2019年高考数学艺术生百日冲刺专题09立体几何初步测试题

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精选最新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题考核题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．若3sin (0)52x x π=--<<，则tan x =_____________.二、填空题3．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．4．把半径为3cm ,中心角为π32的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________．5．在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________（2013年高考上海卷（理））6．空间中可以确定一个平面的条件是 _．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．7．设，，a b g 为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题： ①若,,//,//,m n m n ⊂⊂a a b b 则//a b ； ②//,,l ⊂a b a 若则//l b ； ③,,,//,l m n l m ===若ab bg ga 则 //m n ; ④若⊥⊥a gb g ，，则//a b ；则其中所有正确命题的序号是 ▲ ．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.9．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．10．如图，在边长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上一点，M 是棱D 1C 1上一点，则三棱锥M-DEC 的体积是 ▲11．给出下列命题：DABC1C1D 1A1BD C1A 1B 1C 1D .EBAM.（第6题图）（1）若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；（2）两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；（3）设a 、b 、c 是同一平面内三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ; （4）垂直于同一平面的两个平面平行；（5）若,a b 为异面直线，则过不在,a b 上的任一点，可作一个平面与,a b 都平行．上面命题中，真命题．．．的序号是．12．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 . (2011年高考全国卷理科16)13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,AB BC PA AB BC ⊥==，则PB 与平面ABC 所成的角为_______，PC 与平面PAB 所成的角的正切值等于____________ CBAP14．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。

2019年高考专题：立体几何试题及答案

2019年高考专题：立体几何试题1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．2．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 .【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故417CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为1717. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知∠BEB 1=90°. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==. 作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ．因此DM ⊥CG ．在Rt △DEM 中，DE =1，EM =3，故DM =2．所以四边形ACGD 的面积为4．6．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB ⊥平面PAE ．（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．则FG ∥AB ，且FG =12AB ．因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点，所以CE ∥AB ，且CE =12AB ．所以FG ∥CE ，且FG =CE ．所以四边形CEGF 为平行四边形．所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以CF ∥平面PAE ．7．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知ACBD H =，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥.又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ，又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，所以3DN =.又DN AN ⊥，在Rt AND △中，3sin 3DN DAN AD ∠==. 所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33. 8．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .9．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =23，EG =3.由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===，所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35。

精选最新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考试题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（）（A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC (2006北京文) 一、2．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（）A (2004重庆理)3．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题 ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线 ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）. （1997全国19）4．已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SC ASC ，则棱锥S-ABC 的体积为（）(2011年高考辽宁卷理科12) （A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1二、填空题5．在正方体1111ABCD A B C D -中，既与AB 也与1CC 共面的棱的条数为 ▲6．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ；7．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PAACBDMNP垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①P A ∥平面MOB ；②MO ∥平面P AC ；③OC ⊥平面P AC ；④平面 P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)解析：因为P A ⊂平面MOB ，不可能P A ∥平面MOB ，故①错误；因为M 、O 分别为PB ， AB 的中点，所以MO ∥P A ，得MO ∥面P AC ，故②正确．又圆的直径可知BC ⊥AC ，又 P A ⊥平面ABC ，所以BC ⊥P A ，所以BC ⊥平面P AC ，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC 不可能与平面P AC 垂直，故③错误；由③可知BC ⊥平面P AC ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面P AC ⊥平面PBC ，故④正确．8．已知直线,m n 与平面,αβ，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ；②若//,m n αα⊥，则n m ⊥；③若n m m ⊥⊥,α，则α//n ；若,,//α⊥n n m 则α⊥m ，其中正确．．命题的个数．．是__________； 9．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.10．直角ABC ∆的三个顶点在半径为13的球面上，球心为O ，直角ABC ∆两直角边的长分别为6和8，则三棱锥O ABC -的体积为 .11．如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 2==AD PA ，点E 、F 、G 分别为线段PA 、PD 和CD 的中点.（Ⅰ）求异面直线EG 与BD 所成角的余弦值（Ⅱ）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为45？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由.12．如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，若直线EF 与GH 相交，则它们的交点M 必在直线 ☆ 上．第19题13．用a b c 、、表示三条不同的直线，γ表示平面，有下列四个命题： ①若a //b ,b //c ,则a ∥c ; ②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a c ⊥; ③若a //γ,b //γ,则a ∥b ; ④若a ⊥γ,b ⊥γ,则a ∥b ．其中正确的命题是．14．已知m 、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题： ① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题序号是15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,AB BC PA AB BC ⊥==，则PB 与平面ABC 所成的角为_______，PC 与平面PAB 所成的角的正切值等于____________ CBAP16．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是___________17．已知E F G H 、、、为空间中的四个点，且E F G H 、、、不共面，则直线EF 和GH 的位置关系是_______________18．设m 、n 是不同的直线，a 、b 、g 是不同的平面，有以下四个命题：第6①//////a b b g a g üïïÞýïïþ；②//m m a b ba ü^ïï轣ýïïþ；③//m m a a b b ü^ïï轣ýïïþ；④////m n m n a a üïïÞýïÌïþ，其中假命题是_______（填序号）．三、解答题19．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =．求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD ．20．如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形A DE F 和平面A B CD成直二面角，H G ,是BE DF ,的中点．（Ⅰ）求证：//GH 平面CDE ；（Ⅱ）求证：CDE BD 平面⊥；（Ⅲ）求三棱锥CEF D -的体积．A（第16题）BCD D 1C 1B 1A 121．如图，平面⊥ABDE 平面ABC ，BC AC ⊥，BC AC =，四边形ABDE 是直角梯形，AE BD //，BA BD ⊥，BD AE 2=.O ，M 分别为CE ，AB 的中点. （1）证明：//OD 平面ABC ；（2）在EM 上是否存在一点N ，使得⊥ON 平面ABDE ？若存在，请指出点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，1===BC DC PD ，2=AB ，DC AB //，︒=∠90BCD 。

