最新2017-2018年人教版九年级上数学一元二次方程(疑难分析)
22.1 一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).
2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).
4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.
例题选讲
例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=
（3）21
3()20x x
-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且
解：（1）原方程整理得2
50x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.
（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数． （3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.
（4）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.
（5）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=, ①当22a b -=0,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.
②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是4ab,常数项是21a --.
评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.
例2 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为0,求a 的值?
解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得2
10a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.
评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a 的一元二次方程,求得a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a 的值.。
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程∣⅛∣知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：（1）解一元二次方程——直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；①方法是根据平方根的意义开平方.(2)解一元二次方程——因式分解法通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：①移项，将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解•一般的一元二次方程的解法■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：(1)解一元二次方程一一配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
数学：人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)
(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得 或
评注：掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1． 用配 方法解下列方程 ：
（1） （2）
解:(1 )移项，得
配方
由此可得
.
(2)移项，得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴ ∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法.
4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等 于0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
人教版九年级数学一元二次方程重难点
专题二：一元二次方程根与系数的关系知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根； ⇔=∆0方程有 的实数根； ⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根. 2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，a cx x =⋅21⑵ 推论：⑶ 常用变形：()()12122212212x x x x x x +=+-； ()()()2412212212x x x x x x -=+-； ()311121212x x x x x x +=+； ()()()()41212122x a x a x x a x x a ++=+++ ()()()5132312121222x x x x x x x x +=+-+ =++-()[()]x x x x x x 12122123 =+-+()()x x x x x x 12312123典型例题讲解及思维拓展例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-2mx+m=0有两个实数根，求m 的取值范围。
例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2112x x x x + ⑵ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑴ 321231x x x x + ⑵ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.不解方程，求方程x2-7x+5=0的两根之差。
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典营户希望每天能够获得至少100元的利润。
求该经营户应该将价格降低多少元/千克才能达到目标利润，以及此时每天的销售量是多少千克。
一元二次方程应用题题型总结一、增长率问题增长率问题是一种常见的应用题型，其中涉及到变化前数量、变化后数量以及变化率等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量例如，某商场在十月份的销售额下降了20%，但在十一月份开始加强管理，改善经营，使得十二月份的销售额达到了193.6万元。
现在要求这两个月的平均增长率，我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到商品价格变化的增长率问题。
例如，某种商品原价为50元，1月份降价10%后，从2月份开始又开始上涨，3月份的售价为64.8元。
要求2、3月份价格的平均增长率，我们同样可以使用上述公式进行计算。
二、商品销售问题商品销售问题是另一种常见的应用题型，其中涉及到售价、进价、利润、销售量、销售额等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：售价-进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额例如，某商店购进一种商品，进价为30元。
若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到生产成本、售价、销售量等的商品销售问题。
例如，某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。
现在要求当日产量为多少时每日获得的利润为1750元，或者当可获得的最大利润为1950元时，日产量应为多少。
我们同样可以使用上述公式进行计算。
除此之外，还有一些涉及到涨价、销售量等的商品销售问题。
例如，某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现在要求每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
《实际问题与一元二次方程》疑难分析(人教版数学九年级上)
(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意,可列方程:
解之得
经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点4cm处;经过4秒,点P到离B点2cm处,点Q到离B点8cm处,即经过2秒或者4秒, 使△PBQ的面积为8cm2.
(2)设经过y秒, .则PB的长度为(6-y)cm,BQ的长度为2ycm,根据题意,可列方程:
22.3 实际问题与一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
（3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.
（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍.
（5）答:就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化;
(2)充分运用题目中所给的条件;
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系;
①利用题目中的关键语句作为相等关系;
人教版初中九年级上册数学《一元二次方程》难点分析
21.1 一元二次方程疑难分析1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.例题选讲例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=（3）213()20x x-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且解：（1）原方程整理得250x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数．（3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.（4）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.（5）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=,①当22a b -=0,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是4ab,常数项是21a --.评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.例2 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为0,求a 的值? 解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得210a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a 的一元二次方程,求得a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a 的值.。
数学人教版九年级上册一元二次方程的定义、解法、应用小结
（3）注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
4.一元二次方程根的判别式是：△=；
（1）△＞O ；
（2）△＝O ；
（3）△＞O 。
C．无实数根D．有一根为0
4.用配方法解方程 时，原方程应变形为（）
A、 B、 C、 D、
5、方程 化成一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是.
6、方程 的根是.
7、某旅行团每两位成员互相握手一次，共握了55次，则这个旅行社共有人.
8、（2016·四川眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程的一个根是－1，求 的值及另一个根。
6、已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
5.一元二次方程根与系数的关系：设 为方程 的两个根，则 ， 。
6.列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为
（1）“审”是读懂题目，审清，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的.
