专题十三 点、线、面之间的位置关系 听课手册

点、线、面之间的位置关系1．[2015·广东卷改编] 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l与l1，l2中的________相交．2．[2015·江苏卷改编] 如图13-1所示，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，则DE与平面AA1C1C的位置关系为________．图13-13．[2015·四川卷改编] 如图13-2所示的正方体ABCD -EFGH中，平面BEG与平面ACH的位置关系为________．13-24．[2015·湖南卷改编] 如图13-3所示，直三棱柱ABC - A1B1C1的底面是正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，则平面AEF与平面B1BCC1的位置关系为________．13-35．[2015·湖北卷改编] 如图13-4所示，在四棱锥P - ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，则DE与平面PBC的位置关系为________________．13-46．[2013·湖南卷改编] 如图13-5所示，在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E 在棱BB 1上，且EB 1＝2，则异面直线AC 与C 1E 所成的角为________．13-57．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 如图13-6所示，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设AP ＝1，AB ＝32，则点A 到平面PBC 的距离为________．13-6考点一 点、线、面位置关系的判断2015·浙江卷] 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m (2)如图13-7所示，在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BC ＝AC ，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别为A 1B 1，AB 的中点．给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1.其中正确结论的个数为( )图13-7A ．0B ．1C ．2D ．3[听课笔记][小结] 判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的定义及有关定理．解决具体问题时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例即可．(1)如图13-8所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()图13-8A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条(2)已知直线l，m，平面α，β，且满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点二线、面位置关系如图13-9所示，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(2)求证：AF⊥平面CBF.图13-9[听课笔记][小结] (1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．转化思想在证明平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是常见的方法．(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等．在三棱柱ABC -A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥AC，D，E分别是BB1，A1C1的中点．(1)求证：DE∥平面A1BC；(2)若AB⊥BC，求证：A1B⊥平面ABC；(3)在(2)的条件下，若AB＝BC＝1，BB1＝2，求三棱锥A1­BCC1的体积．图13-10考点三面面位置关系图13-112015·湖南卷] 如图13-11，直三棱柱ABC - A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F - AEC的体积．[听课笔记][小结] 面面存在两种特殊的位置关系：平行与垂直．要证面面垂直，需利用面面垂直的判断定理，转化为证线面垂直；要证面面平行，需在其中一个平面内找到两条相交直线都平行于另一个平面．如图13-12所示，在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝2a，E，F分别是AD，AB的中点．(1)求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；(2)求证：平面AA1C⊥平面BDC1.图13-12考点四高与距离问题如图13-13所示，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB＝4，AA1＝5，M是BB1的中点．图13-13(1)求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C；(2)求点A到平面A1MC的距离．[听课笔记][小结] 求点到平面的距离一般有两种方法：一是过此点直接作到平面的垂线；二是利用等面积或等体积法求距离．高考易失分题12 空间中位置关系的证明与体积、距离问题图13-14范例[2015·广东卷] 如图13-14所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．失分分析(1)不能将点C到平面PDA的距离转化为某几何体的高；(2)期望通过直接作出点到面的距离求解；(3)不熟悉等积等价转化方法，将三棱锥C-PDA的体积转化为三棱锥P -ACD的体积；(4)位置关系证明不到位影响点到面距离的计算．高考预测如图13-15所示，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，PD＝2，DA⊥PB，垂足为A.将△P AD沿AD折起，使得P A⊥AB，得到四棱锥P -ABCD.(1)证明：平面P AD⊥平面PCD；(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P -ABCD分成两个几何体，当这两个几何体体积的比值V多面体PMACDV三棱锥M -ABC＝2时，求点B到平面AMC的距离．图13-15点、线、面之间的位置关系■ 核心知识聚焦1．至少一条 [解析] 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交．2．平行 [解析] 由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC.又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C.3．平行 [解析] 因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH.又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH. 同理BG ∥平面ACH. 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH.4．垂直 [解析] 因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC ，因此AE ⊥平面B 1BCC 1，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.5．垂直 [解析] 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD.又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE. 