2020年高考模拟江西名校学术联盟高考数学第二次模拟试卷(文科) 含解析
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}2．若x ∈（3，6），则不等式x 2﹣3x ﹣10≥0成立的概率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．343．若cos （3π2+α）=−√35，则cos2α＝（ ）A ．−1925B ．1925C ．−2225D ．22254．现有如下命题：命题p ：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（﹣∞，0]，lnx 0﹣x 0≥0”； 命题q ：“sin2x ＞0”的充要条件为：“kπ＜x ＜(2k+1)π2(k ∈Z)”， 则下列命题中的真命题是（ ） A ．pB ．p ∧qC ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）5．已知正四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（ ） A ．4√3B ．6√3C ．8√3D ．12√36．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是偶函数，f （4）＝2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f （4x ﹣1）＞2的解集为（ ） A ．(14，54)B ．(−∞，14)∪(54，+∞)C ．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D ．（﹣1，17）7．已知向量a →，b →满足|a →|=6，|b →|=2，且3a →−2b →在b →方向上的投影为4，现有如下说法： ①a →⋅b →=83；②向量a →与b →夹角的余弦值为49；③(3a →−4b →)⊥b →，则其中说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数f(x)=√3sin(3x −π4)，x ∈(π2，5π6)，则函数f （x ）的值域为（ ）A ．(−√3，√62) B ．[−√3，√62) C ．(−√62，√62) D ．[−√62，√62) 9．若关于x 的不等式x 2﹣mlnx ﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−∞，3ln2] B ．(−∞，8ln3] C ．（﹣∞，e 2﹣1]D ．[3ln2，8ln3] 10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2AA 1＝2，E ，F 分别是线段A 1D 1，CC 1的中点，若E '是E 在平面BDD 1B 1上的射影，点F '在线段BB 1上，FF '∥BC ，则|E 'F '|＝（ ） A ．√21515B ．√21510C ．√43015D ．√4301011．设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112)B ．[−52，+∞)C ．[−52，112)D ．[−52，4)12．已知首项为3的正项数列{a n }满足（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）＝3（a n +1）（a n ﹣1），记数列{log 2(a n 2−1)}的前n 项和为S n ，则使得S n ＞440成立的n 的最小值为（ ）A ．23B ．22C ．20D ．21二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为 ．14．已知实数x ，y 满足{y ≥4x ，x +2y +6≥0，y ≤4，z ＝x ﹣y 的最大值为 ．15．若直线l ：x ﹣3y ＝0与圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +16＝0交于M ，N 两点，则|MN |＝ ． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为14．分数 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140）频数 40 50 70 60 80 m 50（1）求m 的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率． 18．四棱锥A ﹣BCED 中，DE ∥BC ，∠BCE ＝90°，AE ⊥ED ，AE ＝EC ，BC ＝CD ，DE =12BC ． （1）求证：BC ⊥AC ；（2）若AB ＝4，AB 与平面AEC 所成的角为45°，求三棱锥A ﹣BCE 的体积．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√13，且sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b．（1）求△ABC 外接圆的半径； （2）若c ＝3，求△ABC 的面积．20．已知数列{a n }满足2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{3na n}的前n 项和S n ．21．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且点M 满足PM →=MQ →． （1）若点M （1，√34），求直线l 的方程； （2）若直线l 过点F 2且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l ′与y 轴交于点A （0，t ），求实数t 的取值范围．22．已知函数f （x ）＝lnx +m （x ﹣1）2．（1）若函数f （x ）在[2，4]上单调递减，求实数m 的取值范围． （2）讨论函数f （x ）的单调性．2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}【解答】解：依题意，A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}＝{0，1，2}， 故A ∩B ＝{0，2}， 故选：B ．2．若x ∈（3，6），则不等式x 2﹣3x ﹣10≥0成立的概率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【解答】解：不等式x 2﹣3x ﹣10≥0可化为（x ﹣5）（x +2）≥0， 解得x ≤﹣2或x ≥5，利用几何概型的概率公式计算所求概率为 P =6−56−3=13． 故选：A ． 3．若cos （3π2+α）=−√35，则cos2α＝（ ）A ．−1925B ．1925C ．−2225D ．2225【解答】解：依题意，cos(3π2+α)=sinα=−√35， 故cos2α=1−2sin 2α=1−625=1925． 故选：B ． 4．现有如下命题：命题p ：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（﹣∞，0]，lnx 0﹣x 0≥0”； 命题q ：“sin2x ＞0”的充要条件为：“kπ＜x ＜(2k+1)π2(k ∈Z)”， 则下列命题中的真命题是（ ） A ．pB ．p ∧qC ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈（0，+∞），lnx ﹣x ＜0”的否定为“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0﹣x 0≥0”，故命题为假；sin2x ＞0⇔2kπ＜2x ＜(2k +1)π⇔kπ＜x ＜(2k+1)π2，其中k ∈Z ， 故命题q 为真；故（￢p ）∧q 为真， 故选：C ．5．已知正四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（ ） A ．4√3B ．6√3C ．8√3D ．12√3【解答】解：设外接球半径为R ，则S ＝4πR 2＝12π，解得R =√3， 将正四面体A ﹣BCD 恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 故AB ×√22×√3=2√3，解得AB =2√2，故该正四面体的表面积为4×√34×(2√2)2=8√3，故选：C ．6．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）是偶函数，f （4）＝2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f （4x ﹣1）＞2的解集为（ ） A ．(14，54)B ．(−∞，14)∪(54，+∞)C ．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D ．（﹣1，17）【解答】解：依题意，函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，则f （4）＝f （0）＝2，故f （4x ﹣1）＞2⇔0＜4x −1＜4⇔14＜x ＜54， 故选：A ．7．已知向量a →，b →满足|a →|=6，|b →|=2，且3a →−2b →在b →方向上的投影为4，现有如下说法： ①a →⋅b →=83；②向量a →与b →夹角的余弦值为49；③(3a →−4b →)⊥b →，则其中说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：依题意对于①，由于：(3a →−2b →)⋅b→|b →|=3a →⋅b →−2b →2|b →|=4，即a →⋅b →=163，故①错误； 对于②由3a →⋅b →=16，即3×6×2×cos θ＝16，得cosθ=49，故②正确； 对于③(3a →−4b →)⋅b →=3a →⋅b →−4b →2=0， 故(3a →−4b →)⊥b →，故③正确， 故选：C ．8．已知函数f(x)=√3sin(3x −π4)，x ∈(π2，5π6)，则函数f （x ）的值域为（ ） A ．(−√3，√62) B ．[−√3，√62)C ．(−√62，√62) D ．[−√62，√62) 【解答】解：当x ∈(π2，5π6)时，3x ∈(3π2，5π2)， 故3x −π4∈(5π4，9π4)， 故sin(3x −π4)∈[−1，√22)， 故f(x)∈[−√3，√62)， 故选：B ．9．若关于x 的不等式x 2﹣mlnx ﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−∞，3ln2]B ．(−∞，8ln3]C ．（﹣∞，e 2﹣1]D ．[3ln2，8ln3]【解答】解：依题意，x 2−1lnx≥m ，令g(x)=x 2−1lnx ，x ∈[2，3]，则g ′(x)=2xlnx−x+1x (lnx)2，令m(x)=2xlnx −x +1x ，则m ′(x)=2lnx +1−1x 2，易知m '（x ）单调递增，m '（x ）≥m '（2）＞0，所以m （x ）单调递增，故m （x ）≥m （2）＞0，故g '（x ）＞0， 则g （x ）在[2，3]上单调递增，故g （3）≥m ，所以m ≤8ln3， 即实数m 的取值范围为(−∞，8ln3]， 故选：B ．10．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2AA 1＝2，E ，F 分别是线段A 1D 1，CC 1的中点，若E '是E 在平面BDD 1B 1上的射影，点F '在线段BB 1上，FF '∥BC ，则|E 'F '|＝（ ） A ．√21515B ．√21510C ．√43015D ．√43010【解答】解：过点E 作EE '⊥B 1D 1，垂足为E '，取BB 1的中点F '，连接FF '，则EF ′=√B 1E′2+B 1F′2=√(B 1D 1−D 1E′)2+B 1F′2=√(√51√512)2+(12)2=(9510)2+(12)2=√43010，故选：D ．11．设函数f （x ）={|lg(x −1)|，x ＞114x−1−12，x ≤1，若函数y ＝|3f （x ）﹣m |﹣4有5个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4，112) B ．[−52，+∞)C ．[−52，112) D ．