（2）“设”是指设未知数，设未知数又分为和，要根据题目特点选择合适的设元方式.
人教版九年级上册期末专题复习：一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理((含答案解析)
一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理（解析） 考点1：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值考点分析：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等． 题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m －3)x 2＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( D )A ．m ≠3B ．m ≥3C ．m ≥－2D ．m ≥－2且m ≠3点拨：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．已知关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0.(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m 取何值时，它是一元一次方程？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1．若一元二次方程(2a －4)x 2＋(3a ＋6)x ＋a －8＝0没有常数项，则a 的值为___8___．点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －8＝0，2a －4≠0.解得a ＝8. 2．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－1＝0的常数项为0，求m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(A) A．－1 B．0 C．1 D．2点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.2．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝4.3．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，求代数式a2－2 015a－a2＋1 2 016的值．解：∵实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，∴a2－2 016a＋1＝0.∴a2＋1＝2 016a，a2－2 016a＝－1.∴a2－2 015a－a2＋12 016＝a2－2 015a－2 016a2 016＝a2－2 015a－a＝a2－2 016a＝－1题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a ＋7)，由－4(a＋7)＝8得a＝－9，故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.考点2：一元二次方程的解法归类考点分析：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( C )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( C )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( C )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝22．解方程：x 2＋4x －2＝0.解：x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.3．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值． 解：x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58.方法3 能化成形如(x ＋a )(x ＋b )＝0的一元二次方程用因式分解法求解1．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和22．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.解：(1)x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( B ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±322．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x ＝4±642×4， ∴x 1＝32，x 2＝－12.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1．方程4x 2－49＝0的解为( C )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－272．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( C )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和43．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝24．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32， ∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x ＝3±12×2，即x 1＝1，x 2＝12. 类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.解：将原方程两边同乘6，得(6x )2＋19×(6x )＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 2．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n (n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.方法2 换元法a ．整体换元1．若(a ＋b )(a ＋b ＋2)－8＝0，则a ＋b 的值为( A )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－22．已知x 2－2xy ＋y 2＋x －y －6＝0，则x －y 的值是( B )A ．－2或3B ．2或－3C ．－1或6D ．1或－63．解方程：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.解：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.设x －2＝y ，原方程化为y 2－3y ＋2＝0，解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，x －2＝1，x ＝3，当y ＝2时，x －2＝2，x ＝4.∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝4.4．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.b ．降次换元1．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.c ．倒数换元1．解方程：x －2x －3x x －2＝2.解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.方法3 特殊值法1．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016.解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029. 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t，进而求出x.考点3：根的判别式的四种常见应用考点分析：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.2．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．解：(1)根据题意得b2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k>0，解得k<52. (2)由k 为正整数，可得k ＝1或k ＝2.利用求根公式可求出方程的根为x ＝－1±5－2k ，∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，∴k 的值为2.2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2) x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.题型3 利用根的判别式求代数式的值1．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.2.已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx －2＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，求mn 2（m ＋4）2＋n 2－16的值． 解：由题意可知，b 2－4ac ＝n 2＋8m ＝0，∴8m ＝－n 2，∴mn 2（m ＋4）2＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋16＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋n 2＝mn 2m 2－n 2＋n 2＝mn 2m 2. ∵m ≠0，∴mn 2m 2＝n 2m＝－8.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状解：∵一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根， ∴[2(a －b )]2－4(b －c )·(b －a )＝0，∴4(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴此三角形是等腰三角形2．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a ＋c)x2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4(a ＋c)·a －c 4＝b2－(a2－c2)＝0， 即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．考点4：一元二次方程与三角形的综合考点分析：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(C)A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴△ABC的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用的数学思想是__分类讨论_，确定a值的大小是根据_方程根的定义__．题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____13____．2．已知a，b，c分别是△ABC的三边，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC 是直角三角形．理由如下： 原方程可化为(b ＋c )x 2－2m ax ＋cm －bm ＝0， Δ＝4ma 2－4m (c －b )(c ＋b )＝4m (a 2＋b 2－c 2)． ∵m >0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知△ABC 的三边a ，b ，c 中，a ＝b －1，c ＝b ＋1，又已知关于x 的方程4x 2－20x ＋b ＋12＝0的根恰为b 的值，求△ABC 的面积．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解得b 1＝4，b 2＝34.当b 1＝4时，a＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b 2＝34时，a ＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC 的面积为6.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．182．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0，所以2ax (x ＋1)＝0，所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.