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ， 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC. 6．60° [解析] 因为EB 1＝2，所以EA 1＝22＋（2）2＝6，所以tan ∠EC 1A 1＝EA 1C 1A 1＝3，得∠EC 1A 1＝60°.因为AC ∥A 1C 1，所以异面直线AC 与C 1E 所成的角就是A 1C 1与C 1E 所成的角，即为60°.7.31313[解析] 作AH ⊥PB 交PB 于点H. 由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH. 因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC. 又AH ＝PA·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.■ 考点考向探究考点一 点、线、面位置关系的判断例1 (1)A (2)D [解析] (1)由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．(2)因为ABC - A 1B 1C 1为直三棱柱，BC ＝AC ，M 为A 1B 1的中点，所以C 1M ⊥A 1B 1，所以C 1M ⊥平面A 1ABB 1，所以①正确．因为AC 1⊥A 1B ，且C 1M ⊥平面A 1ABB 1，所以A 1B ⊥平面AMC 1，所以AM ⊥A 1B ，所以②正确．易知AM ∥B 1N ，C 1M ∥CN ，所以平面AMC 1∥平面CNB 1，所以③正确．故选D .变式题 (1)D (2)C [解析] (1)在AA 1上取一点G ，使得AG ＝14AA 1，连接EG ，D 1G.可证得EG ∥D 1F ，所以E ，G ，D 1，F 四点共面．在平面ADD 1A 1内，平行于D 1G 的直线均平行于平面D 1EF ，故这样的直线有无数条．(2)若l ⊥m ，则α，β可能平行，可能相交，所以充分性不成立； 若α∥β，则l ⊥β，可得l ⊥m ，所以必要性成立．故选C .考点二 线、面位置关系例2 证明：(1)设DF 的中点为N ，连接MN ，AN ，则MN ∥CD ，且MN ＝12CD.又∵AO ∥CD ，且AO ＝12CD ，∴MN ∥AO ，且MN ＝AO ，∴四边形MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN.又∵AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF. (2)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABEF.∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB.又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF.又∵CB ∩BF ＝B.∴AF ⊥平面CBF.变式题 解：(1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF. ∵E 是A 1C 1的中点，∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1.又∵CC 1BB 1，D 是BB 1的中点，∴EF ∥DB ，且EF ＝DB ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE ∥BF ，又DE ⊄平面A 1BC ，BF ⊂平面A 1BC ， ∴DE ∥平面A 1BC.(2)证明：∵AA 1⊥BC ，AB ⊥BC ，且AB ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B.又∵A 1B ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，∴A 1B ⊥平面ABC.(3)由(2)的结论得，A 1B ⊥AB.∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面A 1BC.∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面A 1BC.由B 1C 1∥BC 可知，B 1C 1∥平面A 1BC. ∵AB ＝1＝A 1B 1，AA 1＝BB 1＝2，∴A 1B ＝1， ∴三棱锥A 1 ­ BCC 1的体积V 三棱锥A 1 ­ BCC 1＝V 三棱锥C 1 ­ A 1BC ＝V 三棱锥B 1 ­ A 1BC ＝13S △A 1BC ·A 1B 1＝13×12×1＝16. 考点三 面面位置关系例3 解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1. 又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC. 因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD. 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB. 又三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F - AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612.变式题 证明：(1)连接A 1C 1，交B 1D 1于点M ，设AC 分别交EF ，BD 于N ，P 两点，连接MN ，C 1P.由题意，BD ∥B 1D 1，因为BD ⊄平面EFB 1D 1，B 1D 1⊂平面EFB 1D 1，所以BD ∥平面EFB 1D 1.因为A 1B 1＝a ，AB ＝2a ，所以MC 1＝12A 1C 1＝22a.又因为E ，F 分别是AD ，AB 的中点，所以NP ＝14AC ＝22a ，所以MC 1＝NP.又因为AC ∥A 1C 1，所以MC 1∥NP ， 所以四边形MC 1PN 为平行四边形，所以PC 1∥MN.因为PC 1⊄平面EFB 1D 1，MN ⊂平面EFB 1D 1，所以PC 1∥平面EFB 1D 1. 又因为PC 1∩BD ＝P ，所以平面EFB 1D 1∥平面BDC 1.(2)连接A 1P ，MP.易知A 1C 1∥PC ，A 1C 1＝PC ， 所以四边形A 1C 1CP 为平行四边形．又易知CC 1＝PC ＝2a ，所以四边形A 1C 1CP 为菱形， 所以A 1C ⊥PC 1.因为MP ⊥平面ABCD ，MP ⊂平面A 1C 1CA ， 所以平面A 1C 1CA ⊥平面ABCD.因为BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面A 1C 1CA ， 又因为A 1C ⊂平面A 1C 1CA ，所以BD ⊥A 1C. 因为PC 1∩BD ＝P ，所以A 1C ⊥平面BDC 1， 所以平面AA 1C ⊥平面BDC 1. 考点四 高与距离问题例4 解：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点E ，连接ME ，MC 1，MA. ∵M 是BB 1的中点， ∴MA 1＝MA ＝MC 1＝MC ＝892. 又E 分别是AC 1，A 1C 的中点， ∴ME ⊥AC 1，且ME ⊥A 1C ，∴ME ⊥平面AA 1C 1C.∵ME ⊂平面A 1MC ，∴平面A 1MC ⊥平面AA 1C 1C.(2)过点A 作AH ⊥A 1C 于点H.由(1)知，平面A 1MC ⊥平面AA 1C 1C ，又平面A 1MC ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ，∴AH ⊥平面A 1MC ，∴AH 即为点A 到平面A 1MC 的距离． 在△A 1AC 中，∠A 1AC ＝90°，A 1A ＝5，AC ＝4，∴A 1C ＝41，∴AH ＝5×441＝204141，即点A 到平面A 1MC 的距离为204141.高考易失分题12范例 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA.(2)证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD.(3)取CD 的中点E ，连接AE 和PE.因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD.由(2)知，BC ⊥平面PDC ，由(1)知，BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD.设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥C - PDA ＝V 三棱锥P - ACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.高考预测 解：(1)证明：∵在等腰梯形PDCB 中，DA ⊥PB ，∴在四棱锥P - ABCD 中，DA ⊥AB ，DA ⊥PA.又PA ⊥AB ，DC ∥AB ，∴DC ⊥PA ，DC ⊥DA ，∴DC ⊥平面PAD. ∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD. (2)∵DA ⊥PA ，且PA ⊥AB ，∴PA ⊥平面ABCD.过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ∥PA ，∴MN ⊥平面ABCD.依据题意，V 三棱锥M - ABC ＝13V 四棱锥P - ABCD ，而V 四棱锥P - ABCD ＝13S 四边形ABCD·PA ＝12，∴V 三棱锥M - ABC＝13S △ABC ·MN ＝16. 又易知AC ＝BC ＝2，AB ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝1，∴MN ＝12，∴MN ＝12PA ，∴M 是PB 的中点．由AC ⊥BC ，PA ⊥BC ，得BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC.在Rt △PAB ，Rt △PBC 中，CM ＝AM ＝12PB ＝52，又AC ＝2，故可求得S △MAC ＝64.设点B 到平面MAC 的距离为d ，则由V 三棱锥M - ABC ＝V 三棱锥B - MAC＝13S △MAC ·d ＝16，得d ＝63，故点B 到平面AMC 的距离为63.■教师备用例题[备选理由] 例1是在一个多面体中综合考查线、面平行与垂直的位置关系；例2考查线线垂直及线面平行的位置关系的证明；例3考查线面垂直的判定、面面垂直的性质以及四棱锥体积的计算；例4综合考查线面垂直的位置关系、体积的最值问题以及距离的最值问题．例1(配听课例1使用)在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2AB，F为棱CE上异于点C，E的动点，则下列说法正确的有()①直线DE与平面ABF平行；②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；③存在点F使得直线BF与AC平行；④存在点F使得DF⊥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] C因为AB，DE都垂直于平面ACD，所以DE∥AB，所以DE平行于平面ABF，①正确；当F为CE的中点时，取CD的中点G，连接AG，FG，于是FG∥DE，则AB∥FG，且FG＝AB＝12DE，所以四边形ABFG为平行四边形，则AG∥BF，又AC＝AD，所以AG⊥CD，又DE⊥平面ACD，所以AG⊥DE，所以AG⊥平面CDE，则BF⊥平面CDE，②正确；因为AC与平面CBE交于点C，且BF在平面CBE内，所以直线BF与AC不可能平行，③错误；当F为CE的中点时，由②知，BF⊥平面CDE，则DF⊥BF，又CD＝DE，所以DF⊥CE，于是DF⊥平面CBE，则DF⊥BC，④正确．例2(配听课例2使用)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF ∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．(1)证明：AG⊥CD；(2)若点M在线段AC上，且AMMC＝13，求证：GM∥平面ABF.证明：(1)因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF，又因为EF∥AD，所以AG⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD，又因为CD⊂平面ABCD，所以AG⊥CD.(2)如图，过点M作MN∥BC，交AB于点N，连接NF，GM.因为AM MC ＝13，所以MN BC ＝AM AC ＝14.因为BC ＝2EF ，G 是EF 的中点，所以BC ＝4GF. 又因为EF ∥AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以GF ∥MN ，且GF ＝MN ，所以四边形GFNM 是平行四边形， 所以GM ∥FN.又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以GM ∥平面ABF.例3(配听课例3使用)[2015·陕西卷] 如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1 ­ BCDE.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1 ­ BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC. 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC.(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1 ­ BCDE 的高． 由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1 ­ BCDE 的体积 V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.例4(配听课例4使用)[2015·福建卷] 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P-ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．解：方法一：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点， 所以AC ⊥DO.又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC.因为DO ∩PO ＝O ，DO ⊂平面PDO ，PO ⊂平面PDO ， 所以AC ⊥平面PDO. (2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为 12×2×1＝1. 又因为三棱锥P-ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P-ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC.在三棱锥P-ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC′P, 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C′B ， 所以OC′垂直平分PB ，即E 为PB 中点． 从而OC′＝OE ＋EC′＝22＋62＝2＋62， 亦即CE ＋OE 的最小值为2＋62. 方法二：(1)(2)同方法一．(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以∠OPB＝45°，PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝ 2.所以PB＝PC＝BC，所以∠CPB＝60°.在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在△OC′P中，由余弦定理得，OC′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－2 2×(22×12－22×32)＝2＋3.从而OC′＝2＋3＝2＋6 2.所以CE＋OE的最小值为22＋62.。