最新2017-2018年人教版九年级上数学一元二次方程(疑难分析)
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程∣⅛∣知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：（1）解一元二次方程——直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；①方法是根据平方根的意义开平方.(2)解一元二次方程——因式分解法通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：①移项，将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解•一般的一元二次方程的解法■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：(1)解一元二次方程一一配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
数学：人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)
(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得 或
评注：掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1． 用配 方法解下列方程 ：
（1） （2）
解:(1 )移项，得
配方
由此可得
.
(2)移项，得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴ ∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法.
4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等 于0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
人教版九年级数学一元二次方程重难点
专题二：一元二次方程根与系数的关系知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根； ⇔=∆0方程有 的实数根； ⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根. 2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，a cx x =⋅21⑵ 推论：⑶ 常用变形：()()12122212212x x x x x x +=+-； ()()()2412212212x x x x x x -=+-； ()311121212x x x x x x +=+； ()()()()41212122x a x a x x a x x a ++=+++ ()()()5132312121222x x x x x x x x +=+-+ =++-()[()]x x x x x x 12122123 =+-+()()x x x x x x 12312123典型例题讲解及思维拓展例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-2mx+m=0有两个实数根，求m 的取值范围。
例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2112x x x x + ⑵ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑴ 321231x x x x + ⑵ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.不解方程，求方程x2-7x+5=0的两根之差。
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典营户希望每天能够获得至少100元的利润。
求该经营户应该将价格降低多少元/千克才能达到目标利润，以及此时每天的销售量是多少千克。
一元二次方程应用题题型总结一、增长率问题增长率问题是一种常见的应用题型，其中涉及到变化前数量、变化后数量以及变化率等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量例如，某商场在十月份的销售额下降了20%，但在十一月份开始加强管理，改善经营，使得十二月份的销售额达到了193.6万元。
现在要求这两个月的平均增长率，我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到商品价格变化的增长率问题。
例如，某种商品原价为50元，1月份降价10%后，从2月份开始又开始上涨，3月份的售价为64.8元。
要求2、3月份价格的平均增长率，我们同样可以使用上述公式进行计算。
二、商品销售问题商品销售问题是另一种常见的应用题型，其中涉及到售价、进价、利润、销售量、销售额等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：售价-进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额例如，某商店购进一种商品，进价为30元。
若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到生产成本、售价、销售量等的商品销售问题。
例如，某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。
现在要求当日产量为多少时每日获得的利润为1750元，或者当可获得的最大利润为1950元时，日产量应为多少。
我们同样可以使用上述公式进行计算。
除此之外，还有一些涉及到涨价、销售量等的商品销售问题。
例如，某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现在要求每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
《实际问题与一元二次方程》疑难分析(人教版数学九年级上)
(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意,可列方程:
解之得
经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点4cm处;经过4秒,点P到离B点2cm处,点Q到离B点8cm处,即经过2秒或者4秒, 使△PBQ的面积为8cm2.
(2)设经过y秒, .则PB的长度为(6-y)cm,BQ的长度为2ycm,根据题意,可列方程:
22.3 实际问题与一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
（3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.
（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍.
（5）答:就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化;
(2)充分运用题目中所给的条件;
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系;
①利用题目中的关键语句作为相等关系;
人教版初中九年级上册数学《一元二次方程》难点分析
21.1 一元二次方程疑难分析1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.例题选讲例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=（3）213()20x x-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且解：（1）原方程整理得250x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数．（3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.（4）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.（5）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=,①当22a b -=0,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是4ab,常数项是21a --.评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.例2 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为0,求a 的值? 解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得210a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a 的一元二次方程,求得a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a 的值.。
数学人教版九年级上册一元二次方程的定义、解法、应用小结
（3）注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
4.一元二次方程根的判别式是：△=；
（1）△＞O ；
（2）△＝O ；
（3）△＞O 。
C．无实数根D．有一根为0
4.用配方法解方程 时，原方程应变形为（）
A、 B、 C、 D、
5、方程 化成一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是.
6、方程 的根是.
7、某旅行团每两位成员互相握手一次，共握了55次，则这个旅行社共有人.
8、（2016·四川眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程的一个根是－1，求 的值及另一个根。
6、已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
5.一元二次方程根与系数的关系：设 为方程 的两个根，则 ， 。
6.列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为
（1）“审”是读懂题目，审清，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的.
（2）“设”是指设未知数，设未知数又分为和，要根据题目特点选择合适的设元方式.
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22.1 一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).
2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).
4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.
例题选讲
例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=
（3）21
3()20x x
-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且
解：（1）原方程整理得2
50x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.
（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数． （3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.
（4）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.
（5）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=, ①当22a b -=0,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.
②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是4ab,常数项是21a --.
评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.
例2 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为0,求a 的值?
解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得2
10a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.
评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a 的一元二次方程,求得a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a 的值.。