天津南开中学高二上数学周练10
2021年高二数学上学期周练试题(文科零班,12.27)
2021年高二数学上学期周练试题（文科零班，12.27）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“”是“方程”表示椭圆”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件2．若，则等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．3．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（）A．－1 B．－1或5 C．5 D．－3或34．设、是两个不重合的平面，m、m是两条不重合的直线，则以下结论错误．．的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A． B．C． D．6．设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，则这个函数在点处的切线方程是（）A． B． C．D．8．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面，则球的半径为（）A． B． C． D．9．曲线在点（1，2）处的切线为，则直线上的任意点P与圆上的任意点Q之间的最近距离是（）A． B． C． D．210．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（）A. B. C.或 D.11．已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为（）A． B． C． D．12．已知点是圆C: 上的点，过点A且与圆C相交的直线AM、AN的倾斜角互补，则直线MNA B C A 1 B 1C 1 D的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13．曲线在点（1，2）处切线的斜率为____________.14．经过点且与曲线相切的直线的方程是____________.15．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线于点P ，O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为____________.16．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是____________.（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每小题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设曲线上有点，与曲线切于点的切线为，若直线过且与垂直，则称为曲线在点处的法线，设交轴于点，又作轴于，求的长.18．（本小题满分12分）设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立.（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若，，求三棱锥的体积.20．（本小题满分12分）已知直线l:kx-y+1+2k=0(k ∈R)(1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．21．（本小题满分12分）己知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线，与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程：（2）求的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．22．（本小题满分12分）已知抛物线与双曲线有公共焦点．点是曲线C1，C2在第一象限的交点，且．（1）求双曲线交点及另一交点的坐标和点的坐标；（2）求双曲线的方程；（3）以为圆心的圆M与直线相切，圆N：，过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线和，设被圆M截得的弦长为s，被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．丰城中学xx学年度上学期高二数学（文）周考试卷答案1—6 BABBAB 7—12 CCCCAA13． 14．或 15． 16．②③17. 解：依题意，，∵与垂直，∴的斜率为，∴直线的方程为：，令，则，∴，容易知道：，于是，.18. 解：（1）若命题为真命题，则恒成立；（2）若命题为真命题，则；“或”为真命题且“且”为假命题，即，一真一假，故. 19．解: （1）证明：因为，所以，又侧面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以 .（2）证明：设与的交点为，连接,在中，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面 .（3）解：由（1）知，平面，所以三棱锥的体积为.又 ，，所以 ， 所以 . 三棱锥的体积等于. 20. 解: （1）因为直线l:kx-y+1+2k=0(K ∈R) y-1=k(x+2)，所以直线l 过定点(-2,1)；(2) 由于直线l 恒过定点（-2，1），画出图形，知要使直线l 不经过第四象限必须且只需，故k ∈[0, )；（3）由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k>0,由直线l:kx-y+1+2k=0中，令则，再令，则，所以有：()2212k 11441111(44)842222k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（（当且仅当时，取等号），所以，S 的最小值为4，此时l 方程为：x-2y+4=0.21.（1）由题意知，，即．又，，．故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由得，由()()()22223244364120k k k ∆=--+->得，设，，则， ①()()()2221212121244416y y k x k x k x x k x x k =--=-++ ()22222121222264123287141625434343k k x x y y k k k k k k -OA⋅OB =+=+⋅-⋅+=-+++ ，，的取值范围是．（3）证：、两点关于轴对称，直线的方程为，令得：又，，由将①代入得：，直线与轴交于定点．22. 解: （1）因为的焦点为，所以双曲线的焦点为、.设，由点在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，即，所以，即，所以点A 的坐标为或.（2）由题意知，又因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即，所以，故双曲线的方程为：.（3）为定值.说明如下：设圆M 的方程为：，因为圆M 与直线相切，所以圆M 的半径为.故圆M: .显然，当直线的斜率不存在时不符合题意，所以直线的斜率存在，设的方程为，即.设的方程为，即.所以点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以直线被圆M 截得的弦长22221636213332k k k k k s +-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=，直线被圆M 截得的弦长，所以3)3(2)3(62326362222=--=--=k k k k k k k ts .28587 6FAB 澫$28225 6E41 湁H34476 86AC 蚬226439 6747 杇a25015 61B7 憷30989 790D 礍a29034 716A 煪~28141 6DED 淭22867 5953 奓。
2021年高二上学期周练(10.9)数学试题 含答案
