八年级数学下册 探索勾股定理(第2课时)教案 (新版)新人教版
八年级数学下册 17.1 勾股定理(第2课时)教案 新人教版(2021-2022学年)
勾股定理教学目标（一） 知识与技能:利用勾股定理解决实际问题。
（二)数学思考:从实际问题中抽象出数学模型,利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想。
(三)问题解决:运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题。
（四）情感态度： 1、通过研究一系列富有探究性的问题,培养学生与他人交流、合作的意识和品质。
２、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.教学重点:勾股定理的应用．教学难点：勾股定理在实际生活中的应用。
教具准备:多媒体课件教学时数:4课时教学过程：第 2 课时一、基本训练 激趣导入复习提问1、勾股定理?应用条件?2、证明方法？（面积法)３、在长方形ＡＢCD 中,宽AB 为1m,长ＢＣ为2ｍ,求AC 的长. 答:A Ｃ的长为．ﻬ二、提出目标 指导自学例1、一个门框的尺寸如图所示：(1） 若有一块长３米,宽0。
8米的薄木板,能否从门框内通过? (２) 若有一块长３米，宽1.5米的薄木板,能否从门框内通过?m 5BCDA2m1m CDA2m(３) 若有一块长３米，宽2。
２米的薄木板，能否从门框内通过? 分析:(３) 木板的宽2.2米大于１米,所以横着不能从门框内通过.木板的宽2。
2米大于２米,所以竖着不能从门框内通过． 因为对角线AC 的长度最大，所以只能试试斜着能否通过. 所以将实际问题转化为数学问题．解:（3） ∵在Rt△A BC 中,∠Ｂ=90°∴AC 2=AB 2+ＢC2（勾股定理）∴ＡC≈2。
236∵ＡＣ≈2。
236>2.2∴木板能从门框内通过(书上P ６7填空）小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Ｒt△AB Ｃ，并求出斜边AC 的长．三、合作学习 引导发现例2、如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙ＡO 上,这时AO 的距离为 2.5米．如果梯子的顶端Ａ沿墙下滑 0。
５米，那么梯子底端B 也外移0。
5米吗？（计算结果保留两位小数)分析：要求出梯子的底端Ｂ是否也外移0。
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案
17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。
人教版八年级数学下册 (勾股定理)教育教学课件(第2课时)
形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面
积．
解：如图, AB a2 2a2 5a,
A
BC 2a2 2a2 2 2a,
B
AC a2 4a 2 17a,
∴△ABC即为所求，
C
S△ABC
=2a
4a
1 2
a
2a
1 2
2a
2a
1 2
a
4a
3a 2 .
总结
在数轴上表示 出无理数的点
A
A′
C
B C′
B′
探究
注意
l B AC
变式
归纳
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直 角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交
点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
例题
例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
利用勾股定理 作图或计算
利用勾股定理解 决网格中的问题
通常与网格求线段 长或面积结合起来
利用勾股定理解 决折叠问题及其 他图形的计算
通常用到方程 思想
再见
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想。（重点也是难点）
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°， AB=A′ B ′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A ′B ′C′．
A
A′
C
B C′
B′
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课课件教学(第2课时)
02
重点
A KEY
1、勾股定理的应用。
03
难点
DIFFICUL
1、勾股定理在实际生活中
的应用。
01 学习目标
L
E
A
R
N
I
N
G
O
B
J
E
C
01
情景引入
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板
能否从门框内通过？为什么？
分析:
1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板
【解答】 所画图形如下所示，其中点A即为所求．
名
校
讲
坛
【跟踪训练2】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( B )
A. 5 1
B. 5 1
C. 5 1
D. 5 1
巩
固
训
练
1．如图，一架长为10 m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底
端离墙6 m，如果梯子的顶端下滑了2 m，那么梯子底部
答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高．
02
情景引入
5．如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面
铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？
解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为
52 − 32 ＝4m，
将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向
理数的两个直角边的长度(这个长度的值为正整数)；②画数轴，并在
数轴上以原点为起点画出其中一条直角边，再与以这条直角边的另一
点为起点画第二条直角边，从而画出斜边；③以原点为圆心，以斜边
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
新部编人教版八年级下册数学 《勾股定理(2)》教案
