分19．解（Ⅰ）)(x f 定义域为()+∞,0 2/x lnx-1(x)=∴f 2分 e ef -=)1( 又 2/2)1(e ef k == 4分 ∴函数)(x f y =的在ex 1=处的切线方程为： )1(22ex e e y -=+，即e x e y 322-= 5分（Ⅱ）令0)(/=x f 得e x = 6分当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，在),(+∞e 上为减函数 8分ee f x f 1)()(max ==∴ 10分 （Ⅲ） 0>a ，由（2）知：)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减．∴)(x F 在[]a a 2,上的最小值)}2(),(min{)(min a F a F x f =2ln 21)2()(aa F a F =- 12分 ∴当20≤<a 时，,0)2()(≤-a F a F =)(min x f a a F ln )(= 14分当a <2时0)2()(>-a F a F ，=)(min x f a a F 2ln 21)2(= 16分20． 解：（I ）当,2)(,2x x x f t +==时 0221)(222>-=-='x x x x f 1分 2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞ 4分（II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x x tx t x P PM x x x t x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2） 6分由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x 8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为 10分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++<则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴ 13分,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n nn n n m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m . 15分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6. 16分附加题1、解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'00'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'00'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=2、解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值2 3、利用积分易得61 4、210；1-；1024；（提示：令y x =+1换元即得）。
江苏省高考数学模拟试卷(一)
2009届江苏省高考数学模拟试卷（一） (考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)A.必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1． 不等式103xx -≥-的解集是__________. 2．抛物线212y x =-的焦点坐标是__________.3．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有__________条4．已知向量)12,5(=→--OA , 将→--OA 绕原点按逆时针方向旋转90得到→--OB ,则与→--OB 同向的单位向量是__________.5．已知201,(),x a a f x x a >≠=-且当(1,1)x ∈-时均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是_________.6．不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是 。
7．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M ，如果把M 当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ：N 为 。
8．对a, b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥ba b b a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是 。
9．下图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是________。
10.在数列{a n }中，对任意自然数n ∈N*，a 1+a 2+…+a n =2n －1，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=________。
11.在一根长10cm ，外圆周长6cm 的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为________。
2009高考数学模拟试题13套数学10
2009年高考模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答•漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1参考公式：锥体的体积公式V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P={x|x c1},集合Q=«x| 丄c0?,则P“Q =A. "Xx c O〉B. <xx>l}C. {xx c O或x > "D.空集©2 —ai2. 若复数（a・R）是纯虚数（i是虚数单位），则a =（）1+i c 1 1A. -2B.C. 一D. 22223. 若函数f （x）二sin 2x（x・ R）是（）A .最小正周期为的偶函数B .最小正周期为的奇函数2 2C.最小正周期为■:的偶函数 D .最小正周期为■:的奇函数4 .某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A. 24B. 18C. 16D. 125 •在边长为1的等边二ABC 中，设BC 二a , CA 二b ，则a b 二（）■ 0A. 1B. 2C. 3D. 4C. 命题“若m • 0，则方程x 2 x 「m 二0有实根”的逆否命题为“若方程x 2 • x 「m = 0无 实根，则m 乞0D. “ x -1 ”是“ x 2 -3x • 2 = 0 ”的充分不必要条件2&函数f （x ）=mx -x -1在（0,1）内恰有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.2]C.[2, ：：）D. （2,：：）9 .设有直线m 、n 和平面〉、：•下列四个命题中，正确的是 （）A.若 m 「,n // ：•，则 m II nB.若 m 二卅，n 二圧,m // :,n // :，则〉// :C.若：•— ：，m 二圧,则 m 」■；'D.若：■ _ :, m 」, m-:，则 m // ：■10 .对于函数f （x ）二e x 定义域中任意捲公2（捲=X2）有如下结论:上述结论中正确的结论个数是（ A 1 1.3.B.-C.D2 226. 已知几何体的三视图女口图 1所示， 它的表面积是（ ）A. 4.2B. 2..2C.3 、2D.67. 卜列命题错误的是（）A .命题“若xy 二0 , 则x, y 中至少 有一个为零” 的否定是： “若xy = 0，则x, y 都不为零”— 2；则—p :- x R ，均有 x • x T _ 0① f （x 「X 2）= f （xj f （X 2） ② f （捲 X 2） = f （xj f （X 2） f （X 1）- f（X 2）④ X 1 x 2f（X 1）f （X 2）2 2E.对于命题 p : T x • R ，使得X x ^：： 0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分•其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