2021年高二上学期周练（10.9）数学试题含答案一、选择题1．用给个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（）A． B． C． D．2．用给个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（）A． B． C． D．3．现要完成下列3项抽样调查：①从15件产品中抽取3件进行检查；②某公司共有160名员工，其中管理人员16名，技术人员120名，后勤人员24名，为了了解员工对公司的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③电影院有28排，每排有32个座位，某天放映电影《英雄》时恰好坐满了观众，电影放完后，为了听取意见，需要请28名观众进行座谈。
较为合理的抽样方法是A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样4．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少人A．8，15，7 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，3，55．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法6．某学校有男学生400名，女学生600名，为了解男女学生在学校兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法7．为了解凯里地区的中小学生视力情况，拟从凯里地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到凯里地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样错误！未找到引用源。
南开中学高2010届高三数学文周练
南开中学高2021届高三数学周练(文)一、选择题(此题6个小题，每题10分，共60分)1、{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，那么12231n n a a a a a a ++++=…( ) A 、16(14)n --B 、16(12)n --C 、32(14)3n --D 、32(12)3n -- 2、如果1238,,,,a a a a …为各项都大于零的等差数列，公差0,d ≠那么( )A 、1845a a a a >B 、1845a a a a <C 、1845a a a a +>+D 、1845a a a a =3、等差数列{}n a 中，349141510,a a a a a ++++= 那么17S 等于( )A 、34B 、68C 、17D 、514、设数列{}n a 的前n 项和2*32()n S n n n N =-∈，那么当2n ≥时有( )A 、1n n S na na >>B 、1n n S na na <<C 、1n n na S na <<D 、1n n na S na <<5、设有公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，两数列有关系；1133,,a b a b ==75a b =，那么( )A 、1113b a =B 、1131b a =C 、1163b a =D 、6311b a = 6、{}n a 是等比数列，且231,a a >=1231231111()()()()0,n n a a a a a a a a -+-+-++->…那么自然数n ( )A 、最大值是4B 、最小值是5C 、最大值是5D 、最小值是6二、填空题(此题4个小题，每题10分，共40分)7、数列{}n a 的前n 项和的公式为2231,n S n n =--那么通项公式为_________。
天津市南开中学高二数学上学期第十五周周练试题 理
南开中学高二上第十五周数学周练本周涉及知识点：1．继续研究双曲线的概念，性质，标准方程2．直线与双曲线的综合考试重点：双曲线的性质，直线与双曲线的综合型试题应知应会：假设双曲线22221x ya b-=的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么双曲线的离心率是（）()A 2 ()B 3 ()C34()D35若22121x yk k+=---表示核心在y轴上的双曲线，那么它的半焦距的取值范围是（）A．()1,+∞B．()0,1C．()1,2D．与k有关设0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么二次曲线22cot tan1x yθθ-=的离心率的取值范围为（）.A10,2⎛⎫⎪⎝⎭.B1,22⎛⎝⎭.C2⎛⎝.D)+∞双曲线22221x ya b==（a＞0,b＞0）的两个核心为F一、F2,假设P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞假设双曲线12222=-byax的两个核心到一条准线的距离之比为3：2,那么双曲线的离心率是（）（A）3 （B）5 （C）3（D）5以下各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）()A2213xy-=和22193y x-=()B2213xy-=和2213xy-=()C 2213x y -=和2213y x -= ()D 2213x y -=和22193x y -= 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为核心，其准线过椭圆的核心，那么双曲线的渐进线的斜率为（ ）A ．2±B ．43±C ．12±D ．34± 直线1y kx =+与双曲线22:1C x y -=的左支只有一个公共点，那么k 的取值为（ ）.A (]1,1- .B k = .C []1,1- .D (]1,1-P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 别离是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，那么PM PN -的最大值为（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 9 过双曲线222:1y M x b -=的左极点A 作斜率为1的直线l ,假设l 与双曲线M 的两条渐近线别离相交于,B C ,且AB BC =,那么双曲线M 的离心率是 ( ).A .B .C .D设12F F ，别离是双曲线2219y x -=的左、右核心．假设点P 在双曲线上，且120PF PF =，那么12PF PF +=（ ）A B ． C D ．过双曲线22196x y -=的左核心，且被双曲线截得线段长为6的直线的条数为_____.已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b ≠-=>>且，的两个核心，P 为双曲线右支上异于极点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上；Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）． 过双曲线22221x y ab -=()0,0a b >>的左核心且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好于双曲线的右极点，那么双曲线的离心率等于___________． 双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个核心，那么12PF F ∆的重心M 的轨迹方程为______________. 设双曲线2214x y -=，1F 是它的左核心，直线l 通过它的右核心2F ，且与双曲线右支交于,A B 两点，那么11F A F B ⋅的最小值为________.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上任意一点，过点P 的直线与两渐近线别离交于12,P P ,设12P P PP λ=，求证：()12214OP P S abλλ∆+=已知中心在原点的双曲线C 的右核心为()2,0，右极点为)。
2022-2023学年天津市南开中学高二上学期阶段性质量检测(一)数学试卷含详解
