2.离散型随机变量的分布列

例3.随机变量ξ的分布列为 随机变量ξ
ξ p -1 0.16 0 a/10 1 a2 2 a/5 3 0.3
（1）求常数 （2）求P(1<ξ<4) ）求常数a;（ ）
的分布列如下： 例4： 已知随机变量ξ 的分布列如下：
ξ
P
－2
1 12
－1
1 4
1
0
1 3
1
1 12
2
1 6
3
1 12
分别求出随机变量⑴ 的分布列． 分别求出随机变量⑴ η1 = ξ ；⑵ η 2 = ξ 2 的分布列． 2 1 1 3 1 − 、0、 、1、 η1 = ξ 可得 η1 的取值为−1 、 ⑴由 解： 由 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 ∴ η 1 的分布列为： 的分布列为：
例2：某一射手射击所得环数ξ 某一射手射击所得环数ξ
ξ P 4
0.02
的分布列如下: 的分布列如下:
5
0.04
6
0.06
7
0.09
8
0.28
9
0.29
10
0.22
求此射手”射击一次命中环数≥ 的概率 的概率. 求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: 射击一次命中环数 射击一次命中环数≥ 是指互斥事 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事 ξ=7”, ”ξ=8 ξ=8”, ”ξ=9 ξ=9”, ”ξ=10 的和. ξ=10” 件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和.
则 称 随 机 变 量 X 服 从 超 几 何 分 布 ． 为：x H(n,M,N), 记
袋中有个5红球 红球， 个黑球 个黑球， 例7：袋中有个 红球，4个黑球，从 袋中随机取球，设取到一个红球得 袋中随机取球，设取到一个红球得1 取到一个黑球得0分 分，取到一个黑球得 分，现从袋中 随机摸4个球 求所得分数X的概率 个球， 随机摸 个球，求所得分数 的概率 分布列。 分布列。
3 100
,
从100件产品中任取 件，其中恰有 件次品的结果为 件产品中任取3件 其中恰有K件次品的结果为 件产品中任取 k 3− C5 • C95 k 那么从 件产品中任取k 件， 其中恰 那么从100件产品中任取 件产品中任取3件 k 3 C 5 • C 95− 好有K件次品的概率为 好有 件次品的概率为 p( X = k ) = , k = 0,1, 2, 3 3 C100
ξ （1）求袋中原有白球的个数； ）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量 ） 的概率分布； 的概率分布； （3）求甲取到白球的概率。 ）求甲取到白球的概率。
从一批有10个合格品与 个合格品与3个次品的 测1、从一批有 个合格品与 个次品的 产品中，一件一件的抽取产品， 产品中，一件一件的抽取产品，设各个 产品被抽到的可能性相同， 产品被抽到的可能性相同，在下列两种 ξ 情况下， 情况下，分别求出取到合格品为止时所 的分布列。 需抽取次数 的分布列。 （1）每次取出的产品都不放回该产品中； ）每次取出的产品都不放回该产品中； （2）每次取出的产品都立即放回该批产 ） 品中，然后再取另一产品。 品中，然后再取另一产品。
练习： 练习：
1、在射击的随机试验中，令X= 、在射击的随机试验中，
{
0，射中， ，射中， 1，未射中 ，
如
果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列。 果射中的概率为 ，求随机变量 的分布列。 的分布列 2、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机 、设某项试验的成功率是失败率的 倍 去描述1次试验的成功次数 则失败率p等 次试验的成功次数， 变量 ξ 去描述 次试验的成功次数，则失败率 等 于（ C ） A.0
X P 3、两点分布列 、
0 1—p
1 p
象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量 的分 象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分 两点分布列 布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为 服从两点分布 为 布列为两点分布列，就称 服从两点分布，而称 成功概率。 成功概率。
X
0
3 C50C95 3 C100
1 5
1
CC 3 C100
2 95
2 5
2
CC 3 C100
1 95
3
3 0 C5 C95 3 C100
P
4、超几何分布 、
一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取n 件次品的N件产品中 一般地，在含有M件次品的 件产品中，任取 其中恰有X件产品数 则事件{X=k}发生的概 件产品数， 件，其中恰有 件产品数，则事件 发生的概 率为 k n−k
η = aξ
注3 ：
是随机变量， 若 ξ 是随机变量，则 + b 其中 、b是常数）也是随机变量 ． 是常数） （其中a 是常数
3、古典概型: 、古典概型