[−52，4)【解答】解：作出函数f （x ）的图象如右所示， 令|3f （x ）﹣m |﹣4＝0，解得f(x)=m±43，则{0＜m−43＜12m+43≥12，解得4＜m ＜112，故选：A ．12．已知首项为3的正项数列{a n }满足（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）＝3（a n +1）（a n ﹣1），记数列{log 2(a n 2−1)}的前n 项和为S n ，则使得S n ＞440成立的n 的最小值为（ ）A ．23B ．22C ．20D ．21【解答】解：依题意，a n+12=4a n 2−3，故a n+12−1=4a n 2−3−1=4a n 2−4=4(a n 2−1)， 令b n =a n 2−1，所以b n +1＝4b n ，所以数列{b n }是等比数列，首项为b 1=a 12−1=8，公比为4，所以b n =b 1⋅4n−1=8×22n−2=22n+1，故log 2(a n 2−1)=log 222n+1=2n +1，S n =n(3+2n+1)2=n 2+2n ， 令n 2+2n ﹣440＞0，即（n +22）（n ﹣20）＞0，所以n ＞20或n ＜﹣22（舍去）， 故所求最小值为21， 故选：D ．二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为 y ＝x ． 【解答】解：依题意，y '＝e x +x 3+x （e x +3x 2）， 故切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝1，∴曲线y ＝x （e x +x 3）在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ． 故答案为：y ＝x ．14．已知实数x ，y 满足{y ≥4x ，x +2y +6≥0，y ≤4，z ＝x ﹣y 的最大值为 2 ．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知， 当直线z ＝x ﹣y 过点B 时，z 有最大值，联立{y =4x ，x +2y +6=0，解得{x =−23，y =−83，故z ＝x ﹣y 的最大值为2．故答案为：2．15．若直线l ：x ﹣3y ＝0与圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +16＝0交于M ，N 两点，则|MN |＝ 6√105． 【解答】解：依题意，圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4， 故圆心（4，2）到直线l ：x ﹣3y ＝0的距离d =10=10， ∴|MN|=2√r 2−d 2=2√4−25=6√105． 故答案为：6√105．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为 y ＝±√62x ． 【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M满足|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，点N 的坐标为（0，b ），M 在双曲线的左支， F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），△MNF 2的周长为|MN |+|MF 2|+|NF 2|＝|MN |+|MF 2|+a ， 由双曲线的定义可得|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|=√b 2+c 2， 当P 在左支上运动到M ，N ，F 1共线时， △MNF 2的周长取最小值：2√b 2+c 2+2a ，△MNF 2的周长的最小值为实轴长的3倍，可得2√b 2+c 2+2a ＝6a ，可得：2b 2＝3a 2，ba =√62，双曲线C 的渐近线方程为：y ＝±√62x ．故答案为：y ＝±√62x ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为14．分数 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140）频数4050706080m50（1）求m 的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率． 【解答】解：（1）依题意，m+50350+m=14，解得m ＝50.2．（2）依题意，成绩在[70，80）的学生抽取2人，记为A ，B ，成绩在[110，120）的学生抽取4人，记为a ，b ，c ，d ，则任取2人，所有的情况为： （A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15种， 其中满足条件的为：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），共9种， 故所求概率P =915=35． 18．四棱锥A ﹣BCED 中，DE ∥BC ，∠BCE ＝90°，AE ⊥ED ，AE ＝EC ，BC ＝CD ，DE =12BC ． （1）求证：BC ⊥AC ；（2）若AB ＝4，AB 与平面AEC 所成的角为45°，求三棱锥A ﹣BCE 的体积．【解答】解：（1）因为∠BCE ＝90°，故BC ⊥EC ， 又BC ∥DE ，故DE ⊥EC ，又AE ⊥ED ，而EC ∩AE ＝E ，故DE ⊥平面AEC ，即BC ⊥平面AEC ， 因为AC ⊂平面AEC ，故BC ⊥AC ； （2）因为DE ∥BC ，由（1）可知，DE ⊥平面AEC ，所以BC ⊥平面AEC ，故AB 与平面AEC 所成的角即为∠BAC ， 在 Rt △BCA 中，∠BAC ＝45°，AB ＝4，所以，BC =CA =2√2， 故CD =2√2，DE =√2，故CE =√6， 故S △ACE =12×2√2×√(√6)2−(√2)2=2√2， 故V 三棱锥A−BCE =V 三棱锥B−ACE =13×2√2×2√2=83． 19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√13，且sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b．（1）求△ABC 外接圆的半径； （2）若c ＝3，求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）∵sinAcosC+cosAsinCc+b−a=sinC+sinAa−b，∴sin(A+C)c+b−a=sinC+sinAa−b =sinB c+b−a ，由正弦定理可得，c+a a−b=b c+b−a，所以（a ﹣b ）b ＝（c +a ）（c +b ﹣a ）， 整理可得，c 2+b 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得，cos A =c 2+b 2−a 22bc =−12所以A =2π3， 由正弦定理可得2R =√1332=2√393，即外接圆半径R =√393； （2）由c 2+b 2﹣a 2＝﹣bc ，a =√13，c ＝3可得，9+b 2﹣13＝﹣3b ， 解可得，b ＝1， 所以S △ABC =12bcsinA =12×1×3×√32=3√34． 20．已知数列{a n }满足2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{3na n}的前n 项和S n ．【解答】解：（1）2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣3）a n ＝4n ． n ＝1时，2a 1＝4，解得a 1＝2，∴n ≥2时，2a 1+7a 2+12a 3+…+（5n ﹣8）a n ﹣1＝4（n ﹣1）． ∴（5n ﹣3）a n ＝4． ∴a n =45n−3． （2）3n a n=(5n−3)⋅3n4，∴数列{3na n }的前n 项和S n =14[2×3+7×32+12×33+……+（5n ﹣3）•3n ]，3S n =14[2×32+7×33+12×34+……+（5n ﹣8）•3n +（5n ﹣3）•3n +1]，∴﹣2S n =14[6+5（32+33+……+3n ）﹣（5n ﹣3）•3n +1]=14[6+5×9(3n−1−1)3−1−（5n ﹣3）•3n +1]．∴S n =(10n−11)⋅3n+1+3316．21．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且点M 满足PM →=MQ →． （1）若点M （1，√34），求直线l 的方程； （2）若直线l 过点F 2且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l ′与y 轴交于点A （0，t ），求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意点M 满足PM →=MQ →，可得M 是PQ 的中点． 设P （x ，y ），Q （x '，y '），则x +x '＝2，y +y '=√32，∵点P ，Q 在椭圆C 上，∴{x 24+y 23=1x′24+y′23=1， 两式相减，得(x+x′)(x−x′)4+(y+y′)(y−y′)3=0，∴k =y−y′x−x′=−3(x+x′)4(y+y′)=−√3， ∴直线l 的方程为：y −√34=−√3（x ﹣1），即4√3x +4y ﹣5√3=0． （2）由题意，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， ∵M 是PQ 的中点，∴M （x 1+x 22，y 1+y 22）．①当直线l 斜率不存在时，直线l 的直线方程为：x ＝1．此时P （1，√32），Q （1，−√32），M （1，0）． 直线l ′：y ＝0，A （0，0） ∴t ＝0．②当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，（k ≠0），则 直线l ：y ＝k （x ﹣1）． 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，整理，得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．则△＝64k 4﹣4（4k 2+3）（4k 2﹣12）＝144（k 2+1）＞0． x 1+x 2=8k24k 2+3，x 1•x 2=4k 2−124k 2+3．∴x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 1+y 22=k(x 1−1)+k(x 2−1)2=k （x 1+x 22−1）＝k （4k 24k +3−1）=−3k 4k 2+3．∴点M 坐标为（4k 24k +3，−3k4k 2+3）．∵直线l ′与直线l 互相垂直， ∴直线l ′的斜率为−1k ．直线l ′的直线方程：y +3k4k 2+3=−1k •（x −4k24k 2+3）．将A （0，t ）代入直线l ′的直线方程，可得t +3k4k 2+3=−1k •（−4k24k 2+3）， 解得t =k4k 2+3．（i ）当k ＞0时，t =k4k 2+3=14k+3k， ∵4k +3k ≥2√4k ⋅3k =4√3．当且仅当4k =3k ，即k =√32时，等号成立． ∴0＜t =14k+3k≤14√3=√312．（ii ）当k ＜0时，t =k4k 2+3=14k+3k =−14(−k)+3−k ， ∵4（﹣k ）+3−k ≥2√4(−k)⋅3−k =4√3．当且仅当4（﹣k ）=3−k ，即k =−√32时，等号成立．∴−√312=143≤t=−14(−k)+3−k＜0．综上所述，可知实数t的取值范围为[−√312，√312]．22．已知函数f（x）＝lnx+m（x﹣1）2．（1）若函数f（x）在[2，4]上单调递减，求实数m的取值范围．（2）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意，f′(x)=2m(x−1)+1 x，因为函数f（x）在[2，4]上单调递减，所以f'（x）≤0在[2，4]上恒成立，故2m≤(1−x2+x)min，而1−x2+x =1−(x−12)2+14，故当x∈[2，4]时，1−x2+x∈[−12，−112]，故2m≤−12，解得m≤−14，即实数m的取值范围为(−∞，−14 ]；（2）由（1）可得，f′(x)=2mx2−2mx+1x，x∈(0，+∞)，①若m＝0，则f′(x)=1x＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若m≠0，则函数y＝2mx2﹣2mx+1的△＝4m2﹣8m＝4m（m﹣2），若m＜0或m＞2，则△＞0，令2mx2﹣2mx+1＝0，解得x=m±√m(m−2)2m，记x1=m−√m(m−2)2m，x2=m+√m(m−2)2m，其中x1+x2=1，x1x2=12m，②若0＜m≤2，则△≤0，故当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③若m＜0，则x1+x2＝1，x1x2＜0，其中x1＞0＞x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；④若m＞2，则x1+x2＝1，x1x2＞0，其中0＜x1＜x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当0≤m≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，函数f（x）在(0，m−√m(m−2)2m)上单调递增，在(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递减；当m＞2时，函数f（x）在(0，m−√m(m−2)2m)，(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递增，在(m−√m(m−2)2m，m+√m(m−2)2m)上单调递减．。
