2018届一轮复习人教A版平面的基本性质 课件
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高考数学一轮复习-82-空间点-线-面的位置关系课件-新人教A
课堂总结
解析 (1)法一 如图， 取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB， 且 PM＝12AB，PN∥CD， 且 PN＝12CD， 所以∠MPN(或其补角)为
AB与CD所成的角．
则∠MPN＝60°或
∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，
深度思考 求异面直线所 成的角常采用“平移直线 法”，你是不是用的这种 方法？但还可以有一种不 错的方法：补形法．将该 三椎锥放在长方体中，不 妨用这种方法试一试本题 第(1)问？
第2讲 空间点、线、面的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解 有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题．
课堂总结
知识梳理
1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_两__点__在一个平面内，那么 这条直线在此平面内． (2)公理2：过_不__在__一__条__直__线__上__的三点，有且只有一个平 面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有_一__个__公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线．
(1)梯形可以确定一个平面．
(√)
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面．
( ×)
(3)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，
则a∥d.
(√ )
(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线． ( × )
课堂总结
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a， b为异面直线相矛盾． 答案 C
解析 (1)法一 如图， 取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB， 且 PM＝12AB，PN∥CD， 且 PN＝12CD， 所以∠MPN(或其补角)为
AB与CD所成的角．
则∠MPN＝60°或
∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，
深度思考 求异面直线所 成的角常采用“平移直线 法”，你是不是用的这种 方法？但还可以有一种不 错的方法：补形法．将该 三椎锥放在长方体中，不 妨用这种方法试一试本题 第(1)问？
第2讲 空间点、线、面的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解 有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题．
课堂总结
知识梳理
1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_两__点__在一个平面内，那么 这条直线在此平面内． (2)公理2：过_不__在__一__条__直__线__上__的三点，有且只有一个平 面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有_一__个__公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线．
(1)梯形可以确定一个平面．
(√)
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面．
( ×)
(3)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，
则a∥d.
(√ )
(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线． ( × )
课堂总结
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a， b为异面直线相矛盾． 答案 C
高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版
1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 答案：C
2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
答案：C
4．下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是________．(写出符合要求序号)
解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面．可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形． 答案：①②③
2．利用公理2可证明点共线，线共点等问题．
3．求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角， 可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”． 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角．
解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，
F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)，∴FD1·OE
＝3，∴cos θ＝
，
即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.
高三数一轮复习课件：第九章 平面解析几何. .ppt..
解：如图，因为 kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
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18
类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
2019年5月30日
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13
类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，
y＝
.
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4
2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
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类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，
y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
1.2.1平面的基本性质(1)(2014年人教A版数学必修二导学案)
）
例 3、把下列语句用集合符号表示，并画出直观图． （1）点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，点 A ， B 都在直线 a 上； （2）平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面 内且平行于直线 m ．
例 3、如图， ABC 中，若 AB，BC 在平面 内，判断 AC 是否在平面 内．
C． P , Q , PQ D． AB , AB , AB 3．为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？
4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？
/ /
4．平面 平面 l ，直线 a ，且 a 与 l 不平行，在 内作直线 b ，使 a， b 相交．
a l
5．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，画出平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线，并说明
/ /
A
B
C
【学后反思】
/ /
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课题:1.2.1 平面的基本性质（1）检测案
班级： 【课堂检测】 姓名： 学号： 第 学习小组
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上， l 在平面 外” ，正确的是（ ） A． A l ， l B． A l，l C． A l，l D． A l，l 2．下列叙述中，正确的是（ A． P , Q , PQ ） B． AB , C AB, D AB, CD
3．平面的表示方法：
4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 点与直线的位置关系：
点与平面的位置关系：
直线与平面的位置关系：
5．平面的基本性质： 公理 1 ：文字语言描述为： 符号语言表示为：
高三数学一轮复习1·平面基本性质与推论
提示：“有”表示图形存在，“只有一个”
表示图形唯一．
② 基 本 性 质 2 的 作 用 ： 作 用 一 是 ____________ ， 作 用 二 是 ____________________________．
确定平面
(3)关于基本性质3
可用其证明点、线共面问题
①基本性质3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点 ，那么它们 _____________________________ _________．
②基本性质3的作用： 其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两 个平面必相交于过这点的一条直线，其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公 共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 2．平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的______，有且只有一个平面． 推论2：经过____________直线，有且只有一个平面．
A∈l，B∈l，A∈α，∈α⇒l⊂α
不在同一条直线上的三点
符号语言表述：_____________________________ _______________________________________.
