离散型随机变量及其分布列复习学案张平

离散型随机变量及其分布列复习学案
1、在掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个 的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化。

象这种随着试验结果的变化而变化的变量称为 ，常用字母 、 、 、 …表示。

2、随机变量和函数都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的
3、离散型随机变量：
4、离散型随机变量的分布列：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1,x 2, …,x n
且P(X=x i )=p i ,（i=1,2, …,n ）
i P 的性质：（1）0≥i P (i=1,2,…,n )；（2）1321=+⋯+++n P P P P
5、离散型随机变量的分布列的性质：
（1） （2） 6、求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤:
7、两点分布
8、超几何分布
9、条件概率
设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B/A)= 为事件 发生条件下，事件 发生的 。

10、条件概率的性质
（1） （2） 11、相互独立事件
设A 、B 为两个事件，若P(AB)= 则称事件A,B 为相互独立事件。

则有：P(A B )= ,P(B A ) = ,P(B A )=
12、独立重复实验
13、二项分布
一般地，在n 次独立重复实验中，用X 表示事件A 发生的 ，设每次试验中事件A 发生的概率为p,则P （X=k ）= 。

此时称随机变量X 服
从 ，记作 ，并称p 为 。

14、均值与方差
{},,2,1,)(,,,,21n i p x X P x x x X i i n ===且有的取值集合为
一般地，随机变量 则称E(X)= 为随机变量X 的 ；称D(X)= 的 ，)(X D 为 。

(1)、若Y=aX+b 则E(Y)= ,D(Y)= .
(2)、若X 服从两点分布，则E(X)= ,D(X)= . (3)、若X~B(n,p)，则E(X)= ,D(X)= . 15、正态分布
(1)、我们称曲线为函数=)(,x σμϕ 的图像的曲线为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

(2)、一般地，如果对于任意实数a,b(a<b),随机变量X 满足
P ()=≤<b X a ,
则称随机变量X 服从正态分布，记作 。

(3)、整体曲线的特点：
A.曲线与x 轴的位置关系： ；
B.曲线形状： ；
C.曲线的最值： ；
D.曲线与x 轴之间的面积为 ；
E.当 一定时，曲线位置由 确定，且 越大随机变量X 的 越大，反之越小；
F.当 一定时，曲线的形状由 确定，且 越小曲线越 ，随机变量X 的分布越 ，反之，曲线越 ，随机变量X 的分布越 。

(4)、3σ原则
P ()=+≤<-σμσμX ; P ()=+≤<-σμσμ22X ; p ()=+≤<-σμσμ33X . 【经典例题】
例1 设离散型随机变量X 的分布列为
例2袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球
(1)求得分X的概率分布列(2)求得分大于6分的概率
例3 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。

公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。

若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力
（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望
变式：本题条件不变，4.0
X
P，求实数x的取值范围
(=
)
<x
变式1：某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充
．．．，将频率视
．．至3件，否则不进货
为概率。

(1）求当天商品不进货
．．．的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望
变式：在10件产品中有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
例4 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的
测量数据：
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x,y满足≥
x175，且≥
y75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
⑶从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其数学期望
【巩固练习】
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，求所选3人中女生人数不超过1人的概率
2、设随机变量X 的分布列为3,2,1,)
1()(=+=
=k k k c
k X P ，c 为常数，则)2521(<<X P 的值为
3、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中的女生数，（1）求X 的分布列；（2）求“所选3人中女生数X ≤1”的概率。

4、 袋子中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71
，现在甲乙两人从袋
子中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数。

（1）求袋子中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的分布列；（3）求甲取到白球的概率。

5、从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X 的分布列，并求出P （15
22X ≤≤）的值。

6、某人进行一项试验，若试验成功则停止试验，若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均
失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32
，求此人试验次数的分布列。

7、袋子中有4只红球，3只黑球，今从中随机抽取4只球。

设取到一只红球得2分，取到一只黑球各1分，试求得分 的分布列。

8、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P （AB ），P （A ︱B ）。

9、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。

求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。

10、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，
计算在这段时间内线路正常工作的概率
变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
11、已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
12、种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率； ⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率
13、（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为80
81，试求在一次试验中事件A 发生的概率
（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1
3，求在第n 次才
击中目标的概率 14、（本题满分15分）编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位
学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ.
求随机变量ξ的概率分布； （2）求随机变量ξ的数学期望和方差。

15、已知随机变量X ～2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=则(2)P X >= 。

16、若随机变量X ～()4,10N ,求)144(≤<X P .。