2020年高考模拟试卷江西省名师联盟高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{﹣2，1} C．{1，2} D．∅2．设i为虚数单位，，则|z|＝（）A．1 B．C．D．3．若，b＝3log83，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b4．斐波那契数列{a n}满足：a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论错误的是（）A．B．a1+a2+a3+…+a n＝a n+2﹣1C．a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝a2n﹣1D．4（c n﹣c n﹣1）＝πa n﹣2•a n+15．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．数列{a n}，{b n}为等差数列，前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．7．已知α，β∈（，π），sinα＝，cos（α+β）＝，则β＝（）A．B．C．D．8．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A．2B．2C．D．29．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A．25 B．35 C．75 D．10010．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b＝4，a sin A+4b sin B ＝6a sin B sin C，则△ABC的面积取得最小值时有c2＝（）A．5+B．5+C．5﹣D．5﹣11．已知双曲线C：x2﹣＝1，过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M，N两点，交x 轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当＝λ1＝λ2（λ1，λ2≠0），且λ1+λ2＝﹣时，点Q的坐标为（）A．（±，0）B．（，0）C．（±，0）D．（，0）12．已知函数f（x）＝，当x∈（0，π）时，不等式f（x sin x﹣1）+f（cos x﹣a）≤0恒成立，则整数a的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是．14．已知向量，的夹角为，且||＝，||＝2，则（+）•（﹣2）＝．15．四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝λa n﹣2，其中λ为常数，若a n b n＝13﹣n，则数列{b n}中的项的最小值为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}是等比数列，且a1＝3，a3＝7．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．20．已知O为坐标原点，椭圆+x2＝1的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点．（1）以AB为直径的圆与x＝相切，求该圆的半径；（2）在y轴上是否存在定点P，使得•为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x ﹣y﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线C1和C2的普通方程；（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（2）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值为t．若t+3b＝3，求的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{﹣2，1} C．{1，2} D．∅【分析】首先转化B＝{﹣1，2}，然后得A∩B＝{﹣1，2}．解：∵B＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故选：A．2．设i为虚数单位，，则|z|＝（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，然后由复数模的公式计算得答案．解：＝，则|z|＝．故选：D．3．若，b＝3log83，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵＝，b＝3log83＝log23＞＝，＜（）0＝1，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：D．4．斐波那契数列{a n}满足：a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论错误的是（）A．B．a1+a2+a3+…+a n＝a n+2﹣1C．a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝a2n﹣1D．4（c n﹣c n﹣1）＝πa n﹣2•a n+1【分析】由题意，a1＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，代入验证可得结论．解：由题意，a1＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，∴a1+a3＝3≠a4﹣1，a1+a3+a5＝8≠a6﹣1，故选：C．5．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在（0，π）上f（x）的符号，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，对于f（x）＝sin x•，有f（﹣x）＝sin（﹣x）•＝sin x •＝f（x），即函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、C，又由在（0，π）上，sin x＞0，＞0，有f（x）＞0，则函数f（x）＞0，据此排除D；故选：B．6．数列{a n}，{b n}为等差数列，前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简，结合条件求出答案即可．解：因为{a n}，{b n}为等差数列，且，所以＝＝＝＝＝，故选：A．7．已知α，β∈（，π），sinα＝，cos（α+β）＝，则β＝（）A．B．C．D．【分析】利用两角和差的三角公式进行转化，先求出cosβ的值即可．解：由于α，β∈（，π），∴α+β∈（π，2π），∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝﹣，cosα＝﹣，∴cosβ＝cos[（α+β﹣α）]＝cos（α+β）cosα）+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×＝＝﹣，∴β＝．故选：B．8．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A．2B．2C．D．2【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出侧面积．解：由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P﹣ABC，故AC＝1，PA＝2，，，，∴，，，∴该多面体的侧面最大面积为．故选：B．9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A．25 B．35 C．75 D．100【分析】甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1，求出丙层所占的比例为＝0.1，由此能求出应从丙层中抽取的个体数．解：因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1，所以丙层所占的比例为＝0.1，所以应从丙层中抽取的个体数为0.1×250＝25，故选：A．10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b＝4，a sin A+4b sin B ＝6a sin B sin C，则△ABC的面积取得最小值时有c2＝（）A．5+B．5+C．5﹣D．5﹣【分析】运用正弦定理和面积公式可得，a2+4b2＝12S，运用基本不等式，可得a＝2，b ＝1，S取得最小值，求得ainC，再由同角的平方关系，求得cos C，再由余弦定理，即可得到所求值．解：由正弦定理，a sin A+4b sin B＝6a sin B sin C即为a2+4b2＝6ab sin C，又S＝ab sin C，即有a2+4b2＝12S，由于a+2b＝4，即有a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝16﹣4ab，即有4ab＝16﹣12S，由4ab≤2（）2＝8，即有16﹣12S≤8，解得S≥．当且仅当a＝2b＝2，取得等号．当a＝2，b＝1，S取得最小值，sin C＝，（C为锐角），则cos C＝＝．则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4+1﹣2×2×1×＝5﹣．故选：D．11．已知双曲线C：x2﹣＝1，过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M，N两点，交x 轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当＝λ1＝λ2（λ1，λ2≠0），且λ1+λ2＝﹣时，点Q的坐标为（）A．（±，0）B．（，0）C．（±，0）D．（，0）【分析】由题意设直线l的方程及M，N的坐标，可得Q的坐标，由当＝λ1＝λ2（λ1，λ2≠0），求出λ1，λ2所得的方程，进而可得λ1，λ2是方程16+32x+（16﹣k2）x2﹣＝0的两根，求出两根之和，再由可得k的值，进而得出Q的坐标．解：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，由题意设l的方程为y＝kx+4，M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（﹣，0）．又＝λ1，∴（﹣，﹣4）＝λ1（x1+，y1），故，得，∵M（x1，y1）在双曲线C上，∴﹣﹣1＝0，整理得16+32λ1+（16﹣k2）λ12﹣＝0，同理得16+32λ2+（16﹣k2）λ22﹣＝0．