【数学】2.2.3 待定系数法课件(新人教B版必修1)

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函 数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式， 其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待 定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关 系式的方法叫做待定系数法。
两个一元多项式是分别整理成标准式之 后，当且仅当它们对应同类项的系数相等， 则称这两个多项是相等，如:
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的 对应关系；这种表示方法叫做解析法，这个数学 表达式叫做函数的解析式.如y=3x+1, 3x 2 1 y （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关 系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关 系.
题型一：应用问题
例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试 用适当的方式表示函数y=f(x)． 思考1:该函数用解析法怎样表示？ y 5 x, x {1, 2,3, 4,5} 思考2:该函数用列表法怎样表示？
解得k=3，b=－2. 因此所求的函数是y=3x－2.
总结： 待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数 的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得到 解决。
例3. 已知函数f(x)是一次函数，且有
f[f(x)]=9x+8，求此一次函数的解析式。
例1. 已知一个二次函数f(x)，f(0)=－5， f(－1)=－4，f(2)=5，求这个函数. 解：设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，其中a， b，c待定，
0 0 c 5 根据已知条件得方程组 a b c 4 4a 2b c 5
解方程组得a=2，b=1，c=－5. 因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5.
解： 设该一次函数是y=ax+b,由题意得 f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8.
a2 9 所以有 ab b 8
a 3 a 3 或 解得 b 2 b 4
所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.
a a' 2 2 ax bx c a' x b' x c' b b' c c'
二次函数解析式形式有三种：
（1）一般式： ( 2 ) 顶点式： （3） 两根式：
y a( x h) k (a 0)
2
y a( x x1)( x x2 )( a 0)
1 2
请同学们总结！
y
总结
你学到那些二次函数解析式方法？
已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一 般式。 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选 x 择顶点式。 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通 常选择交点式。
o
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式。
例4. 已知二次函数的图象通过A(2, －3)，
B(－2, －7)，C(4, －7)三点，求该二次函数
的解析式。 解法1：同例题1，设所求函数为f(x)=ax2+bx+c， 列三元方程组求出a=－
1 2
，b=1，c=－3，
1 2 所以二次函数为f(x)=－ x +x－3. 2
评价：通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组， 求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂.
练习： 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元， 试求售出台数x与收款总额y之间的函数关系， 分别用列表法、图象法，解析法
题型二：求函数的解析式
题型二：求函数的解析式
(1)如果已知函数 ( x)的类型， f 求f ( x)的解析式一般利用待定 系数法 若f ( x)为一次函数，则设 ( x) kx b(k 0) f 若f ( x)为正比例函数，则设 ( x) kx(k 0) f
二次函数的解析式。 解： 因为二次函数的图象与x轴交于A(－2,
0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为
f(x)=a(x+2)(x－3)，
将C点坐标(0，－3)代入得
－6a=－3，解得a= .
1 所以二次函数是f(x)= (x+2)(x－3). 2
1 1 即f(x)= 2 x2－ 2 x－3.
1 2－ 5 所以二次函数是f(x)= － (x－1) 2 2
即二次函数为f(x)=－ x2+x－3.
评价：通过利用条件中的顶点和过某一点选用顶点式求解，减 少参数的求解，方法比较灵活 。
1 2
例5. 二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0),
B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0, －3)，求此
例2. 已知f(x)是一次函数，且有2f(2) －
3f(1)=5，2f(0) －f(－1)=1，求这个函数的
解析式.
解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b，其中k， b待定.
2(2k b) 3(k b) 5 根据已知条件得方程组 2b (k b) 1
k b 5 即 k b 1
例4. 已知函数f(x)=x2－4ax+2a+6，若函数的 值域是[0, +∞)，求函数的解析式。 解：因为函数的值域是[0, +∞)，所以
△=16a2－4(2a+6)=0，
3 解得a=－1或a= . 2
所以f(x)=x2+4x+4或f(x)=x2－6x+9.
笔记本数 x 钱数 y
1 5
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
3 15
4 20
5 25
思考3:该函数用图象法怎样表示？
y
25 20 15 10 5 O
1
2
3
4
5
x
思考4:上述三种表示法各有什么特点？
优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律， 二是可以通过解析式 过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值， 缺点是并不是任意函数都可用解析法表示 列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系 图象法可以直观地表示函数局部变化规律 图象可以是有限几个点，也可以是一段或几段直线或曲线
解法2：因为二次函数的图象通过B(－2, －7)，
C(4, －7)两点，所以函数关于直线x=1对称。 设二次函数为f(x)=a(x－1)2+k，将A(2, －3)和 B(－2，－7)坐标代入得方程组
3 a (2 1)2 k 2 7 a (2 1) k
1 a 2 解得 k 5 2