高二年级数学阶段性质量检测（一）第I 卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知向量(1,2,3)a = ，(0,1,2)b = ，则2a b -=（）A.（2，3，4）B.（2，3，3）C.（2，5，8）D.（2，4，6）2.已知三角形ABC 的三个顶点分别为(1,0)A ，(2,3)B -，(3,3)C ，则AB 边上的中线所在直线的方程为（）A.0x y -=B.60x y +-=C .360x y --= D.3120x y +-=3.圆224210x y x y +--+=与圆222210x y x y ++-+=的公切线有（）A.1条 B.2条C.3条D.4条4.与直线y =切于点A ，且圆心在x 轴上的圆的方程为（）A .22(4)4x y -+= B.22(16x y -+=C.22(36x y ++= D.22(36x y -+=5.若过点(1,1)P -的直线l 与直线23y x =-+的交点位于第一象限，则直线l 斜率的范围是（）A.(4,2)-B.(,4][2,)-∞-+∞C.()(),42,-∞-+∞ D.(,2)(2,)-∞-+∞ 6.从点(4,1)A -出发的一条光线l ，经过直线1:30l x y -+=反射，反射光线恰好经过点(3,2)B -，则反射光线所在直线的斜率为（）A.2- B.3- C.13-D.35-7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知三棱柱111ABC A B C -为一堑堵，90ABC ∠=︒，2AB =，BC =12AA =，则直线1CA 与直线1BC 夹角的余弦值为（）A.36B.6-C.4D.148.若圆224x y +=上恰有三个点到直线y x b =+的距离为1，则实数b 的值为（）A.B. C.1± D.9.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为线段2OF 的中点（O 为坐标原点），点P 在椭圆上且满足2PF x ⊥轴，点M 到直线1PF 的距离为12b ，则椭圆的离心率为（）A.55或2B.55C.12或15D.1310.已知斜率存在的直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且l 与圆22:(1)1C x y -+=切于点P .若P为线段AB 的中点，则直线PC 的斜率为（）A. B. C.- D.或第II 卷二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．11.已知直线1:(1)60l x a y +-+=，直线22:210l ax y a ++-=，当=a ____________时，12l l ⊥.12.圆2220x y x +-=与圆22220x y x y ++-=的公共弦长为____________.13.在空间直角坐标系中，已知三点A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），则点C 到直线AB 的距离为____________.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，线段1F P 与y 轴交于点Q ，若1||2PQ QF =，且12PF F △为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.15.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160AAD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，13AA AB AD ===，点E 为线段1BD 上靠近于点B 的三等分点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则AE = ____________（用含有a ，b，c 的表达式表示）；若点G 为棱1CC 上的一个动点，则1EG D G ⋅ 的最小值为____________.16.已知圆222:24120C x y ax y a +--+-=与过点(3,0)P -的直线交于A ，B 两点，若三角形ABC 面积的最大值为8，则实数a 的取值范围是____________.三．解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知椭圆22:14x y Γ+=，直线l 过点(0,2)-与椭圆Γ交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）设C 为线段AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长；（2）当直线l 的斜率为2时，求三角形AOB 的面积.18.为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设8AB BC ==，112AA =，O 为底面ABCD 的中心，正四棱柱1111OECF O E C F -与正四棱柱2222OECF O E C F -分别代表电梯井与电梯厢，设22OO =，M 为棱1FF 的中点，N ，K 分别为棱1AA ，1DD 上的点，8AN =，4=DK ．（1）求证：OM 平面11A CF ；（2）求直线1AO 与平面11A CF 所成角的正弦值；（3）“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O 点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO 2的中点I ，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N 点的数学办公室与位于K 点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O 与移动着的平面INK 所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF 与平面ABCD 重合）运行至顶端（平面2222O E C F 与平面1111D C B A 重合）的过程中，点O 到平面INK 距离的最大值．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为833.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 是圆222:O x y r +=的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恒过原点，求：（i ）圆O 的方程；（ii ）||AB 的最大值.高二年级数学阶段性质量检测（一）第I 卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知向量(1,2,3)a = ，(0,1,2)b = ，则2a b -=（）A.（2，3，4）B.（2，3，3）C.（2，5，8）D.（2，4，6）A【分析】由空间向量坐标运算法则可得答案.【详解】因()1,2,3a = ，则()22,4,6a = ，则2a b -=()()20,41,622,3,4---=.故选：A2.已知三角形ABC 的三个顶点分别为(1,0)A ，(2,3)B -，(3,3)C ，则AB 边上的中线所在直线的方程为（）A.0x y -=B.60x y +-=C.360x y --=D.3120x y +-=C【分析】先求出AB 的中点，再用两点式求AB 边上的中线所在直线的方程【详解】AB 边的中点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，∴AB 边上的中线所在直线的方程32333233y x --=---，即360x y --=.故选：C3.圆224210x y x y +--+=与圆222210x y x y ++-+=的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条D.4条C【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.【详解】224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=，则圆心()12,1C ，半径12r =，222210x y x y ++-+=，即()()22111x y ++-=，则圆心()21,1C -，半径21r =，∵123C C ==，即1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.4.