2009年江苏高三数学模拟试卷
高三数学模拟试卷1.若[]2,5x ∈“或{}14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的取值范围是 ．[)12，2. 设向量a =（12，sin a ）的模为22，则cos 2a = 32 ．3. 若,53)2sin(=+θπ则θ2cos 的值为 ．4. 若a2ai +=，则a 等于 ▲ ．5.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为2y x =±，且该双曲线与椭圆13622=+yx有共同的焦点，则双曲线的方程为 ．6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 ▲ ．7. 已知cos(α－7π6＝－45，α∈(0，π2)，则cos(α＋π6)－sin α的值是________．－3358. 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//；③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）________．①④9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =_____12±__．10. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合{321,123}A =---，，0,，， 中的元素，则此点正好落在抛物线21y x =-上的概率为 ．44911. 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2xm ＜1212. 已知一个正六棱锥的左视图如图所示(单位：cm)，则此正六棱台的体积等于_______cm 3．64 313. 已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,⋅⋅⋅则该数列前2009项的和2009s =400714. 在圆周上均匀的放着4枚围棋子，作如下操作：若原来相邻的两枚棋子是同色，就在其间放一枚黑子；若是异色，就在其间放一枚白子，然后将原来的4枚棋子取走，以上算一次操作。
江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题
选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是_______________．（要求用数学符号表示）．2、已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ．3、已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，则C ∠= ．4、等差数列}{n a 中，10S =120，那么92a a += ．5、函数113xy -=的值域是 ．6．给出50个数，1，3，7，13，21，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大4，第4个数比第3个数大6，…，以此类推.以下流程图给出了计算这50个数的和的一种算法，那么在（1）处应该填写的内容是 ．7．如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为4的正方形，该三棱柱的左视图面积为 .8．若21=-z ，则13--i z 的最小值为 ． 9．曲线y=x 2与直线y=2x 所围成的面积为 .输入a,b,c,d22234m a b n b cp c dq d←+←+←+←输出m,n,p,q 结束开始 第10题图第7题图_ B _1_ A _1_ B_ A_ B _1 _ A _1_ B _ A正视图俯视图（1）结 束i ←i +1i ≤50开 始 是 输出 s 否s ←s + p i ←1，p ←1,s ←0第6题图10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文24,22,10,9时，则解密得到的明文为 .11．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是1∶2，那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 ．12．规定符号 “ * ”表示一种运算,即,,a b ab a b a b *=++是正实数,已知71=*k ，则函数()f x k x =* 的值域是_____ _．13．若空间一点P 到两两垂直的射线OC OB OA ,,的距离分别为c b a ,,,则以OP 为半径的球的表面积为 .14．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 .二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知函数()()2 1 A 0,0,02f x Acos x πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y 轴上的截距为2.（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）设数列()n a f n =，n S 为其前n 项和，求100S .16．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （Ⅱ）求证：PC 1∥面MNQ ． 第14题图ABC D A 1B 1C 1D 1P A 1 A B C P MN Q B 1 C 117. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB成等比数列，求PA PB ⋅ 的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由. 18．（本题满分15分）某出版公司为一本畅销书定价如下:***12(124,)11(2548,)10(49,)n n n N C n n n N n n n N ⎧≤≤∈⎪≤≤∈⎨⎪≥∈⎩.这里n 表示定购书的数量,C （n ）是定购n 本书所付的钱数（单位:元） （1）有多少个n,会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少?（2）若一本书的成本价是5元,现有两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?19．（本题满分16分）已知函数xxx f y ln )(==. （Ⅰ）求函数)(x f y =的图像在ex 1=处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f y =的最大值；(Ⅲ) 设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值.20．（本题满分16分）已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xtx x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N .