若16﹣k2＝0，则直线l过双曲线C的顶点，不合题意，∴16﹣k2≠0，∴λ1，λ2是方程16+32x+（16﹣k2）x2﹣＝0的两根，∴λ1+λ2＝＝﹣，∴k2＝9，此时△＞0，∴k＝±3，点Q的坐标为（，0）．故选：A．12．已知函数f（x）＝，当x∈（0，π）时，不等式f（x sin x﹣1）+f（cos x﹣a）≤0恒成立，则整数a的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】判断f（x）为奇函数，且为增函数，由题意可得f（sin x﹣1）≤f（a﹣cos x），即x sin x+cos x≤a+1，令g（x）＝x sin x+cos x，求得导数和单调性，可得最值，进而得到所求范围和最小值．解：由题意知函数f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，又f（x）＝1﹣，可得f（x）为增函数，不等式f（x sin x﹣1）+f（cos x﹣a）≤0恒成立，等价于f（x sin x﹣1）≤﹣f（cos x﹣a），得f（sin x﹣1）≤f（a﹣cos x），即x sin x+cos x≤a+1，令g（x）＝x sin x+cos x，g′（x）＝x cos x，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当＜x＜π时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝时，g（x）取极大值也是最大值，最大值为g（）＝，所以1+a≥，得a≥﹣1．又a为整数，则a的最小值为1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量x，y满足约束条件，若z＝2x﹣y，则z的取值范围是（﹣5，3] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．解：由图可知z A＜z≤Z B．∵Z A＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，Z B＝2×1﹣（﹣3），∴z的取值范围为（﹣5，3]．故答案为：（﹣5，3]14．已知向量，的夹角为，且||＝，||＝2，则（+）•（﹣2）＝﹣2 ．【分析】直接展开求解即可．解：依题有＝．故答案为：﹣2．15．四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为4π．【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．解：如图，在四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，可得∠BCD＝90°，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为1．其表面积为4π×12＝4π．故答案为：4π．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝λa n﹣2，其中λ为常数，若a n b n＝13﹣n，则数列{b n}中的项的最小值为﹣．【分析】根据题意，数列的S n＝λa n﹣2中，令n＝1可得a1＝S1＝λa1﹣2，即2＝2λ﹣2，解可得λ＝2，即可得S n＝2a n﹣2，据此分析可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，变形可得a n＝2a n﹣1，则数列{a n}是首项为a1＝1，公比为2的等比数列，可得数列{a n}的通项公式，又由a n b n ＝13﹣n，则b n＝，据此分析可得答案．解：根据题意，数列{a n}的满足a1＝2，S n＝λa n﹣2，当n＝1时，有a1＝S1＝λa1﹣2，即2＝2λ﹣2，解可得λ＝2，则S n＝2a n﹣2，①则有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，②①﹣②：a n＝2a n﹣2a n﹣1，变形可得a n＝2a n﹣1，则数列{a n}是首项为a1＝2，公比为2的等比数列，则a n＝2n，又由a n b n＝13﹣n，则b n＝，当n≤13时，b n≥0，当n≥14时，b n＜0，且{b n}为递增数列，则当n＝14时，b n取得最小值，此时b14＝﹣；故答案为：﹣．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}是等比数列，且a1＝3，a3＝7．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列．【分析】（1）数列{}是公比为q（q＞0）的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式；（2）求得＝＝（﹣），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．解：（1）证明：数列{}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1＝3，a3＝7．可得2＝2•q2＝8q2＝128，解得q＝4，即有＝q＝4，即a n﹣a n﹣1＝2，可得数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，可得a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）＝＝（﹣），则数列＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E﹣ABC＝S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG＝AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，∴AB＝，∴V E﹣ABC＝S△ABC•AA1＝×（××1）×2＝．19．某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图求出x的值，再利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表估计平均数即可；（2）先求出抽取的6人中第3，4，5组的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．解：（1）因为（0.01+0.07+0.06+x+0.02）×5＝1，所以x＝0.04，所以成绩的平均值为+0.10×＝87.25；（2）第3组学生人数为0.06×5×40＝12，第4 组学生人数为0.04×5×40＝8，第5组学生人数为0.02×5×40＝4，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1．第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4 组的2 人分别记为B1，B2，第5 组的1 人记为C，则从中选出2人的基本事件为共 15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M，则事件M包含的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），共6个，所以P（M）＝．20．已知O为坐标原点，椭圆+x2＝1的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点．（1）以AB为直径的圆与x＝相切，求该圆的半径；（2）在y轴上是否存在定点P，使得•为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】设直线l的方程y＝kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程得（k2+2）x2﹣2kx﹣1＝0，则△＝4k2+4k2+8＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2＝，y1y2＝（kx1﹣1）（kx2﹣1）＝．（1）|AB|＝＝2，线段AB的中点的横坐标为，以AB为直径的圆与x＝相切，所以，即，解得k＝，此时|AB|＝2×＝，进而求得圆的半径．（2）设P（0，y0），＝x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝x1x2+y1y2﹣y0（y1+y2）+y，要为定值，则由，得y0＝﹣，＝﹣，进而得P的坐标．解：由题意可设直线l的方程为y＝kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得（k2+2）x2﹣2kx﹣1＝0，则△＝4k2+4k2+8＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2＝，y1y2＝（kx1﹣1）（kx2﹣1）＝．（1）|AB|＝＝2，线段AB的中点的横坐标为，∵以AB为直径的圆与x＝相切，∴，解得k＝，此时|AB|＝2×＝，∴圆的半径为．（2）设P（0，y0），＝x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝x1x2+y1y2﹣y0（y1+y2）+y，＝＝，由，得y0＝﹣，＝﹣，∴y轴上存在定点P（0，﹣），使得为定值．21．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x ﹣y﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．【分析】（1）通过曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，转化求解a，b即可．（2）通过恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．转化求解函数的最值推出结果即可．解：（1）由f（x）＝x（lnx+a）+b，得f'（x）＝lnx+a+1．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，所以f'（1）＝a+1＝2，f（1）＝a+b＝1，解得a＝1，b＝0．（2）由（1）知f（x）＝x（lnx+1），则x∈（1，+∞）时，f（x）≥m（x﹣1）恒成立，等价于x∈（1，+∞）时，恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以存在x0∈（3，4）使h（x0）＝0．且x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，所以，因为x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2，所以，所以m≤x0∈（3，4），即正整数m的最大值为3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线C1和C2的普通方程；（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；由曲线．能求出曲线C2的普通方程．（2）设M（2cos），则|MN|的最小值是M到直线C2的距离d的最小值，由此能求出|MN|的最小值．解：（1）∵曲线，∴曲线C1的普通方程为＝1，∵曲线．∴曲线C2的普通方程为＝0．（2）∵曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，∴设M（2cos），∴|MN|的最小值是M到直线C2的距离d的最小值，∴d＝．∴d min＝＝，∴|MN|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4﹣|x+2|的解集；（2）设a＞0，b＞0，且f（x）的最小值为t．若t+3b＝3，求的最小值．【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝1，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，原不等式可化为2|x+2|+|x﹣1|≥4，①当x≤﹣2时，不等式①可化为﹣2x﹣4﹣x+1≥4，解得，此时；当﹣2＜x＜1时，不等式①可化为2x+4﹣x+1≥4，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；当x≥1时，不等式①可化为2x+4+x﹣1≥4，解得，此时x≥1，综上，原不等式的解集为．（2）由题意得，f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|≥|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3a，因为f（x）的最小值为t，所以t＝3a，由3a+3b＝3，得a+b＝1，所以＝，当且仅当，即，时，的最小值为．。