第2题图第1题图B17.1 勾股定理 第二课时一、教学目标1．核心素养:通过探索勾股定理的应用，培养运算能力、逻辑推理能力和应用意识，并逐步渗透模型思想． 2．学习目标（1）利用勾股定理解决生活中的实际问题.（2）通过添加辅助线，构造直角三角形利用勾股定理解决问题. 3．学习重点 运用勾股定理解决问题4．学习难点如何构造直角三角形利用勾股定理解决问题 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务阅读教材P25，思考：勾股定理在生活中有哪些应用？怎样将生活中的实际问题转化为数学问题？ 2．预习自测1.如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得BC=60m ，AC=20m,求A ，B 两点间的距离（结果保留根号）2.如图，在平面直角坐标系中有两点A 和B.求这两点之间的距离.预习自测参考答案1.2.（二）课堂设计1．知识回顾（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则.（2）公式的变形：b2 = c2-a2 →b =； a2 = c2-b2 →a =.（3）利用勾股定理可解决已知直角三角形的两边长，求第三边的问题.2．问题探究问题探究一利用勾股定理解决实际问题●活动一初步应用例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】详解：根据勾股定理，. 所以点拨:此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过.而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC，再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解.例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？例2图【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】详解：在Rt△AOB 中，根据勾股定理，所以OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理，，错误！未找到引用源。
17.1勾股定理(第2课时)教学设计 2022—2023学年人教版数学八年级下册
17.1勾股定理（第2课时）教学设计一、教学目标1.理解勾股定理的定义和含义；2.掌握应用勾股定理解决直角三角形的边长问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学准备1.教师准备：黑板、白板笔、投影仪；2.学生准备：教科书、练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和引入相关问题，调动学生的思维，激发学生的学习兴趣。
例如：教师：大家知道什么是勾股定理吗？在什么情况下可以使用勾股定理来求解问题呢？学生：勾股定理是直角三角形中比较重要的一条定理，可以求解直角三角形的边长问题。
教师：非常好！那我们今天就来学习一下关于勾股定理的内容。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示相关的图像和公式，结合具体例子，向学生讲解勾股定理的定义和含义。
教师：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腰边的平方之和。
表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
教师在黑板上写出勾股定理的表达式，并提出问题。
教师：如果一个直角三角形的一条直角边的长度为6，另一条直角边的长度为8，那么斜边的长度是多少？学生：斜边的长度应该是10。
教师：非常好！你是如何求解的呢？学生：根据勾股定理，6² + 8² = c²，解方程可得c = 10。
3. 计算练习（15分钟）教师提供一些计算练习，并让学生根据所学内容解答。
教师可以帮助学生解答疑惑，并对解答正确的学生进行表扬和奖励。
示例练习1：已知一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
示例练习2：已知一个直角三角形的斜边长度为5，直角边长度为4，求另一条直角边的长度。
4. 综合应用（15分钟）教师提供一些综合应用题，帮助学生将勾股定理应用于实际问题的解决过程中。
教师引导学生分析问题、提炼关键信息，并通过分组讨论的形式进行解答。
示例题1：甲、乙两人站立在直线上，甲人离地面的高度为3米，乙人离地面的高度为4米。
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探索勾股定理（第2课时）课题: 探索勾股定理（第2课时）
教学目标
知识与能力：进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
过程与方法：体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、难点重点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用难点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用
学情分析
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
课前
准备
多媒体
教学
过程
教师活动学生活动设计意图勾（1）你能用直角三角形学生尝试总结：勾股定理1．让学生归纳
股定理的简单应用
课堂小结布置作业的边长、、来表示上图中正方
形的面积吗？
（2）你能发现直角三角
形三边长度之间存在什么关
系吗？
（3）分别以5厘米、12
厘米为直角边作出一个直角
三角形，并测量斜边的长度．
2中发现的规律对这个三角
形仍然成立吗？
例如图所示，一棵大树
在一次强烈台风中于离地面
10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处. 大
树在折断之前高多少？
练习：1、基础巩固练习
：
求下列图形中未知正方
形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部
29英寸（74厘米）的电视机.
小明量了电视机的屏幕后，发
现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员
（gou-gu theorem）：
如果直角三角形两直角
边长分别为、，斜边长为，那
么
即直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我
国最早发现的，中国古代把直
角三角形中较短的
直角边称为勾，较长的直
角边称为股，斜边称为弦，“
勾股定理”因此而得名。
（在西方称为毕达哥拉
斯定理）
学生独立完成
学生口答完成
在学生自由发言的基础
上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：如
果直角三角形两直角边长分
别为a、b，斜边长为c，那么。
2．方法：①观察—探索
—猜想—验证—归纳—应用；
②面积
法；
表述结论，可培养
学生的抽象概括能
力及语言表达能力。
2．通过作图培养学
生的动手实践能
力。
练习第1题是
勾股定理的直接运
用，意在巩固基础
知识。
例题和练习第2
题是实际应用问
题，体现了数学来
源于生活，又服务
于生活，意在培养
学生“用数学”的
意识．运用数学知
识解决实际问题是
数学教学的重要内
容
鼓励学生积极
大胆发言，可增进
师生、生生之间的
交流、互动。
效果：通过畅
谈收获和体会，意
在培养学生口头表
达和交流的能力，
搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。
作业：1．教科书习题17.1第1题；
2．阅读《读一读》——勾股世界；
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
③“割、
补、拼、接”法.
3．思想：①特殊—一般
—特殊；
②数形
结合思想。
增强不断反思总结
的意识。
课后作业设计
包括了三个层面：
作业1是为了巩固
基础知识而设计；
作业2是为了扩展
学生的知识面；作
业3是为了拓广知
识，进行课后探究
而设计，通过此题
可让学生进一步认
识勾股定理的前提
条件。
板书设计
勾股定理2
一勾股定理
例1如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
练习1,
练习2
课后反思。