（I ）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.数学附加题1、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2、在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．3、求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．4、已知10101010)1()1(++⋯+++=x a x a a x （1）求6a 的值 （2）求∑=101i ia的值 （3）求∑=10||i ia的值江苏省无锡一中2009年高考数学模拟试题答案1. R x ∈∀,012≥+x2.或－２233.３π4.２４5.）（１，＋（０，１）∞ 6、p ←p ＋2i 7、388、1 9、34 10、1,4,2,6 11、2212、[),4∞+ 13、π)(2222c b a ++ 14、22+15．【解】（Ⅰ）∵()()22122A A f x cos x ωϕ=+++，依题意：1322A A++=， ∴2A =.…1′又22T =，∴242πω=，得4πω=.…3′ ∴()222f x cos x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令0x =得：222cos ϕ+=，又02πϕ<<，∴22πϕ=.故函数()x f 的解析式为：()22f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭………6′（Ⅱ）由()22f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭知：()22n a f n sin n π⎛⎫==- ⎪⎝⎭.当n 为偶数时，()2=n f ………10′当n 为奇数时，()()()()()()135797994f f f f f f +=+==+= . ∴100250425200S =⨯+⨯=.………14′16．（Ⅰ）∵AC=BC ， P 是AB 的中点∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内∴CC 1⊥AB ，∵CC 1∩PC =C∴AB ⊥面PCC 1； 5分 又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 8分 （Ⅱ）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ， ∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点， ∴K 为PB 1的中点． 又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ 14分 A 1AB CPMNQB 1C 1∴PC 1∥面MNQ ． 16分17. 解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）……… 2分由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=；……… 4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =--- ，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅ ，即222222000000(5)(5)x y x y x y +=++⋅-+，整理得：2200252x y -=, 即2200252x y =+……（2） 由（1）（2）得：202504y ≤<，22200025(25)22PA PB x y y ⋅=-+=- ，25[,0)2PA PB ∴⋅∈- ……………………… 9分（3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQN QM QN MQN S =⋅∠=，……… 11分由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3）， 直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32. ……… 14分即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32，此时直线l 的方程为250x y --=.……… 15分18．（1）由于C （n ）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少的现象. 解：C （25）＝11⨯25＝275，C （23）＝12⨯23＝276，∴C （25）<C （23）……..1分 C （24）＝12⨯24＝288，∴ C （25）<C （24）…………………..…………..2分 ⨯⨯C （47）＝11⨯47＝517，∴ C （49）<C （47） C （46）＝11⨯46＝506，∴ C （49）<C （46）C （45）＝11⨯45＝495，∴ C （49）<C （45）……….. ……….………..……..5分 ∴这样的n 有23，24，45，47，48……….……….………..……….. ……………6分（2）设甲买n 本书，则乙买60－n 本，且n ≤30，n *N ∈（不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）①当1≤n ≤11时，49≤60－n ≤59出版公司赚得钱数()1260(60)5602300f n n n n =+--⨯=+…….. …7分 ②当12≤n ≤24时，36≤60－n ≤48，出版公司赚得钱数()360f n n =+……..……….. ………8分 (3)当25≤n ≤30时，30≤60－n ≤35，出版公司赚得钱数()1160560360f n =⨯-⨯=……..……….. ………9分∴2300,111()360,1224360,2530n n f n n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤⎨⎪≤≤⎩……..………………………………..10分∴当111n ≤≤时，302()322f n ≤≤ 当1224n ≤≤时，372()384f n ≤≤当2530n ≤≤时，()360f n ≤………. .………. .………. .………...……..11分 故出版公司至少能赚302元，最多能赚384元.………. .……….………..12分19．解（Ⅰ）)(x f 定义域为()+∞,0 2/xlnx-1(x)=∴f 2分 e ef -=)1( 又 2/2)1(e ef k == 4分 ∴函数)(x f y =的在ex 1=处的切线方程为： )1(22ex e e y -=+，即e x e y 322-= 5分（Ⅱ）令0)(/=x f 得e x = 6分当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，在),(+∞e 上为减函数 8分ee f x f 1)()(max ==∴ 10分 （Ⅲ） 0>a ，由（2）知：)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减．∴)(x F 在[]a a 2,上的最小值)}2(),(min{)(min a F a F x f =2ln 21)2()(aa F a F =- 12分 ∴当20≤<a 时，,0)2()(≤-a F a F =)(min x f a a F ln )(= 14分当a <2时0)2()(>-a F a F ，=)(min x f a a F 2ln 21)2(= 16分20． 