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)(有解析)
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．8.若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=______．9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)，则关于x的不等式xf(1)<ef(ln x)的解集为_____．10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____．11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =13则1a+2b +12a+b 的最小值为 ．13. 若函数f(x)=16(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ；(Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积．17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值．18. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)离心率为12，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围．19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+427．(1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围；(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23．27【答案与解析】1.答案：{0,1，2，3}解析：先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，∴A∪B={0,1，2，3}．故答案为：{0,1，2，3}．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：5解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5．4.答案：2解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+11+95=9，故方差s2=15[(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(7−9)2]=2，故答案为2．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q3=9，解可得q=2；又由a1(1−q 3)1−q=7，解可得a1=1．故答案为17.答案：√5解析：解：取双曲线的一条渐近线：y=ba x，联立{y2=2pxy=bax解得{x=2pa2b2y=2pab，故A(2pa2b2,2pab)．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴p2+2pa2b=p，化为a2b=14．∴双曲线C2的离心率e=ca =√1+b2a2=√5．故答案为√5．取双曲线的一条渐近线：y=bax，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．8.答案：4√29解析：解：∵cosα=13(0<α<π)，∴sinα=2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√23×13=4√29，故答案为：4√29．由题意可得sinα=2√23，再根据sin2α=2sinαcosα，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．9.答案：(1,e)解析：本题考查的是利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题．解：设函数g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=ex f′(x)−e x f(x)(e x)2=f′(x)−f(x)e x<0，所以g(x)=f(x)e x为(0,+∞)上的单调递减函数．当x>0时，不等式xf(1)<ef(ln x)等价于f(ln x)x >f(1)e，即f(ln x)e ln x>f(1)e，所以0<ln x<1，即1<x<e．故答案为(1,e)．10.答案：2解析：本题考查对数函数的单调性，属于基础题．分a >1和0<a <1讨论，结合对数函数的性质即可求解． 解：当a >1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是增函数， 所以，解得a =2;当0<a <1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是减函数， 所以，无解;综上a =2， 故答案为2 ．11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0， ∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根， 则{g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134]12.答案：4 解析：本题考查柯西不等式，结合已知条件将原式变形，即1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)，进而运用柯西不等式求解．解：因为a+b=13，所以1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)≥(√a+2b·a+2b +√2a+b2a+b)2=4，当且仅当√a+2b√2a+b =√2a+b√a+2b，即a=b时取等号．故答案为4．13.答案：3316．解析：本题考察了导数与函数的单调性，根据单调性求最值即可。
江西省名校学术联盟2020届高三教学质量检测考试(二)数学(文)试卷(含答案)
江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合}0|{2<-=x x x A ，}02|{2≤-+=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．)(B C A R ⊆D ．R B A =2.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若5253=S S ，则=126a a （ ） A ．4 B ． 2 C ． 41 D ．21 3.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=+3),3(log 3,22)(212x x x x x f m ，其中R m ∈，则=+)43(m f （ ）A ． m 2B ．6C ． mD ． m 2或64.函数25ln )(xx x f =的单调递增区间为（ ） A ． ),0(e B ． ),(e -∞ C. ),0(e D ．),(+∞e5.已知R n m ∈,，则“1||||>+n m ”是“1-<n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．π3107B ．π33332+ C. π9932+ D ． π33316+ 7. 将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ）A ．65πB ．3π- C. 2π D ． 6π 8.已知正方形ABCD 如图所示，其中BD AC ,相较于O 点，J I H G F E ,,,,,分别为DO AO AD ,,，CO BO BC ,,的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A ．2)22(1π-+B ．4)224(1π-+ C. 4)246(1π-+ D ．4)226(1π-+ 9.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，点P 是抛物线C 上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为A ，准线l 与x 轴的交点设为B ，若030=∠BAF ，且APF ∆的面积为312，则以PF 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．12)3()32(22=++-y x 或12)3()32(22=-+-y xB ．12)32()3(22=++-y x 或12)32()3(22=-+-y xC. 8)3()32(22=++-y x 或8)3()32(22=-+-y xD ．8)32()3(22=++-y x 或8)32()3(22=-+-y x10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． ]31,0( B ．]21,0( C. ]32,21[ D ． )1,21[ 11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，过点1F 作圆Ω：4222a y x =+的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足a NF NF 2||||21=-，设O 为坐标原点，若OF 21=+，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±=B ．x y 3±= C. x y 26±= D ．x y 6±= 12. 已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法： ①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(；②不等式2)(>x f 的解集为)4,43()3,( --∞； ③函数1)21(--+=xx f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个 C.2个 D ．3个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6536=S S ，则数列{}n a 的公比为 ． 14.已知单位向量,满足||3|2|-=+，则,夹角的余弦值为 ．15. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤--44201y y x y x ，则y x z -=3的取值范围为 ．16.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac A b B 4cos 5cos 5+=，则=-B A A AA tan )2sin 2(cos 2cos tan 222 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为)6,5,4,3,2,1(,=i y x i i ，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足i i y x >的概率.18. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面ABCD .（1）证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面BDF ；（2）求EB 的长.19. 已知数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1、公比为q 的等比数列.