精选最新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题测试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线(2008浙江理) 2．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为(2011年高考重庆卷理科9) （A（B（C ）1 （D3．线a 、b 和平面α，下面推论错误的是A. b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb a B αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a aC ααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或D b //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα4．过两异面直线外一定点，作直线与两条异面直线分别成60角，这样的直线最多能作AB Pα（第10题）（）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D)无数二、填空题5．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．12 6．设,M N 是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O ，作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为__________7．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是．8．直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M ，则点M 在上9．如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 ▲ 对10．以下5个命题：（1）设a ，b ，c 是空间的三条直线，若c a ⊥，c b ⊥，则b a //；（2）设a ，b 是两条直线，α是平面，若α⊥a ，α⊥b ，则b a //；（3）设a 是直线，α，β是两个平面，若β⊥a ，βα⊥，则α//a ；（4）设α，β是两个平面，c 是直线，若α⊥c ，β⊥c ，则βα//；（5）设α，β，γ是三个平面，若γα⊥，γβ⊥，则βα//. 其中正确命题的序号是．11．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ cm 2．12．已知某四面体的六条棱长分别为，，，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 ▲ ．13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．14．若空间四边形ABCD 的4条边相等，则它的对角线AC,BD 的关系是 15．空间不共面的四点可以确定平面的个数是___________16．已知E F G H 、、、为空间中的四个点，且E F G H 、、、不共面，则直线EF 和GH 的位置关系是_______________17．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 ▲ cm /s ．三、解答题18．【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥第13题图E-ACD 的体积.19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． …………………………… 7分（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分20．（本小题满分14分）如图，四棱锥E －ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ．（1）求证：AB ⊥ED ；（2）线段EA 上是否存在点F ，使得DF ∥平面BCE ？请说明你的理由．21．如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC ,AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））CEABDF（第15（第16题）22．在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC =,D 为AC 中点，点P 在棱1BB 上，且1B P PB λ=. (1)求证：1BD AC ⊥；（2）当λ的值等于多少时，就有平面1PAC ⊥平面11ACC A ？并证明你的结论．23．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知E ，F ，G 分别为棱AB ，AC ，11A C 的中点，090ACB ∠=，1A F ⊥平面ABC ，CH BG ⊥，H 为垂足．求证：(1)1//A E 平面GBC ；(2)BG ⊥平面ACH ．(本小题满分14分)24．如图1所示，在ABC Rt ∆中，6=AC ，3=BC ，︒=∠90ABC ，CD 为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4=CE .如图2所示，将BCD ∆沿CD 折起，使得平面⊥BCD 平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点.（1）求证：⊥DE 平面BCD ；（2）若//EF 平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥DEG B -的体积.ABC 1A1DP1CC 1B 1BH EF GC AA 125．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．26．如图3所示，已知三棱锥A BCD -中，AD BCD ^平面，点M N G H 、、、分别是AB AD DC CB 棱、、、的中点．(1)求证M N G H 、、、四点共面；(2)已知1DC CB AD AB M ===，是球的大圆直径，点C 在球面上，求球M 的体积V ．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．ABCD D 1C 1B 1A 127．正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积.28．直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． (Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．29．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点． (1）求证C 1E ∥平面A 1BD ； (2）求证AB 1⊥平面A 1BD ； (3）求三棱锥A 1－C 1DE 的体积．DACB·· · · M NGH图3EDCB 1C 1A1ABF H15－2证明（解）（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EF//=12A1A．∵C1D//=12A1A，∴EF//=C1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E．∵C1E⊄平面A1BD，DF⊂平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．(2）取BC的中点H，连结AH，B1H，由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝12，∴∠BB1H＝∠CBD．则B1H⊥BD．∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD．(3）∵E为AB的中点，∴1111111211121223A C DE D A EC D AB CV V V---===⨯⨯=30．平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点。