与直线y =切于点A ，且圆心在x 轴上的圆的方程为（）A.22(4)4xy -+= B.22(16xy -+=C.22(36x y++= D.22(36x y -+=D【分析】利用待定系数法，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】因为该圆的圆心在x 轴上，所以设该圆的方程为222()(0x a y r r -+=>），于是有：222)36a r a r r ⎧-+=⎧=⎪⇒⎨==⎪⎩即该圆的方程为22(36x y -+=，故选：D5.若过点(1,1)P -的直线l 与直线23y x =-+的交点位于第一象限，则直线l 斜率的范围是（）A.(4,2)-B.(,4][2,)-∞-+∞C.()(),42,-∞-+∞ D.(,2)(2,)-∞-+∞ C【分析】用直线l 斜率k 表示出l 方程，再求出直线l 与直线23y x =-+的交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案.【详解】由题直线l 斜率存在，则设直线l 斜率为k ，则l 方程为：()11y k x +=-.将其与23y x =-+联立得：()123y kx k y x ⎧-=-+⎨+=⎩，解得4222k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故交点坐标为42,22k k k k +-⎛⎫⎪++⎝⎭.因其在第一象限，则402202k k k k +⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解得()(),42,k ∈-∞-+∞ .故选：C6.从点(4,1)A -出发的一条光线l ，经过直线1:30l x y -+=反射，反射光线恰好经过点(3,2)B -，则反射光线所在直线的斜率为（）A.2- B.3- C.13-D.35-B【分析】先求出点(4,1)A -关于直线1:30l x y -+=的对称点(,)D m n ，再结合D 在反射光线上，反射光线恰好通过点(3,2)B -，即可求解．【详解】设点(4,1)A -关于直线1:30l x y -+=的对称点为(,)D m n ，则114413022n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得21(21)m n D =-=-∴--，，，，由题意可知，D 在反射光线上，又反射光线恰好通过点(3,2)B -，则21332BD k +==--+，即反射光线所在直线的斜率为3-，故选：B﹒7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知三棱柱111ABC A B C -为一堑堵，90ABC ∠=︒，2AB =，BC =12AA =，则直线1CA 与直线1BC 夹角的余弦值为（）A.36B.6-C.4D.14A【分析】平移直线1CA 到其与直线1BC 相交，再解三角形即可.【详解】连接1CB ，交1BC 于点M ，取11A B 中点为N ，连接1,MN C N ，如下所示：显然点M 为1B C 的中点，故在△11A B C 中，点,M N 分别为111,B C A B 的中点，故MN //1AC ，则直线11,A C BC 所成的夹角与直线1,MN MC 所成的夹角相等，则1NMC ∠即为所求角或其补角；在三角形1MNC 中，2211111111242222MN A C A C C C ==+=+=，2211111111843222MC BC B C B B ==+=+=221111183NC NB B C =+=+=，故由余弦定理可得：2221111439cos 2223MN MC NC NMC MN MC +-∠==-⨯⨯⨯36，故直线11,A C BC 所成的夹角的余弦值为36.故选：A 8.若圆224x y +=上恰有三个点到直线y x b =+的距离为1，则实数b 的值为（）A.2 B.2- C.1± D.2D【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2，因为圆224x y +=上恰有三个点到直线y x b =+的距离为1，所以圆心到直线直线y x b =+的距离为1，所以有22121(1)b b =⇒=+-，故选：D9.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为线段2OF 的中点（O 为坐标原点），点P 在椭圆上且满足2PF x ⊥轴，点M 到直线1PF 的距离为12b ，则椭圆的离心率为（）A.55或22B.55C.12或15D.13A【分析】根据几何关系求出P 和M 的坐标，写出直线1PF 的方程，根据M 到1PF 的距离即可求出离心率．【详解】∵2PF x ⊥轴，∴将x c =代入椭圆可得2by a=±，∴不妨设2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线1PF 的斜率为()2202b b a c c ac-=--，则直线1PF 的方程为()22b y x c ac=+，即2220b x acy b c -+=，则,02c M ⎛⎫⎪⎝⎭到直线1PF12b =，整理得()()2222227010a c a c -+=，所以4217010e e +-=，解得212e =或215e =，即22e =或55e =，则椭圆的离心率为22故选：A10.已知斜率存在的直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且l 与圆22:(1)1C x y -+=切于点P .若P为线段AB 的中点，则直线PC 的斜率为（）A.B.C.-D.或C【分析】利用点差法，结合点P 的坐标满足圆方程，以及CP 与直线AB 垂直，联立方程组求得点P 的坐标，即可求得直线PC 的斜率.【详解】设点,,A B P 的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y m n ，则：222211221,1164164x y x y +=+=，作差后可得：121212121242y y y y x x x x +-⨯=-+-，即：121214y y n m x x -⨯=--；又因为直线CP 与直线AB 垂直，故可得121211y y nm x x -⨯=---，与121214y y n m x x -⨯=--联立后可得：41m m =-，解得43m =，又因为点P 在圆C 上，故可得：()2211m n -+=，解得223n =±，则1nm =±-，即直线CP的斜率为或-.故选：C.第II 卷二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．11.已知直线1:(1)60l x a y +-+=，直线22:210l ax y a ++-=，当=a ____________时，12l l ⊥.23【分析】确定当1a =时不合题意，则1a ≠时，可求出两直线斜率，根据直线垂直可得斜率之积为1-，即可求得答案.【详解】当1a =时，1:(1)60l x a y +-+=斜率不存在，2:20l x y +=，2l 的斜率为12-，不合题意；故1a ≠时，1l 的斜率为11a --，2l 的斜率为2a-，由于12l l ⊥，故1()112a a -⨯-=--，解得23a =，故答案为：23.12.圆2220x y x +-=与圆22220x y x y ++-=的公共弦长为____________.255【分析】先求出公共弦的方程利用勾股定理即可求得.【详解】由已知圆2220x y x +-=与圆22220x y x y ++-=公共弦所在直线方程为420x y -=因为圆2220x y x +-=圆心为()1,0，半径1r =所以d ==弦长为255=故答案为：513.在空间直角坐标系中，已知三点A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），则点C 到直线AB 的距离为____________.11011【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），可得：(1,1,3)AB =-- ，(0,1,0)AC =-，所以可得：cos ,AC AB AC AB AC AB ⋅〈〉==⋅因此110sin ,11AC AB 〈〉===，于是点C 到直线AB 的距离为110110sin ,11111AC AC AB ⋅〈〉=⨯=，故答案为：1101114.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，线段1F P 与y 轴交于点Q ，若1||2PQ QF =，且12PF F△为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.1F P 与y 轴交于点Q ，得P 点横坐标，代入椭圆方程得P 点纵坐标，由12PF F △为等腰三角形，得122F F PF =，用,,a b c 表示此等式转化为离心率e 的方程，解之可得．