A，B，C三点不共线⇒有且只
有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
思考感悟
1．如何理解“有且只有一个”？
平面的基本性质与推论
学习目标
1. 理解平面的概念，掌握平面的性质并会确定平 面． 2 ．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系，会利用定理判定它们之间的关系． 3．会进行文字语言、图形语言、符号语言之间 的转化并能进行一些简单问题的证明．
课前自主学案
1．2.1课堂互动Fra bibliotek练知能优化训练
表示图形唯一．
② 基 本 性 质 2 的 作 用 ： 作 用 一 是 ____________ ， 作 用 二 是 ____________________________．
确定平面
(3)关于基本性质3
可用其证明点、线共面问题
①基本性质3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点 ，那么它们 _____________________________ _________．
②基本性质3的作用： 其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两 个平面必相交于过这点的一条直线，其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公 共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 2．平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的______，有且只有一个平面． 推论2：经过____________直线，有且只有一个平面．
A∈l，B∈l，A∈α，∈α⇒l⊂α
不在同一条直线上的三点
符号语言表述：_____________________________ _______________________________________.
A，B，C三点不共线⇒有且只
有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
思考感悟
1．如何理解“有且只有一个”？
平面的基本性质与推论
学习目标
1. 理解平面的概念，掌握平面的性质并会确定平 面． 2 ．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系，会利用定理判定它们之间的关系． 3．会进行文字语言、图形语言、符号语言之间 的转化并能进行一些简单问题的证明．
课前自主学案
1．2.1课堂互动Fra bibliotek练知能优化训练
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.3空间点、直线、平面间的位置关系
第3讲
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.
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A1
D1
B1
C1
E
M C N Q B
F
A
D
二、教学过程 Teaching Process
（二）请同学们观看一个动画，并思考动画中表明的数学结论。
1、[总结经验•获取知识]
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2、[反思结论•导出新知]
（1）如图所示，已知直线a以及直线a外一点A，求证：过直线a和点A的平面有且只有一个？ 证明：在直线a上任取不重合的两点B，C， 则A、B、C不在同一直线上。
2、[反思结论•导出新知]
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。（文字语言） 直线a 确定平面α，使A∈α，a α 。 （符号语言） 点A ∉a
a α 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
直线a 直线b a∩b=A
•
A
（图像语言）
（文字语言）
（符号语言） （图像语言）
平面的基本性质
一：教学目标
Teaching Goal
1
结合问题与实例，通过学生直观感知，认识平面的
基本性质（公理一、二及公理2的三个推论）。
教学目标
2
能使用图形语言、文字语言、符号语言
准确描述两个公理及其推论。 能解决简单的点线共面、点共线问题。
3
二、教学过程 Teaching Process
（一）请同学们观看一个动画，并思考动画中表明的数学结论。
空间四边形
四、作业
1．《同步解析与测评》P25——P28页，公理2另外两个推论的证明。
谢谢观看
Thank you for watching
B
思考：结合本例，公理 2还有其它的等价表述方式吗？ 又∵B、C∈α，∴过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
由公理2知，点A、B、C可确定一个平面α，
·
·
A
·
C
a
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 （文字语言） 点评： 请结合本例，课后对公理2的另外两个推论加以证明。 直线a 确定平面α，使A∈α，a α 。 （符号语言） 点A ∉a （图像语言）
α
又∵A∈a，B∈b
∴A、B所在的直线l
α
故a、b、l三线共面。（主要依据是公理1）
总结： 公理2及其推论常用于确定平面、点共面、线共面、两面重合等问题。
三、教学总结
平面的画法
新知识 平面的概念以及表示 公理1 文字语言
旧知识
点 线 面号语言
公理3
公理2的三个推论
B A
b
∴a α， b α
又∵A∈a，B∈b
a
l
∴A、B所在的直线l α 故a、b、l三线共面。 （公理 α 1）
4、[反思问题•得出经验]
分析：此题属于证明线共面问题，主要依据是公理1、公理2及其推论。 步骤： （1）先由部分元素确定一个平面。（主要依据公理2及其推论）