精选最新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））2．已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线 A 只有一条，不在平面α内 B 只有一条，在平面α内C 有两条，不一定都在平面α内D 有无数条，不一定都在平面α内3．平面α与平面β平行的一个充分条件是----------------------------------------------------------（） (A)α内有两条直线与β平行 (B)α内有无数条直线与β平行 (C)α内任一直线与β平行 (D)αβ、都平行于同一直线二、填空题4．，则其外接球的表面积是 . 5．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高位5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 cm ． 6．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3π=∠ABC ,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（1）证明：BD OC ⊥；（2）证明： AD AN ⊥7．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．8．如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明. （2013年高考湖北卷（文））9．长方体的长、宽、高分别为3cm 、2cm 、1cm ，若该长方体的各顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为 10．下列四个命题：①若αα⊂b a ,//则b a //， ②若αα//,//b a 则b a // ③若α⊂b b a ,//则α//a ， ④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b 其中为真命题的序号有 ☆ ．（填上所有真命题的序号）11．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是．（填序号）①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥；第20题图②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ； ④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥则l α⊥．12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值为________．解析：如右图，取DD 1中点M ，连结AM 、MF 、ME ，由AB 綊 CD 綊MF 知四边形ABFM 为平行四边形．∴AM ∥BF ，则AM 与AE 所夹锐角或直角为异面直线所成的角，设AB ＝1，则在△AEM 中AE ＝AM ＝52，ME ＝2， ∴cos ∠MAE ＝AM 2＋AE 2－ME 22AM ·AE ＝15，即异面直线AE 、BF 所成角的余弦值为15.13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．14．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的体积是．15．已知一个凸多边形共有12个面，所有的棱长为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V = ．16．给出下列四种说法：①棱柱的侧棱都相互平行且相等，②用一个平面截一个圆锥得到的两个几何体一定是圆锥和圆台，③面数最少的多面体一定是三棱锥，④五面体一定是三棱柱或三棱台，其中正确的说法是 ▲ ．（填序号）17．如图所示,棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是 362cm三、解答题 18．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD中,a PD PB a AC PA ABC 2,,60====︒=∠，点E 在PD 上，且PE ：ED= 2： 1，(Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(II)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.19．如图，平面四边形ABCD 中，AB BC CD a ===，90=∠B ，135BCD ∠=，沿对角线AC 将ABC ∆折起，使平面ABC 与平面ACD 互相垂直. （1）求证：AB CD ⊥；（2）在BD 上是否存在一点P ，使⊥CP 平面BDCAABD ，证明你的结论；（3）求点C 到平面ABD 的距离.20．如图在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是PC 、PD 的中点. 求证：（Ⅰ）EF ∥平面PAB ；（Ⅱ）平面PAD ⊥平面PDC ．(本小题满分14分)21．如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证： (1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.22．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积；（2）求证：PC//平面BDE ．DCBA（本小题满分14分）23．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1,,AB BC AB BC PB ==⊥与面ABC 所成的角为45，则三棱锥P ABC -的侧面积为24．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90,1,ACB AC CB ∠===11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交于点D ，11B C 的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDM证明：连结1A C ，∵90,ACB ∠=∴BC AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC =1A C BC =，∵D 是侧面11AA B B 的两条对角线的交点，∴D 是1A B 与1AB 的中点，∴CD BD ⊥，连结1B C ，取1B C 的中点O ，连结DO ，则//DO AC ，∵AC ⊥平面1CB ，∴DO ⊥平面1CB ，∴CO 是CD 在平面1B C 内的射影。