【详解】1(,0)F c -，线段1F P 与y 轴交于点Q ，1||2PQ QF =，P 在y 右侧，则2P x c =，222241c y ab+=，22224(1)c y b a=-，12PF F △为等腰三角形，则122F F PF =，2c ，2222244b c a c a -=，整理得424810e e -+=，2312e =-，312e -=，15.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160AAD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，13AA AB AD ===，点E 为线段1BD 上靠近于点B 的三等分点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则AE = ____________（用含有a ，b，c 的表达式表示）；若点G 为棱1CC 上的一个动点，则1EG D G ⋅ 的最小值为____________.①.211333a b c ++②.114##2.75【分析】第一空，根据空间向量的线性运算，即可求得答案；第二空，设11,01C G C C λλ=≤≤ ，用含有a ，b ，c的表达式表示出1,EG D G ，根据数量积的运算律，将1EG D G ⋅展开化简为关于λ的二次函数，结合二次函数性质，求得答案.【详解】由题意得11111()()333AE AB BE a BD a AD AA AB a b c a =+=+=++-=++-211333a b c =++ ；设11,01C G C C λλ=≤≤ ,则1111D G D C C C a c λλ=+=- ，112122())3333(b c EG ED D G a c a b c a λλ+-+=+=+-=+- ，由题意可知193322a b a c c b ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，故1122))333[(](EG D G b c a a c λλ=+-⋅+⋅- 22((112222))333333c b a b c c a a c a λλλλλ=-⋅+-⋅+-⋅-⋅- 1929292923()()9323232323λλλλλ=-⨯+⨯-⨯+-⨯--⨯2251191599(),0164λλλλ=-+=-+≤≤，当56λ=时，25119()64λ-+取得最小值114，即则1EG D G ⋅的最小值为114，故答案为：211333a b c ++ ；114.16.已知圆222:24120C x y ax y a +--+-=与过点(3,0)P -的直线交于A ，B 两点，若三角形ABC 面积的最大值为8，则实数a 的取值范围是____________.(,5][1,)-∞-⋃-+∞【分析】根据三角形面积公式，结合圆的性质进行求解即可.【详解】由22222:24120()(2)16C x y ax y a x a y +--+-=⇒-+-=，所以该圆的半径为4，圆心(,2)C a ，11sin 44sin 8sin 22ABC S CA CB ACB ACB ACB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⋅∠=∠ ，所以当π2ACB ∠=时，ABC S 有最大值8，此时三角形ABC 是等腰直角三角形，因此点C 到直线AB 的距离为1122AB ==所以有1PC a ≤⇒≤⇒≥-，或5a ≤-，故答案为：(,5][1,)-∞-⋃-+∞【点睛】关键点睛：利用三角形面积公式，得到三角形ABC 是等腰直角三角形时面积最大是解题的关键.三．解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知椭圆22:14x y Γ+=，直线l 过点(0,2)-与椭圆Γ交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）设C 为线段AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长；（2）当直线l 的斜率为2时，求三角形AOB 的面积.（1）375（2）1【分析】（1）写出直线l 方程，与椭圆方程联立方程组，消去y 得x 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,C x y ，应用韦达定理得0x ，从而得中点C 的坐标后可得OC ；（2）同样写出直线l 方程，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得弦长AB ，再计算出O 到直线AB 的距离后可得三角形面积．【小问1详解】当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为322y x =-.由2232214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得251260x x -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,C x y ，则有12125x x +=，由于C 是线段AB 的中点，则有0121625()x x x =+=，0031225y x =-=-.所以||5OC ===.【小问2详解】当直线l的斜率为2时，直线l的方程为22y x =-.由2272214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2230x -+=.设()11,A x y ，()22,B x y，有12x x +=1232x x =.||AB ====2.原点O 到直线l的距离41111112d ==.所以1111411||122211AOB S AB d =⋅=⋅⋅=△.18.为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设8AB BC ==，112AA =，O 为底面ABCD 的中心，正四棱柱1111OECF O E C F -与正四棱柱2222OECF O E C F -分别代表电梯井与电梯厢，设22OO =，M 为棱1FF 的中点，N ，K 分别为棱1AA ，1DD 上的点，8AN =，4=DK ．（1）求证：OM 平面11A CF ；（2）求直线1AO 与平面11ACF 所成角的正弦值；（3）“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O 点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO 2的中点I ，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N 点的数学办公室与位于K 点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O 与移动着的平面INK 所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF 与平面ABCD 重合）运行至顶端（平面2222O E C F 与平面1111D C B A 重合）的过程中，点O 到平面INK 距离的最大值．（1）证明见解析（2）77（3）4705【分析】（1）以O 为坐标原点，OE ，OF，1OO 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，求出平面11A CF 的法向量1n ，通过10n OM ⋅=证明OM 平面11A CF ；（2）由（1）知，平面11A CF 的法向量1(6,3,2)n =-，然后利用直线与平面所成角的公式求解；（3）设(0,0,)I λ，[1,11]λ∈，求出平面INK 的法向量26,1,22n λ-⎛⎫=⎪⎝⎭，利用点到平面的距离公式求得点O 到平面INK 的距离d 的表达式，进一步求得d 的最大值．【小问1详解】以O 为坐标原点，OE ，OF，1OO 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则(0,0,0)O ，(0,4,6)M ，1(4,4,12)A --，(4,4,0)C ，1(0,4,12)F ．