考点5：根与系数的关系的四种应用类型考点分析：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a ≠0.题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值． (1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵ (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0. 解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0， Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根， ∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.2.已知关于x 的方程x2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 解：(1)∵22－4×1×(a －2)＝12－4a>0，解得a<3. ∴a 的取值范围是a<3.(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1＝－2，1·x1＝a －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x1＝－3.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k <0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用考点分析：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．题型1 营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x.整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意， 因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10， 整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意． 因此第二次采购玩具60件．2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘以x (x －10)，整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意．因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：⎝⎛⎭⎫50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．题型2 行程问题3．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？3．解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶(x ＋12)千米，依题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 所以x ＋12＝72. ∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．应用3 工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？解：(1)设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天完成此项工程，由题意得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1，整理，得x 2－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝⎛⎭⎫20－a 3 (3)由题意得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a3≤64，解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．考点7：几种常见的热门考点考点分析：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．题型1 一元二次方程的根1．若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________． 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c的值．1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015. 2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0.题型2 一元二次方程的解法1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是( A ) A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝－3 C ．x 1＝－1，x 2＝－3 D ．x 1＝1，x 2＝3 3．选择适当的方法解下列方程： (1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0； (2)x 2－6x －6＝0；(3)6 000(1－x )2＝4 860； (4)(10＋x )(50－x )＝800； (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7. 3．解：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x ) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0， ∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x ＝6±602＝3±15， ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x )2＝4 860， (1－x )2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0. 1. (4)(10＋x )(50－x )＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30. (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4.题型3 一元二次方程根的判别式1．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥23．在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b )＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.题型4 一元二次方程根与系数的关系1．已知方程x 2－32x ＋1＝0，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是( )A ．x 2＋32x ＋1＝0B ．x 2＋32x －1＝0C ．x 2－32x ＋1＝0D ．x 2－32x －1＝02．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．1C ．3或－1D ．－3或13．已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．4．关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1＋x 2－x 1x 2＝1－a ，求a 的值．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a ·2(a ＋1)＞0，即(a －1)2＞0，∴a ≠1，∴a ＝－1.5．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a )2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．题型5 一元二次方程的应用1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x )元，每星期的销量为(300＋20x )件． 根据题意，得(60－x －40)(300＋20x )＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．2．小林准备进行如下操作实验：把一根长为4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，则较长的一段为(40－x ) cm ，由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段为40－28＝12＜28(舍去)．∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m ) cm ，由题意得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.3．某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l (cm )与时间t (s )满足关系：l ＝12t 2＋32t (t ≥0)，乙以4 cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t ＝4时，l ＝12t 2＋32t ＝12×42＋32×4＝14. 答：甲运动4 s 后的路程是14 cm .(2)设它们运动了m s ，根据题意，得12m 2＋32m ＋4m ＝21. 解得：m 1＝3，m 2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .(3)设它们运动了n s 后第二次相遇，根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎫12n 2＋32n ＋4n ＝21×3. 解得n 1＝7，n 2＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .4．如图，某海关缉私艇在C 处发现正北方向30海里的A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行．缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截．缉私艇从C 处到达B 处航行了多少小时？解：设缉私艇航行了x 小时到达B 处．根据题意，得302＋(60x )2＝(75x )2，解得x 1＝23，x 2＝－23(不符合题意，舍去)． 答：缉私艇从C 处到达B 处航行了23小时． 点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答．题型6 新定义问题1．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”． 判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．解：不是．理由如下：解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3.|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”．。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 一元二次方程
一般形式：2 x2＋4 x －126＝0.
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第二十一章
21.1
一元二次方程
一元二次方程
大单元知识体系
单元作业目标
序号
2101
2102
作业目标及对应举例
理解一元二次方程的相关概念，能判断未知数
的值是否是方程的解，如 P 2 T 1
能把一元二次方程化为一般形式，能正确判断
一元二次方程的各项系数，如 P 2 T 7
序号
作业目标及对应举例
理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二
2103 次方程，在探索解法的过程中体会“化归”的
数学思想和“降次”的基本策略，如 P 4 T 7
2104
理解一元二次方程的求根公式的导出过程，掌
握求根公式，如21.2.2 P 4 T 3
序号
2105
作业目标及对应举例
会用公式法解数字系数的一元二次方程，如
P5T6
会用一元二次方程根的判别式判别方程的根的
一元二次方程
定义
内
容
只含有 一 个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是 2 （二次）
的整式方程.
一元二次方程
内
容
ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0），其中
二次项是 ax2 ，一次项是 bx ，
一般形式
常数项是
c
，二次项系数为 a ，一
次项系数为 b .
特殊形式
① ax2＋ bx ＝0；② ax2＋ c ＝0；③ ax2