精选新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题考核题完整版(含答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四个命题正确的是A 两两相交的三条直线必在同一平面内B 若四点不共面，则其中任意三点都不共线C 在空间中，四边相等的四边形是菱形D 在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形2．正方体各棱所在的直线中，与此正方体的一条对角线异面的共有（）A．2条 B。

4条 C。

5条 D。

6条、是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b--------------------------------3．已知a b（）(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线二、填空题4．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：①的逆命题不正确，如平行四边形，②的逆命题显然是正确的，故逆命题是真命题的是②.30的角，则AB的长等5．点A、B到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB与α成0于_____.6．一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45o，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为 .7．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.8．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______.9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 _________．10．已知一圆柱的侧面展开图是一长和宽分别为π3和π的矩形，则该圆柱的体积是。

精选2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π。

过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 则:''AB A B =(A)A'B'A B βα（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3(2006全国2理)2．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（）（A ）平行（B ）平行和异面（C ）平行和相交（D ）异面和相交3．下列说法中正确的是A 经过两条平行直线,有且只有一个平面直线B 如果两条直线同平行于同一个平面,那么这两条直线平行C 三点唯一确定一个平面D 不在同一平面内的两条直线相互垂直,则这两个平面也相互垂直二、填空题4．如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 ▲ 对5．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，,AC b BC a ==，P 是ABC ∆所在平面外一点，PB AB ⊥，M 是PA 的中点，,AB MC MN PB ⊥⊥于N ，则异面直线MC 与PB 间的距离为________________6．已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4, 求此球的表面积为___________7．正方体的八个顶点中有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为。

8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有________条．解析：在A 1D 1上任取一点P .过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD ＝Q ，连结PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与A 1D 1、EF 、CD 都相交．9．两个相交平面能把空间分成 ▲ 个部分10．已知棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、M 分别为线段BD 1，B 1C 1上的点，若112BP PD =则三棱锥M －PBC 的体积为 ▲11．设γβα,,为两两不重合的平面，m,n,l 为两两不重合的直线，给出下列命题： ①若βαγβγα//,,则⊥⊥； ②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ③若βαβα//,//l l 则，⊂； ④若n m l n m l //,//,,,则γαγγββα=== ．其中真命题的个数是．12．已知某四面体的六条棱长分别为，，，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 ▲ ．13．Rt ABC ∆在平面α内的射影是111A B C ∆，设直角边AB α，则111A B C ∆的形状是三角形．14．空间中可以确定一个平面的条件是 _．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．15．已知三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111B A B C -、1A ABC -的体积分别为2、18，则此三棱台的体积的值等于______________．16．正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1BC 所成的角为 _____17．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号). （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S18．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的正切值为．19．如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于B A ,点）直线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四个命题：(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC (3)OC ⊥平面PAB; （4）PC BC ⊥ 其中正确的命题是 ▲ .(第10题)20．如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，060ABC ∠=，PA AC a ==，PB PD ==,点E 在PD 上，且21PE ED =.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF //平面AEC ？证明你的结论21．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。

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专题9立体几何初步测试题命题报告：1. 高频考点：三视图的认识，几何体的表面积和体积的求解。

2. 考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，每年必考，重点考查三视图和表面积、体积的综合，与球有关的外接和内切问题。