设1(,,)n x y z = 为平面11A CF 的一个法向量，则1111100n A F n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩因为11(4,8,0)A F = ，1(4,0,12)CF =- ，所以4804120x y x z +=⎧⎨-+=⎩取2z =，则1(6,3,2)n =-．因为(0,4,6)OM =，所以10n OM ⋅= ，所以1OM n ⊥ ，因为OM 不在平面11A CF 内，所以OM 平面11A CF ．【小问2详解】因为1(4,4,12)A O =- ，所以111111311cos ,77A n A O n O O A n ⋅===-，所以直线1AO 与平面11A CF 所成角的正弦值为77．【小问3详解】设(0,0,)I λ，[1,11]λ∈，又因为(4,4,8)N --，(4,4,4)K -，所以(0,8,4)NK =- ，(4,4,4)IK λ=--．设2(,,)n x y z = 为平面INK 的一个法向量，则2200n NK n IK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即84044(4)0y z x y z λ-=⎧⎨-++-=⎩取1y =，则26,1,22n λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以点O 到平面INK的距离22OI n d n ⋅====，所以当1328λ=，即283λ=时，d 取得最大值为4705，所以点O 到平面INK的距离的最大值为5．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为833.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 是圆222:O x y r +=的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恒过原点，求：（i ）圆O 的方程；（ii ）||AB 的最大值.（1）22184x y +=（2）（i ）2283x y +=；（ii）【分析】（1）根据离心率和椭圆中,,a b c 的关系即可求得方程.（2）（i ）问利用直曲联立0OA OB ⋅=可以求得圆的方程，（ii ）问中利用弦长公式和基本不等式即可求得最值.【小问1详解】因为22c e a ==，所以222a c =，所以222a b =，所以椭圆222212x y C b b +=:，联立直线y x =，得2223b x =，所以832633b =，所以2b =，所以椭圆22:184x y C +=.【小问2详解】（i ）设直线:(0)=+≠l y kx m k ，因为l 与圆O相切，所以r =()2221m kr=+……（1）.由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()222124280k x kmx m +++-=22648320k m ∆=-+>，所以2284m k <+（*）设()11,A x y ，()22,B x y ，得12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+由题意得，0OA OB ⋅= ，即22212122288012m m k x x y y k-+-+==+，所以()22813m k =+，符合（*）式.结合（1）式，得283r =，所以圆O 的方程为：2283x y +=.（ii）222||12AB k==+223123123k k ==⋅=++464633=463≤=，等号成立当且仅当212k =所以||AB 的最大值为.。
2021年高二上学期周练(10.16)数学试题 含答案
2021年高二上学期周练（10.16）数学试题含答案一、选择题1．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如下图)，已知从左到右各长方形高的比为，则该班学生数学成绩在之间的学生人数是( )A．32 B．27 C．24 D．332．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A．， B．， C．， D．，4．某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )（A）（B）（C）（D）5．数学考试中，甲、乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐，若甲、乙两校的成绩方差分别为和，则（）A．＞ B．＜ C．＝ D．S1＞S26．为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为m e,众数为m o,平均值为,则( )(A)m e=m o= (B)m e=m o<(C)m e<m o< (D)m o<m e<7．如图是总体密度曲线,下列说法正确的是( )(A)组距越大,频率分布折线图越接近于它(B)样本容量越小,频率分布折线图越接近于它(C)阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比(D)阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比8．如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为s A和s B,则( )(A)>,s A>s B (B)<,s A>s B(C)>,s A<s B (D)<,s A<s B9．为选拔运动员参加比赛,测得7名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图为记录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数字记为x,那么x的值为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)810．某班有50名学生,该班某次数学测验的平均分为70分,标准差为s,后来发现成绩记录有误:甲生得了80分,却误记为50分;乙生得了70分,却误记为100分.更正后得标准差为s1,则s与s1之间的大小关系为( )(A)s<s1 (B)s>s1(C)s=s1 (D)无法确定11．在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，但其中在处数据丢失.按照规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分，用和分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )A. B.C. D.和之间的大小关系无法确定12．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )(A)45 (B)50(C)55 (D)60二、填空题13．已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[40,60）内的频数为 .14．如图是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩的中位数是，甲乙两人中成绩较为稳定的是 .15．为了普及环保知识，增强环保意识，某高中随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则这三个数的大小关系为_______________.16．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，右图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品.用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是____三、解答题17．某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.时间频率／组距x0.01250.00650.003102030405060708090100110O（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）现有６名上学路上时间小于分钟的新生，其中２人上学路上时间小于分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时间小于分钟人数为,求的分布列和数学期望．18．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少；(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.19．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率145.5～149.5 8 0.16149.5～153.5 6 0.12153.5～157.5 14 0.28157.5～161.5 10 0.20161.5～165.5 8 0.16165.5～169.5合计(1)求出表中字母所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5范围内有多少人？20．已知一组数据的频率分布直方图如下.求众数、中位数、平均数.21．如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在区间[15,18)内的频数为8.（1）求样本容量；（2）若在[12,15)内的小矩形的面积为0.06，①求样本在[12,15)内的频数；②求样本在[18,33)内的频率。