（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积；（2）若点N M ,满足NC MN BM ==32||=BM ，求AM 的值.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为21，且椭圆C 过点)23,1(-，直线l 过椭圆C 的右焦点且与椭圆C 交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点)0,4(P ，求证：若圆)0(:222>=+Ωr r y x 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.已知函数x m e x f x ln )(-=，),0(e m ∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若2=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线斜率；（2）证明：当)1,(em x ∈时，函数)(x f 有极小值，且极小值大于m .试卷答案1.【答案】A【解析】依题意，{}{}2001A x x x x x =-<=<<， {}{}22021B x x x x x =+-≤=-≤≤，故A B ⊆，故选A.2.【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113325105a d a d +=+，故1a d =，故61212a a =，故选D. 3.【答案】A【解析】依题意，343m +>，故()234log 42m m f m +==，故选A.4.【答案】C 【解析】依题意，()522ln 5ln x x f x x x ==，故()24312ln 12ln '55x x x x x f x x x ⋅--=⋅=⋅，令()'0f x >，解得0x <<，故选C.5.【答案】B 【解析】若1m n +>，可令12,2m n ==，可知充分性不成立；若1n <-，则1n >，则1m n n +≥>，故必要性成立，故“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件，故选B. 6.【答案】B【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积221132442333233333V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选B. 7.【答案】D【解析】依题意，()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，故向右平移3π个单位后，得到2cos 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故()232Z k k ππϕπ-=-+∈，则()6Z k k πϕπ=+∈，观察可知，故选D.8.【答案】C【解析】依题意，不妨设2AO =，则四边形EFOG 与四边形HIOJ 的面积之和为2S =；两个内切圆的面积之和为((2'2212S ππ=⨯⨯=-，故所求概率P =42461π）（-+=，故选C. 9.【答案】A【解析】作出辅助图形如下所示，因为030BAF ∠=，故060AFB PAF ∠==∠，由抛物线的定义可知PA PF =，故APF ∆为等边三角形，因为APF ∆的面积为，故PF PA AF ===，而12BF AF p ===，故点P 的横坐标为2BF PA -=，代入2y =中，解得6y =±，故所求圆的标准方程为(()22312x y -+±=，故选A.10.【答案】B【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND 1，从而当210≤<BM 时，截面为四边形，当12BM >时，截面为五边形，故线段BM 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0，故选B.11.【答案】C【解析】因为12ON OF OM +=uuu r uuu r uuu r ，故1ON OM OM OF -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1MN F M =uuu r uuu u r ，故点M 为线段1F N 的中点；连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且,,21N F OM a OM ⊥=故22NF OM a ==，且21F N F N ⊥；因为122NF NF a -=，故点N 在双曲线C 的右支上，所以13NF a =，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得，2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得c a ==b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C.。
2020年全国高考仿真模拟文科数学试卷(二)解析版
四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四
个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十
-1-
尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )
11．若 x，y，z∈R＋，且 3x＝4y＝12z，x＋y∈(n，n＋1)，n∈N，则 n 的值是( ) z
2
3
6
12
答案 C
解析 ∵等边三角形 ABC 的边长为 2，∴A→B·A→C＝B→A·B→C＝C→A·C→B＝2，
-3-
又A→E＝λA→B，A→F＝μA→C，
∴E→C＝E→B＋B→C＝B→C＋(1－λ)A→B，F→B＝F→C＋C→B＝(1－μ)A→C－B→C，
∴E→B·F→C＝(1－λ)·A→B·(1－μ)A→C＝(1－μ)(1－λ)A→B·A→C ＝2(1－μ)(1－λ)＝2， 3
7．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则 Aω的可能取值 为( )
-2-
A.π
B．π
C.3π
象关于 y 轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ 2
＝π，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0， 2 ∴cosω·1e＝cos3ω·e13＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则 Aω＝π.故选 B.
2020 年全国高考仿真模拟试卷(二)
数学（文科）解析版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=2−i ，z 2=12−i ，则|z 1z 2|=( ) A. 52 B. 5 C. 254 D. 252. 设集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {0}C. {−1,0，1}D. [−1,1]3. 已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则不等式f(x)>2的解集为( ) A. (1,2)⋃(3,+∞)B. (√10,+∞)C. (1,2)⋃(√10,+∞)D. (1,2)5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A. 3B. −3C. 7D. −76. 已知▵ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，sinA =2cos2C ，则角A 等于( )A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 13 B. −2√63 C. √63 D. 2√238. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29. 函数f(x)=e x x 的图象大致为( )A. B. C. D.10. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( ) A. 23 B. 2√33 C. 43 D. 4√3311. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳，19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为(参考数据sin37∘=35)A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米 12. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞)B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=3，则|PF 2|的值为______．16. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6，E 为PD中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC // α，则PM PA =________.四边形EMBN 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足____________.(从①S 10=5(a 10+1))；②a 1,a 2,a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点．(Ⅰ)求证：平面EAC⊥平面PBC；(Ⅱ)若PB=2，求三棱锥P−ACE的体积．20.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x24+y22=1，其左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为(1,0).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求抛物线E的极坐标方程；(Ⅱ)过点A(3,2)倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|=2|AM|，求tanα．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查复数的模，属于基础题．根据复数模的性质可得结果．解：|z 1z 2|=|z 1||z 2|=√22+(−1)2⋅√(12)2+(−1)2=√5×√52=52． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A ={x ∈Z|x 2⩽1}={−1,0,1}，B ={−1,0,1,2}，∴A ∩B ={−1,0，1}，故选C ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解：空间内两条不同的直线a ，b ，若，⇒与b 没有公共点，若“a 与b 没有公共点，不能推出“a // b ”因为a ，b 可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件，故选A ．4.答案：C解析：本题考查分段函数，不等式求解．根据已知函数解析式分段求解f(x)>2即可． 解：函数则不等式f(x)>2即为{2e x−1>2x <2或，解得1<x <2，或x >√10即原不等式的解集为．故选C ． 5.答案：D解析：解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D ．由已知结合函数的对称性可得f(x +2)=f(−x +2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求． 本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．6.答案：B解析：本题考查了正弦定理及二倍角公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由正弦定理可得，sinA =2sinC ，进而利用二倍角公式求出sinC =12，则可得sin A ，结合A 的范围，可得角A 的大小．解：由正弦定理，得a sinA =c sinC ，又a =2c ，则sinA =2sinC ，∵sin A =2cos 2C ，。