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。 每个基本事件出现的可能性相等。
例9：袋中装有黑球和白球共 个，从中任 袋中装有黑球和白球共7个
1 取2个球都是白球的概率为 个球都是白球的概率为 7 乙
。现有甲、 现有甲、
两人从袋中轮流摸取1球 甲先取，乙后取， 两人从袋中轮流摸取 球，甲先取，乙后取， ξ 然后甲再取……取后不放回，直到两人中有 取后不放回， 然后甲再取 取后不放回 一人取到白球时即终止， 一人取到白球时即终止，每个球在每一次被 取到的机会是等可能的， 取到的机会是等可能的，用 表示取球终 止时所需要的取球次数。
2.离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列
一、复习引入： 复习引入：
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或 ，（ 随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量 随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量 ）， 叫做随机变量． 叫做随机变量． 随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。 等表示。 随机变量常用希腊字母X
例1：抛掷两枚骰子，点数之和为 ，则ξ可 ：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ， 可 能取的值有： ， ， ， 能取的值有：2，3，4，……，12. ， ξ的概率分布为： 的概率分布为： 的概率分布为
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ｐ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1 6 1 P (ξ = 5) = 6
1 6 1 P (ξ = 6) = 6
P (ξ = 3) =
ξ
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
的所有取值． ⑴列出了随机变量ξ 的所有取值． 的每一个取值的概率． ⑵求出了ξ 的每一个取值的概率．
二、离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 ξ 的所有可能的取值为 x 1 , x 2 , x 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , x i , ⋅ ⋅ ⋅ , 、 ξ 的每一个取值 xi (i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n) 的概率为 P (ξ = xi ) = p i，则称表格
解：⑵由 η 2 = ξ 2 可得η 2 的取值为 的取值为0、1、4、9 由
P (η2 = 0) = P (ξ = 0) =
1 3
P (η2 = 1) = P (ξ = −1) + P (ξ = 1) =
1 12
1 1 1 + = 4 12 3
P (η 2 = 4 ) = P ( ξ = − 2 ) + P ( ξ = 2 ) = 1 + 1 = 1
P (η 2 = 9) = P (ξ = 3) =
∴ η 2 的分布列为： 的分布列为：
12
6
4
η2
0
1 3
1
1 3
4
1 4
9
1 12
P
例 5、在掷一枚图钉的随机试验中 令 在掷一枚图钉的随机试验中,令
1, 针尖向上 X = 0, 针尖向下
如果会尖向上的概率为p,试写出随机变量 的分布列 如果会尖向上的概率为 试写出随机变量X的分布列 试写出随机变量 根据分布列的性质,针尖向下的概率是 解:根据分布列的性质 针尖向下的概率是 根据分布列的性质 针尖向下的概率是(1—p)，于是， ，于是， 随机变量X的分布列是 的分布列是： 随机变量 的分布列是：
在一次英语口语考试中， 例8：在一次英语口语考试中，有备选 道试题， 的10道试题，已知某考生能答对其中 道试题 道试题， 的8道试题，规定每次考试都从备选题 道试题 中任选3道题进行测试 至少答对2道 道题进行测试， 中任选 道题进行测试，至少答对 道 题才算合格，求该考生答对试题数X的 题才算合格，求该考生答对试题数 的 分布列，并求该考生及格的概率。 分布列，并求该考生及格的概率。
m P( A) = n
引例
抛掷一枚骰子，所得的点数 ξ 有哪些值？ ξ 取每个 抛掷一枚骰子， 有哪些值？ 值的概率是多少？ 值的概率是多少？ 的取值有1、 、 、 、 、 解： ξ 的取值有 、2、3、4、5、6 则
1 6 1 P (ξ = 4) = 6
P (ξ = 1) =
P (ξ = 2) =
CM •CN−M P( X = k) = , k = 0,1,2,L, m n CN
其中m = min{M, n}, 且n ≤ N, M ≤ N, n, M, N ∈ N*
称分布列为 超几何分布 X P 0 1
… …
m
m n C M C N− m −M n CN
0 n 1 n CM CN−0M CM CN−1M − − n n CN CN