∵a∥b，故a，b可确定一个平面α （2）再证其余元素也在这个平面内。 ∴a α， b
1、[总结经验•获取知识]
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内。
2、[运用知识•解决问题]
例1.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N、E、F
分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q。 求证:MN 平面ADCD；EF 平面ADD1A1。 解析：∵M∈CD，N∈AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD ∴MN 平面ABCD。 （公理1的运用） 同理可证EF 平面ADD1A1。 3、[反思问题•得出经验] 总结： 公理1常用于判断直线在平面内或平面过直线。
确定平面α，使a α，b α。
A
a
b
α 直线a 直线b a∥b
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 确定平面α，使a α，b α 。
b
（文字语言）
（符号语言） （图像语言）
α
a
3、[运用知识•解决问题]
2.已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，交点分别为A、B，求证：直线a，b，l共面。 证明：∵a∥b，故a，b可确定一个平面α （推论3）
D1
B1
C1
E
M C N Q B
F
A
D
二、教学过程 Teaching Process
（二）请同学们观看一个动画，并思考动画中表明的数学结论。
1、[总结经验•获取知识]
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2、[反思结论•导出新知]
（1）如图所示，已知直线a以及直线a外一点A，求证：过直线a和点A的平面有且只有一个？ 证明：在直线a上任取不重合的两点B，C， 则A、B、C不在同一直线上。
2、[反思结论•导出新知]
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。（文字语言） 直线a 确定平面α，使A∈α，a α 。 （符号语言） 点A ∉a
a α 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
直线a 直线b a∩b=A
•
A
（图像语言）
（文字语言）
（符号语言） （图像语言）
平面的基本性质
一：教学目标
Teaching Goal
1
结合问题与实例，通过学生直观感知，认识平面的
基本性质（公理一、二及公理2的三个推论）。
教学目标
2
能使用图形语言、文字语言、符号语言
准确描述两个公理及其推论。 能解决简单的点线共面、点共线问题。
3
二、教学过程 Teaching Process
（一）请同学们观看一个动画，并思考动画中表明的数学结论。
空间四边形
四、作业
1．《同步解析与测评》P25——P28页，公理2另外两个推论的证明。
谢谢观看
Thank you for watching
B
思考：结合本例，公理 2还有其它的等价表述方式吗？ 又∵B、C∈α，∴过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
由公理2知，点A、B、C可确定一个平面α，
·
·
A
·
C
a
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 （文字语言） 点评： 请结合本例，课后对公理2的另外两个推论加以证明。 直线a 确定平面α，使A∈α，a α 。 （符号语言） 点A ∉a （图像语言）
α
又∵A∈a，B∈b
∴A、B所在的直线l
α
故a、b、l三线共面。（主要依据是公理1）
总结： 公理2及其推论常用于确定平面、点共面、线共面、两面重合等问题。
三、教学总结
平面的画法
新知识 平面的概念以及表示 公理1 文字语言
旧知识
点 线 面号语言
公理3
公理2的三个推论
B A
b
∴a α， b α
又∵A∈a，B∈b
a
l
∴A、B所在的直线l α 故a、b、l三线共面。 （公理 α 1）
4、[反思问题•得出经验]
分析：此题属于证明线共面问题，主要依据是公理1、公理2及其推论。 步骤： （1）先由部分元素确定一个平面。（主要依据公理2及其推论）
∵a∥b，故a，b可确定一个平面α （2）再证其余元素也在这个平面内。 ∴a α， b
1、[总结经验•获取知识]
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内。
2、[运用知识•解决问题]
例1.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N、E、F
分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q。 求证:MN 平面ADCD；EF 平面ADD1A1。 解析：∵M∈CD，N∈AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD ∴MN 平面ABCD。 （公理1的运用） 同理可证EF 平面ADD1A1。 3、[反思问题•得出经验] 总结： 公理1常用于判断直线在平面内或平面过直线。
确定平面α，使a α，b α。
A
a
b
α 直线a 直线b a∥b
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 确定平面α，使a α，b α 。
b
（文字语言）
（符号语言） （图像语言）
α
a
3、[运用知识•解决问题]
2.已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，交点分别为A、B，求证：直线a，b，l共面。 证明：∵a∥b，故a，b可确定一个平面α （推论3）