高二数学上学期第十七周周练试题 理A 试题
南开中学高二第十七周数学周练本周涉及的知识点：1．抛物线的定义、HY方程、几何性质2．直线与抛物线的位置关系3．圆锥曲线综合应知应会：1．抛物线2y x=的准线方程是( )．A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=02．过抛物线24y x=的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y、22(,)B x y两点，假如126x x+=，那么||AB的长是〔〕．A．10 B．8 C．6 D．43．过抛物线22y px=(0)p>的焦点F作弦PQ，那么以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是〔〕．A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定4．抛物线()220y px p=>的焦点弦AB的两端点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么1212y y x x 的值一定是( )．A ．4B ．4-C ．2pD ． 2p - 5． 过抛物线()20y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,假设线段PF 与FQ 的长分别为p q 、,那么11p q +等于( )．A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a6．设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，那么此双曲线的方程为〔 〕．Ａ．2211224x y -= Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -=7．点P 是抛物线22y x =上的一个动点,那么点P 到点(0,2)的间隔 与P 到该抛物线准线的间隔 之和的最小值为( )．AB ．3 C．928．点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的间隔 与点P 到抛物线焦点间隔 之和获得最小值时，点P 的坐标为〔 〕．A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(12)， D ．(12)-，9．抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =AFK ∆的面积为( )．Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．3210．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一局部，光源在抛物线的焦点处，灯口直径60cm ，灯深40cm ，那么光源到反射镜顶点的间隔 是〔 〕． A ．11.25cm B ．5.625cm C ．20cm D ．10cm 才能进步：11．抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标是〔 〕．A ．)4,0(a B ．)41,0(a C ．)41,0(a - D ．)0,41(a 12．点P 是抛物线221xy =上的动点，P 在直线1-=y 上的射影为M ，定点7(4,)2A ,那么||||PM PA +的最小值为〔 〕． A ．92 B ．5 C ．112 D ．613． 椭圆E 的离心率为e,两焦点为12F F 、．抛物线C 以1F 为顶点,2F 为焦点．P 为两曲线的一个交点．假设12PF e PF =,那么e 的值是( )．A ．B ．C． D 14．定点(1,0)N ，动点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及椭圆22143x y += 的实线局部上运动，且AB ∥x 轴，那么NAB 的周长l 的取值范围是〔 〕．A ．(2,23)B ．(10,43)C ．(51,416)D ．(2,4)15．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，假设它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合．设双曲线与抛物线的一个交点为P ,抛物线的焦点为F ，那么||PF = ( )．A ．21B ．18C ．D ．416．双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，那么12112F F MF MF MF -等于〔 〕A ．1-B ．1C ．12-D ．1217．103k <<,那么关于x 的方程kx的实数解的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．抛物线将坐标平面分成两局部，我们将焦点所在的局部〔不包括抛物线本身〕称为抛物线的内部．假设点(),N a b 在抛物线()2:20C y px p =>的内部，那么直线:()l by p x a =+与抛物线C 的公一共点的个数为〔 〕．A ．0B ．1C ．2D ．不能确定19．抛物线方程为22(0)y px p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线交于112211(,)(,),A x y B x y AA BB 、、垂直于准线，垂足分别为11A B 、，AB 的中垂线交x 轴于点R.求证：〔1〕221212,4p x x y y p ==-； 〔2〕通径长为2p ，且通径是最短的焦点弦；〔3〕以AB 为直径的圆与准线相切； 〔4〕1190A FB ︒∠=；〔5〕112AF BF p+=； 〔6〕2AB FR =.(0,3)A -，动点P 在x 轴上挪动，动点Q 在y 轴上，且2APQ π∠=，点R在直线PQ 上且满足12PQ QR=.(1)当点P 在x 轴上挪动时，求动点R 的轨迹C 的方程；〔2〕倾斜角为4π的直线0l 与轨迹C 相切，求切线0l 的方程；〔3〕切线0l与y 轴的交点为B,过点B 的直线l 与轨迹C 交于M 、N 两点，点(0,1)D .假设MDN ∠为钝角，求直线l 的斜率k 的取值范围.。
天津市南开中学2023-2024学年高二上学期第二次学情调查数学试卷
A． -3
B．3
C．
-
2 3
D． 3 2
2．过点 A(1, 2) 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． x - y +1 = 0
B． x + y - 1 = 0
C． 2x - y = 0 或 x - y +1 = 0
D． 2x + y = 0 或 x + y +1 = 0
3．方程 x2 + y2 - 2mx - 4y + 2m2 - 4m = 0 所表示的圆的最大面积为（ ）
.（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，
三、解答题 15．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PC ^ 底面
试卷第31 页，共33 页
ABCD ，且 PC = 1 ，点 E 在线段 PB 上，且 BE = 2EP .