解：（I ）当,2)(,2x x x f t +==时 0221)(222>-=-='x x x x f 1分 2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞ 4分（II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x x tx t x P PM x x x tx t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2） 6分由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x 8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为 10分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++< 则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴ 13分,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n nn n n m 恒成立对一切的正整数即 由于m 为正整数，6≤∴m . 15分 又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+ 因此，m 的最大值为6. 16分附加题1、解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'02x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=2、解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为3cos (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）故可设动点P 的坐标为(3cos ,sin φφ），其中02φπ≤<.选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 因此313cos sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6πφ=时，S 取最大值2 3、利用积分易得61 4、210；1-；1024；（提示：令y x =+1换元即得）选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)。
普通高等学校招生全国高三数学统一考试模拟试卷(江苏卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（江苏卷）数学试卷 命题人:骆继斌本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 ▲ 2.设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为 ▲ 3.已知等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若5T ＝1，则3a = ▲ 4.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 ▲锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ▲正视图 俯视图 俯视图 6. 已知2,0,02{(,)},{(,)}x y x y x y x x y M x y Ω+<≥≥≤≤==，若向区域Ω内随机 投入一点P ，则P 点落入区域M 内的概率为 ▲ 7.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2009a = ▲8.设函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<的单调递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，则ϕ的值为___▲___9.已知点P 和点Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =图像上关于直线y x =对称的两点, 则线段PQ 长度的最小值为________▲______ 10．若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范是 ▲ ．11.用一个垂直于圆锥面的一条母线的平面截圆锥面得到一个椭圆,已知圆锥面的轴截面的中心角为6π,则椭圆的离心率为_________ 12.设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 ▲ 13.已知关于x 的不等式a x <-|13|有唯一的整数解,则方程1|)12|1(=--xa x 实数根的个数为▲14.已知点Q b a p 与点),(（1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法正确的是▲x2 53 1 4()f x12345CD QDB图（1）PCANM①0132>+-b a ②0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③M b a R M >+∈∃+22,使恒成立 ④且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞ 二、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π． （1）求)(x f 的最小正周期；（2）已知A 是ABC 的内角，()1f A =，求sin 2cos3tan 4A A A ++的值．16．（本小题满分14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ． （1）求直线50ax by ++=与圆221x y +=相切的概率；（2）将,,5a b 的值分别作为三条线段的长，试列举出这三条线段能围成等腰三角形的所有情形并 求其概率．17.（本小题满分14分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。
江苏省2009年高考模拟试题
江苏省2009年高考模拟试题数 学注意事项:1.本试卷共4页，包含填空题、解答题两部分．满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.必做题部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知复数z 满足()i i z 21=+，其中i 为虚数单位，若()()R b a bi a i z ∈+=-,2则=+b a _____________。
命题意图：此题系原创，容易题，涉及复数的运算，复数的基本概念等知识点。
考点分析：复数部分为新增知识点，要求为A 级，复习时要以四则运算为主，弄清基本概念及。
解析：由题意得i ii z +=+=112，则()()()i i i i z +=-+=-3212，∴4=+b a 。
2、设全集}087|{2<--∈=⋃=x x N x B A U ，若(),2|{m x x B C A U ==⋂ }3,2,1,0=m ，则集合=B ____________________。
命题意图：此题系改编，容易题，涉及一元二次不等式的解法，交集，补集等知识。
考点分析：集合的运算为B 级要求，而一元二次不等式为C 级要求，对于集合的运算要善于利用数轴或V enn 图来分析，以“形”助“数”，而一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间密不可分，常常利用数形结合思想解决。
解析：全集}7,6,5,4,3,2,1,0{}087|{2=<--∈=⋃=x x N x B A U ， 又(),2|{m x x B C A U ==⋂}3,2,1,0=m }6,4,2,0{= ∴}7,5,3,1{=B3、已知数列}{n a 满足71=a ，21-=+n n a a ，n S 为其前n 项和，则n S 的最大值为__________。