2020-2021学年江西省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
江西省高考数学二模试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A={y|y=X— 2}, B={x|y=log (3 —x),贝U ( ? U A) A B=( )A. {x|- 2<x< 3}B. {x|x0 - 2}C. {x|x< - 2}D. {x|x< 3}2.已知i为虚数单位，则尤丁的实部与虚部之积等于( )A.& B用C卷D D千3.九江气象台统计，5月1日滑阳区下雨的概率为白，刮风的概率为白，既刮风又ID下雨的概率为圉，设A为下雨，B为刮风，那么P (A|B)=( )A- i B 1 C- f D- i4. z\ABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若ssC=一—, bcosA+acosB=2则△ ABC的外接圆的面积为( )A. 4 冗B. 8 冗C. 9 冗D. 36 冗2 25.双曲线七-方二1 (a, b>0)离心率为、乃，左右焦点分别为R, F2, P为双曲线右支上一点，/ RPF2的平分线为l,点F I关于l的对称点为Q, |F2Q|=2,则双曲线方程为(A . y 2=i 6 .要得到函数y=sin (2x+^-)得图象，只需将y=sin2x 的图象( JA.向左平移-个单位B.向右平移-个单位 6 &C.向左平移耍个单位D.向左平移g 个单位 J J7 .北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即 枳之有隙”者，如 累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共 n 层，上底由a>b 个物体 组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层(即下底)由c>d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 S=r [ (2b+d) a+ (b+2d) 知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小 球的个数为(A. 83B. 84C. 85D. 868 .已知 a=log 0.a 4, b=log 43, c=0.3 2,则 a, b, c 的大小关系是( A. c<a<b B. b<a<c C. a< c< b D. a< b< c o 088 - ----nd 离 XVAXX XXYWAKr C k l J ooc'_"J _TB r_I ( I- -fl --- 1 J ooooc ' ■2 B. x 2- =12 2D .丁 y 2=i(c —a).已,则函数f （x） =1*2x的图象大致为（A. a i+x）（8+先（a o+ax。
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2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，0，2}B．{0，2}C．{0}D．{2}2．若x∈（3，6），则不等式x2﹣3x﹣10≥0成立的概率为（）A．B．C．D．3．若cos（+α）＝﹣，则cos2α＝（）A．B．C．D．4．现有如下命题：命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，则下列命题中的真命题是（）A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）5．已知正四面体A﹣BCD外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D．（﹣1，17）7．已知向量，满足，，且在方向上的投影为4，现有如下说法：①；②向量与夹角的余弦值为；③，则其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，则函数f（x）的值域为（）A．B．C．D．9．若关于x的不等式x2﹣mlnx﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，e2﹣1]D．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2AA1＝2，E，F分别是线段A1D1，CC1的中点，若E'是E在平面BDD1B1上的射影，点F'在线段BB1上，FF'∥BC，则|E'F'|＝（）A．B．C．D．11．设函数f（x）＝，若函数y＝|3f（x）﹣m|﹣4有5个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知首项为3的正项数列{a n}满足（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1）（a n﹣1），记数列的前n项和为S n，则使得S n＞440成立的n的最小值为（）A．23B．22C．20D．21二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y＝x（e x+x3）在点（0，0）处的切线方程为．14．已知实数x，y满足z＝x﹣y的最大值为．15．若直线l：x﹣3y＝0与圆C：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0交于M，N两点，则|MN|＝．16．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2a，若点N是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C的渐近线方程为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为．分数[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）频数4050706080m50（1）求m的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率．18．四棱锥A﹣BCED中，DE∥BC，∠BCE＝90°，AE⊥ED，AE＝EC，BC＝CD，DE ＝BC．（1）求证：BC⊥AC；（2）若AB＝4，AB与平面AEC所成的角为45°，求三棱锥A﹣BCE的体积．19．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，且＝．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c＝3，求△ABC的面积．20．已知数列{a n}满足2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣3）a n＝4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点M满足＝．（1）若点M（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点F2且不与x轴重合，过点M作垂直于l的直线l′与y轴交于点A（0，t），求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）＝lnx+m（x﹣1）2．（1）若函数f（x）在[2，4]上单调递减，求实数m的取值范围．（2）讨论函数f（x）的单调性．参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x∈N|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，0，2}B．{0，2}C．{0}D．{2}【分析】求解集合A，再计算即可．解：依题意，A＝{x∈N|﹣3＜x＜3}＝{0，1，2}，故A∩B＝{0，2}，故选：B．2．若x∈（3，6），则不等式x2﹣3x﹣10≥0成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出不等式的解集，再利用几何概型的概率公式计算即可．解：不等式x2﹣3x﹣10≥0可化为（x﹣5）（x+2）≥0，解得x≤﹣2或x≥5，利用几何概型的概率公式计算所求概率为P＝＝．故选：A．3．若cos（+α）＝﹣，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：依题意，，故．故选：B．4．现有如下命题：命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，则下列命题中的真命题是（）A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】直接利用命题的否定和三角函数的性质的应用求出结果．解：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（0，+∞），lnx0﹣x0≥0”，故命题为假；，其中k∈Z，故命题q为真；故（￢p）∧q为真，故选：C．5．已知正四面体A﹣BCD外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，求出外接球的半径，进一步得到以正四面体的棱为正方体的面对角线长，则答案可求．解：设外接球半径为R，则S＝4πR2＝12π，解得，将正四面体A﹣BCD恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，故，解得，故该正四面体的表面积为，故选：C．6．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）是偶函数，f（4）＝2，f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，则不等式f（4x﹣1）＞2的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣1）∪（17，+∞）D．（﹣1，17）【分析】利用函数的对称性与单调性建立不等式进行求解．解：依题意，函数f（x）的图象关于x＝2对称，则f（4）＝f（0）＝2，故f（4x﹣1）＞2⇔，故选：A．7．已知向量，满足，，且在方向上的投影为4，现有如下说法：①；②向量与夹角的余弦值为；③，则其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用向量的数量积和夹角公式的应用及向量垂直的充要条件的应用求出结果．解：依题意对于①，由于：，即，故①错误；对于②由，即3×6×2×cosθ＝16，得，故②正确；对于③，故，故③正确，故选：C．8．已知函数，则函数f（x）的值域为（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的定义域求出函数的值域．解：当时，，故，故，故，故选：B．9．若关于x的不等式x2﹣mlnx﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，e2﹣1]D．【分析】分离参数得，令，则m≤g（x）max，利用导数得到g（x）在[2，3]上单调递增，所以m≤g（3），从而求出m的取值范围．解：依题意，，令，则，令，则，易知m'（x）单调递增，m'（x）≥m'（2）＞0，所以m（x）单调递增，故m（x）≥m（2）＞0，故g'（x）＞0，则g（x）在[2，3]上单调递增，故g（3）≥m，所以m，即实数m的取值范围为，故选：B．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2AA1＝2，E，F分别是线段A1D1，CC1的中点，若E'是E在平面BDD1B1上的射影，点F'在线段BB1上，FF'∥BC，则|E'F'|＝（）A．B．C．D．【分析】过点E作EE'⊥B1D1，垂足为E'，取BB1的中点F'，连接FF'，在△B1E′F′中求解．解：过点E作EE'⊥B1D1，垂足为E'，取BB1的中点F'，连接FF'，则＝，故选：D．11．设函数f（x）＝，若函数y＝|3f（x）﹣m|﹣4有5个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】把y＝|3f（x）﹣m|﹣4有5个零点转化为，两个函数有5个交点；作出其简图，结合图象即可得到答案．