(1)求 BD 与 AE 所成的角的余弦值； (2)求平面 PAC 与平面 ACE 夹角的余弦值； (3)求点 D 到平面 ACE 的距离.
【详解】由直线经过 A(3,5) ， B (2, 6) 两点，
则
k
=
6 2
-
5 3
=
-1，
设直线的倾斜角为a ，a Î[0,p ) ，
则 k = tana = -1 ，
则a
=
3p 4
，
故答案为： 3p . 4
答案第51 页，共22 页
10． 5 / 1 33
5
【分析】根据两直线平行求出 a 的值，然后根据平行线间距离公式，求出答案.
y
=
25 5
x
和
y
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天津南开中学高二上数学周练10
一、选择题 (每题4分,共40分)
1. 22530x x --<成立的一个必要不充分条件是 （ ）
A ．132x -<<
B ．102x -<<
C ．132
x -<< D ．16x -<< 2. 在ABC 中，条件甲：A B <，条件乙：sin sin A B <，则甲是乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3. >|x ||y |<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 设0,h >命题甲:实数a b 、满足2a b h -<,命题乙：1,1a h b h -<-<，那么（ ）
A ．甲是乙的充分不必要条件
B ．甲是乙的必要不充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
5. 下面各组方程表示同一曲线的是（ ）
.A 2y x =与y = .B y x =与1y x
=
.C 22log y x =与22log y x = .D 221x y +=与y =6. 已知A ()11,x y ，B ()22,x y 分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程为(),0f x y =，则方程
()()11,,f x y f x y =表示（ ）
.A 直线l .B 过点,A B 的直线
.C 过点B 与l 垂直的直线 .D 过点B 与l 平行的直线
7. 设命题甲为：点P 的坐标适合方程(),0f x y =；命题乙：点P 在曲线C 上；命题丙：点Q 坐标
不适合(),0f x y =；命题丁：点Q 不在曲线C 上．已知甲是乙的必要不充分条件，那么丙是丁的（ ）条件
.A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也不必要
8. 如果方程22
2x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） .A ()0,+∞ .B ()0,2 .C ()1,+∞ .D ()0,1
9. 椭圆的两条准线间的距离是该椭圆的焦距的2倍，则该椭圆的离心率为（ ）
.A 14 .B 256
.C 92 .D 158 10. 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF 为等腰直角三
角线，则椭圆的离心率为（ ）
.A 2 .B 12 .C 2 .D 1
二、填充题(每题4分,共24分)
11. 已知命题:211p x -≥，命题21:045
q x x >+-，则p ⌝是q ⌝的______________条件. 12. 已知命题p ：不等式25x x m -++>的解集为R ,命题q ：函数()(52)x f x m =--是减函数,
若p 或q 为真，p 且q 为假,则实数m 的取值范围是 _____________.
13. 过()2,4P 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的中点M
的轨迹方程为_______________． ()2501x y x +-=≠
14. 已知k R ∈，则两条动直线()210kx y k -++=与()210x ky k ++-=的交点P 的轨迹方程为
__________________.
15. 椭圆22
55x ky -=的一个焦点为()0,2，则k =__________.
16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1
P ，(2P ，则椭圆方程为______________．
三、解答题(共4大题，共36分)
17. 已知,A B 为两个定点，动点M 到A 与B 的距离比为常数λ，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是
什么曲线．
18. 已知点P 是圆22
4x y +=上的一动点，定点()4,0Q ()1求线段PQ 中点的轨迹方程；
()2设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求点R 的轨迹方程。
19. 已知Q 为椭圆22
298x y +=上一动点，()0,5P 为一定点，求点P 到椭圆的最大和最小距离以及此时Q 的坐标。
20. 设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于,P Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8:5，
()1求椭圆的离心率；
()
2若过,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x ++=相切，求椭圆方程。