概率统计和随机过程课件第六章 大数定律与中心极限定理

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定理的意义：
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列
的算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.
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§6.2 中心极限定理
定理1 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互 独立，服从同一分布，且有期望和方差：
E ( X k ) , D( X k ) , k 1,2,
2
则 0 有
1 n lim P X k 0 n n k 1
或
1 n lim P X k 1 n n k 1
设 X 为200 台车床的开工数. X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似) 问题转化为求 a , 使
P(0 rX a ) 99.9%
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由于将 X 近似地看成正态分布，故
a 120 0 120 r P (0 rX a ) 48 48 a 120 r 48
有
1 n 1 n lim P X k k 0 n n k 1 n k 1
证明：由chebyshev不等式可得。
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推论： 独立同分布时的 Chebyshev 大数定律
设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立，
且 X 1 , X 2 ,, X n 具有相同的数学期望和方差
用中心极限定理
X 1 P 0.01 0.9624 6000 6
24Biblioteka 例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力

1000 e k!
k
1000
0.937934
5
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , 则
1 5 C6000 6 6 k 941
1059 k
k
6000 k
0.959036
用Poisson 分布近似计算： 取 = 1000
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6
1059

k 941
E ( X ) 1000, D( X ) npq 5000 6
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5000 X ~ N 1000, 6
1 X P 0.01 P X 1000 60 6000 6
1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6 60 60 5000 6 5000 6 60 2 1 0.9624 5000 6
E ( X k ) , D( X k ) 0 , k 1,2,
2
则对于任意实数 x ,
X k n lim P k 1 x n n
n
1
2
x

t
2
e
2
dt
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注： 记
Yn
n
Xk
k 1
0
有
nA lim P p 0 n n
或
nA lim P p 1 n n
9
证 引入随机变量序列{Xk}
Xk 1, 0, 第k次试验A发生 第k次试验A 发生
设 P( X k 1) p, 则 E ( X k ) p, D( X k ) pq
由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
P| X |

2 2
较小. Chebyshev 不等式对于 2 2 无实际意义
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大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
2
x

t
2
e
2
dt
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即对任意的 a < b,
lim P a n b np(1 p ) Yn np 1
a 2
b

t
2
e
2
dt
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 证明：事 实 上 ，
Yn
据二项分布的定义
1 其中Xi 0 事 件 A发 生 事 件 A不 发 生
X ~ B(n,0.75)
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875n
要使
X P 0.74 0.76 0.90 ，求 n n
6
即 P0.74 n X 0.76 n 0.90
即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故

0 120 48
( 17.32) 0
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反查标准正态函数分布表，得

n
Xi
i 1
另 一 方 面 ， E Y n np ,
据 定 理1， 知 结 论 成 立 。
V ar (Y n ) npq
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例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B(6000,1/6)
近似
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比较几个近似计算的结果
用二项分布(精确结果) 用Poisson 分布
X 1 P 0.01 0.9590 6000 6
1 X P 0.01 0.9379 6000 6
1 X 0.01 0.7685 用Chebyshev 不等式 P 6000 6
频率
nA n
与p
nA 有较大偏差 p n
是
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
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定义 设 Y1 , Y2 ,, Yn , 是一系列随机变量，
a 是一常数， 若 0 有
n
lim P Yn a 0
(或
lim P Yn a 1
n
)
则称随机变量序列 Y1 , Y2 ,, Yn , 依概率收敛 于常数 a , 记作
Yn a
P n
故
nA n
p
P n
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在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互
独立的服从 0-1分布的随机变量序列 {Xk} 的 算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立随
E ( X ) 1000, D( X )
1 X P 0.01 6000 6
5000 6
5000
1 62 P(| X 1000 | 60) 60

83 108
0.7685
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实际精确计算：
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6
n

P Yn E (Yn )
1

2

pq n
故
nA lim P p 0 n n
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贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义： 在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率
nA n
“ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指：
X 1 , X 2 ,, X n
1
n
相互独立， n A X k
k 1
n
记 Yn X k , E (Yn ) p, D(Yn )
n k 1
pq n
由Chebyshev 不等式
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nA 0 P p n
P n Xk Xk k 1 E k 1 n n
马尔可夫（Markov） 不等式
设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
P( X ) E( X )


证 仅证连续型随机变量的情形
P( X )



f ( x) dx

x


f ( x)dx

0
1
xf ( x) dx
n
n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
k 1
lim PYn x ( x)
n
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数
Yn ~ N (0,1)
近似
Xk
k 1
n
nYn n
近似服从 N (n , n )
2
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定理2
E( X )
2
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在， 则对于任意实数 > 0,