3.重点推荐：基础卷16题，涉及数学文化题的应用，是近几年热点问题；一．选择题1. 所有棱长都为1的正四棱锥的体积是（）A 、23B 、3C 、6D 【答案】：C【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形，所以高为，正四棱锥的底面积为1，所以体积为，故选C.2. 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】 B【解析】先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.3.（2018•黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A． B．C． D．【答案】：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π答案 B解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π. 法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.5. 在棱长为a 的正方体中，P 、Q 是体对角线1A C 上的动点，且2a PQ ，则三棱锥P-BDQ 的体积为（）A 、336aB 、318aC 、324aD 、312a【答案】：A【解析】特殊化处理，让点Q 与C 重合，则三棱锥P-BDC 的体积为所求，因为，由三角形的相似比可得P 到底面BCD，所以3，故选A. 6. （2018•烟台一模）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为的正三角形，PA ，PB ，PC 两两垂直，则球O 的体积为（）A ．B ．C ．3πD ．4【答案】：A7. 长方体的体积为V ，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，则四面体P-CDQ 的体积是（） A 、14V B 、16V C 、18V D 、112V【答案】：D【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a ，BC=b ，1AA c ，则有V=abc ，由题意知，所以112V8. （2018•三明二模）如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是（）A．直线A1C1与AD1为异面直线B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥AC D．三棱锥D1﹣ADC的体积为【答案】：D【解析】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知：在A中，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，BD1⊂平面A1B1C1D1，D1∉直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；在B中，∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正确；在C中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC ⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；在D中，三棱锥D1﹣ADC的体积：==，故D错误．故选：D．9.如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（）A． B． C．D．【答案】A；【解析】：由题意，该八面体的棱长为2，设球O的半径为r，=，解得r=,所以球O的表面积为：4=．故选：A．10. （2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5 B．2C．2D．6【答案】.C11.如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形【答案】D；【解析】：若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH，故A正确；由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；因为EFGH截去几何体EFGHB 1C1后，EH B1C1CF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误．故选：D．12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【答案】：A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V 1=×3×2×2=6，四棱锥的体积V 2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V 1+2V 2=10立方丈=10000立方尺．故选：A ．二．填空题13. 正△AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________.答案 616a 2 解析画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图).D ′为O ′A ′的中点.易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2. 14. 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为．【答案】.13【解析】由题意可知四棱锥A 1-BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和2，四棱锥的高为12A 1C 1=22，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为13×1×2×22=13．故答案为13．15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________.答案 2＋22解析如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 16. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=5，AB=3，BC=4，则阳马C 1﹣ABB 1A 1的外接球的表面积是_______。

【答案】50π【解析】：由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=5，AB=3，BC=4，四棱锥C 1﹣ABB 1A 1的外接球即为直三棱柱的外接球，以AB 、BC 、BB 1为共顶点，画出长方体，如图所示，则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；∴所求的外接球的直径为体对角线2R=AC 1==，∴外接球的表面积是S=4πR 2=π•（2R ）2=50π．三．解答题 17. 已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2，4，4，试求此线段的长度。

【解析】：如图想象出线段1BD 所在的空间几何体是长方体，可得其正视图、俯视图、侧视图分别为，…………3分设长方体三条棱长分别为a ，b ，c ，则有 422=+b a ，，，从而得1BD ＝…………10分18. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？【解析】由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；…………4分正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3).故仓库的容积是312 m 3.…………12分19. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解析】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.…………5分(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.…………12分20. 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.(1)证明因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，…………3分又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .…………6分(2)解 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离.由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，∴V C 1－ABC ＝V A 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.…………12分 21. 如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.【解析】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.…………5分 (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.…………12分 22．（2018•海淀区二模）如图，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为的AB 中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）折叠前，AC ⊥DE ；，从而折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，由此能证明DE ⊥平面PCF ．（Ⅱ）推导出DC ∥AE ，DC=AE ．从而DC ∥EB ，DC=EB ．进而四边形DEBC 为平行四边形．从而CB ∥DE ．由此能证明平面PBC ⊥平面PCF ．（Ⅲ）分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．推导出四边形ENCF 为平行四边形．从而FC ∥EN ．由此推导出平面CFM ∥平面PEN ．【解析】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，又PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PCF，所以DE⊥平面PCF…………………（4分）解：（Ⅲ）存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点．如图，分别取PD和BC的中点M，N．连接EN，PN，MF，CM．因为四边形DEBC为平行四边形，所以．所以四边形ENCF为平行四边形．所以FC∥EN．在△PDE中，M，F分别为PD，DE中点，所以MF∥PE．又EN，PE⊂平面PEN，PE∩EN=E，MF，CF⊂平面CFM，所以平面CFM∥平面PEN．…………………（12分）。