解：作出函数f（x）的图象如右所示，令|3f（x）﹣m|﹣4＝0，解得，则，解得4＜m＜，故选：A．12．已知首项为3的正项数列{a n}满足（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1）（a n﹣1），记数列的前n项和为S n，则使得S n＞440成立的n的最小值为（）A．23B．22C．20D．21【分析】依题意，，故，令，利用等比数列的通项公式可得b n，可得，进而得出S n即可得出．解：依题意，，故，令，所以b n+1＝4b n，所以数列{b n}是等比数列，首项为，公比为4，所以，故，，令n2+2n﹣440＞0，即（n+22）（n﹣20）＞0，所以n＞20或n＜﹣22（舍去），故所求最小值为21，故选：D．二、填空题（将答案填写在题中的横线上）13．曲线y＝x（e x+x3）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．解：依题意，y'＝e x+x3+x（e x+3x2），故切线斜率k＝y′|x＝0＝1，∴曲线y＝x（e x+x3）在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．14．已知实数x，y满足z＝x﹣y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线z＝x﹣y过点B时，z有最大值，联立解得故z＝x﹣y的最大值为2．故答案为：2．15．若直线l：x﹣3y＝0与圆C：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0交于M，N两点，则|MN|＝．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长．解：依题意，圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，故圆心（4，2）到直线l：x﹣3y＝0的距离，∴．故答案为：．16．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2a，若点N是双曲线虚轴的一个顶点，且△MNF2的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C的渐近线方程为y＝±．【分析】判断M的位置，利用已知条件列出关系式，求出a、b的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2a，点N的坐标为（0，b），M在双曲线的左支，F1（﹣c，0），F2（c，0），△MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|＝|MN|+|MF2|+a，由双曲线的定义可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|＝，当P在左支上运动到M，N，F1共线时，△MNF2的周长取最小值：2+2a，△MNF2的周长的最小值为实轴长的3倍，可得2+2a＝6a，可得：2b2＝3a2，，双曲线C的渐近线方程为：y＝±．故答案为：y＝±．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为．分数[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）频数4050706080m50（1）求m的值；（2）若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率．【分析】（1）由古典概型得，由此能求出m．（2）成绩在[70，80）的学生抽取2人，记为A，B，成绩在[110，120）的学生抽取4人，记为a，b，c，d，利用列举法能求出任取2人，这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率．解：（1）依题意，，解得m＝50.2．（2）依题意，成绩在[70，80）的学生抽取2人，记为A，B，成绩在[110，120）的学生抽取4人，记为a，b，c，d，则任取2人，所有的情况为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15种，其中满足条件的为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），共9种，故所求概率．18．四棱锥A﹣BCED中，DE∥BC，∠BCE＝90°，AE⊥ED，AE＝EC，BC＝CD，DE ＝BC．（1）求证：BC⊥AC；（2）若AB＝4，AB与平面AEC所成的角为45°，求三棱锥A﹣BCE的体积．【分析】（1）先证明线面垂直，再证明线线垂直；（2）先判断出AB与平面AEC所成的角为∠BAC，再根据面积公式和体积公式求出即可．解：（1）因为∠BCE＝90°，故BC⊥EC，又BC∥DE，故DE⊥EC，又AE⊥ED，而EC∩AE＝E，故DE⊥平面AEC，即BC⊥平面AEC，因为AC⊂平面AEC，故BC⊥AC；（2）因为DE∥BC，由（1）可知，DE⊥平面AEC，所以BC⊥平面AEC，故AB与平面AEC所成的角即为∠BAC，在Rt△BCA中，∠BAC＝45°，AB＝4，所以，，故，，故，故，故．19．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，且＝．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c＝3，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理余弦定理及和差角公式进行化简即可求解A，然后再由正弦定理即可求解；（2）结合（1）中的三边关系时即可求解b，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵＝，∴＝，由正弦定理可得，，所以（a﹣b）b＝（c+a）（c+b﹣a），整理可得，c2+b2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得，cos A＝＝﹣所以A＝，由正弦定理可得2R＝＝，即外接圆半径R＝；（2）由c2+b2﹣a2＝﹣bc，a＝，c＝3可得，9+b2﹣13＝﹣3b，解可得，b＝1，所以S△ABC＝＝＝．20．已知数列{a n}满足2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣3）a n＝4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【分析】（1）2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣3）a n＝4n．n＝1时，2a1＝4，解得a1，n≥2时，2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣8）a n﹣1＝4（n﹣1），相减可得a n．（2）＝，利用错位相减法即可得出．解：（1）2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣3）a n＝4n．n＝1时，2a1＝4，解得a1＝2，∴n≥2时，2a1+7a2+12a3+…+（5n﹣8）a n﹣1＝4（n﹣1）．∴（5n﹣3）a n＝4．∴a n＝．（2）＝，∴数列的前n项和S n＝[2×3+7×32+12×33+……+（5n﹣3）•3n]，3S n＝[2×32+7×33+12×34+……+（5n﹣8）•3n+（5n﹣3）•3n+1]，∴﹣2S n＝[6+5（32+33+……+3n）﹣（5n﹣3）•3n+1]＝[6+5×﹣（5n ﹣3）•3n+1]．∴S n＝．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点M满足＝．（1）若点M（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点F2且不与x轴重合，过点M作垂直于l的直线l′与y轴交于点A（0，t），求实数t的取值范围．【分析】本题第（1）题由点M满足＝，可知M是PQ的中点．然后设P（x，y），Q（x'，y'），则x+x'＝2，y+y'＝，再将点P，Q坐标分别代入椭圆C方程，两式相减，化简整理可得直线l的斜率，再根据点斜式可得到直线l的方程；第（2）题先考虑斜率不存在时t的值，再考虑斜率存在时t的取值范围，设斜率为k，联立直线与椭圆方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理可得x1+x2＝，x1•x2＝．再根据点M坐标（，），代入计算可得点M坐标为（，﹣）．由题意易知直线l′的斜率为﹣．可列出直线l′的直线方程：y+＝﹣•（x﹣）．再将A（0，t）代入直线l′的直线方程，可得t关于k的表达式为t＝．再根据k＞0和k＜0两种情况分别讨论t的取值范围．最后综合可得t的取值范围．解：（1）由题意点M满足＝，可得M是PQ的中点．设P（x，y），Q（x'，y'），则x+x'＝2，y+y'＝，∵点P，Q在椭圆C上，∴，两式相减，得+＝0，∴k＝＝﹣＝﹣，∴直线l的方程为：y﹣＝﹣（x﹣1），即4x+4y﹣5＝0．（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M是PQ的中点，∴M（，）．①当直线l斜率不存在时，直线l的直线方程为：x＝1．此时P（1，），Q（1，﹣），M（1，0）．直线l′：y＝0，A（0，0）∴t＝0．②当直线l斜率存在时，设斜率为k，（k≠0），则直线l：y＝k（x﹣1）．联立，整理，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．则△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0．x1+x2＝，x1•x2＝．∴＝，＝＝k（﹣1）＝k（﹣1）＝﹣．∴点M坐标为（，﹣）．∵直线l′与直线l互相垂直，∴直线l′的斜率为﹣．直线l′的直线方程：y+＝﹣•（x﹣）．将A（0，t）代入直线l′的直线方程，可得t+＝﹣•（﹣），解得t＝．（i）当k＞0时，t＝＝，∵4k+≥2＝4．当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立．∴0＜t＝≤＝．（ii）当k＜0时，t＝＝＝﹣，∵4（﹣k）+≥2＝4．当且仅当4（﹣k）＝，即k＝﹣时，等号成立．∴﹣＝﹣≤t＝﹣＜0．综上所述，可知实数t的取值范围为[﹣，]．22．已知函数f（x）＝lnx+m（x﹣1）2．（1）若函数f（x）在[2，4]上单调递减，求实数m的取值范围．（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）因为函数f（x）在[2，4]上单调递减，所以f'（x）≤0在[2，4]上恒成立，故，利用二次函数的性质得到当x∈[2，4]时，，所以，从而解得实数m的取值范围；（2）先求出导函数f'（x），再对m分情况讨论，分别得到函数f（x）的单调性即可．解：（1）依题意，，因为函数f（x）在[2，4]上单调递减，所以f'（x）≤0在[2，4]上恒成立，故，而，故当x∈[2，4]时，，故，解得，即实数m的取值范围为；（2）由（1）可得，，①若m＝0，则，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若m≠0，则函数y＝2mx2﹣2mx+1的△＝4m2﹣8m＝4m（m﹣2），若m＜0或m＞2，则△＞0，令2mx2﹣2mx+1＝0，解得，记，，其中，②若0＜m≤2，则△≤0，故当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③若m＜0，则x1+x2＝1，x1x2＜0，其中x1＞0＞x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；④若m＞2，则x1+x2＝1，x1x2＞0，其中0＜x1＜x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当0≤m≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，函数f （x）在上单调递增，在上单调递减；当m＞2时，函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减．。