随机变量及其分布测试题

合集下载

随机变量及其分布习题

第二章随机变量及其分布习题一、填空题1. 设随机变量ξ的分布律为NaK P ==)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。

2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率分布为。

3.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。

4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ⎝⎛≥+<≤-<≤--<=221321110)(x b a x a x ax x F ，且21)2(==ξP ，则___________________,______,的分布律为ξ==b a5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(2x x kex f x则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则________)2(______,)5(=≤==ξξP P7. 设随机变量ξ的概率密度为8)1(2)(--=x kex f （+∞<<∞-x ），则=k 。

8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x f x，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y ηϕ 10. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧>><<=其他)0,0(,10)(k b x kx x f b，且________________,,75.0)21(===>b k P 则ξ 二、选择题1 .kk p x P 2)(==ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（）（A ）k x 非负（B ）k x 为整数（C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（）一定成立（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负(D) )(x f 在），（∞∞-内连续 3.如果)(x F 是（），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（）（A ）非负函数（B ）连续函数（C ）有界函数（D ）单调减少函数 4.下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的分布函数(A))(x F = ⎩⎨⎧≥<010x x e x（B ）G(x)= ⎩⎨⎧≥<-01x x e x(C)=Φ)(x ⎩⎨⎧≥-<0100x ex x(D) H(x)= ⎩⎨⎧≥+<-0100x ex x5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他11),(22y x y x f π则ηξ与为（）的随机变量（A ）独立同分布（B ）独立不同分布（C ）不独立同分布（D ）不独立也不同分布三、计算题1. 掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。

(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)

一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ．参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）．附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ．【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率．【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．（2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误；由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】（1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭，即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=，解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案．【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=；（2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。

深圳华师一附中实验学校选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭2．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．73．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（）A ．3881B ．139C ．152243D ．52274．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（） A ．37B ．1237C ．1219D ．16215．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（）A ．45B ．56C ．1315D ．2156．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．597．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（） A ．17B ．18C ．114D ．3148．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A ．1320B ．920C ．15D ．1209．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（） A ．2B ．52C ．94D ．410．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,3611．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（） A ．8225B ．12C ．34D ．3812．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9二、填空题13．中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元.14．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率(A |B)P 等于______.16．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________17．下表是随机变量X 的分布列，其中a ，b ，c 成等比数列，23a c b +=，且a ，b ，c 互不相等.则()D X =__________．18．袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.参考答案三、解答题19．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A 、B 两地游玩，因目的地A 地近，B 地远，特制定方案如下：若甲同学去A 地玩，乙、丙同学去B 地玩，选择出行方式相互独立．（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；（2）求三名同学总得分X 的分布列及数学期望EX ．20．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）21．某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用 A 款APP72人 48人 40人 80人 B 款APP60人60人84人36人（1）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率､该企业女职工使用A 款APP 的概率；（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B 款APP 的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A 款APP 的男､女用户占比情况和使用B 款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.22．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩，2362σ=，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量()1n n >，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第()1,2,,k k n =题时扣掉0.2k 分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n 题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n 应为多少？19≈，若()2~,z Nμσ，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P x μσμσ-<≤+=，()330.9974P x μσμσ-<≤+=）．23．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立．（1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．24．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）两次取出的零件均为一等品的概率．25．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .26．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为23，使用共享单车的概率为13.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立. （1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，n *∈N )，试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++，因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.2．B解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.3．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +=== 故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、()6,6，共4个∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个()26133618P AB ∴==，()30153618P A == ()()()131318151518P AB P B A P A ∴=== 故选：C【点睛】本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.6．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯=()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.9．C解析：C 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值.【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p ，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭，当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知：数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=，选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜）， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜），故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．二、填空题13．1【分析】求出此人中奖和不中奖的概率利用期望的公式即可求得数学期望得到答案【详解】由题意此人中奖的概率为不中奖的概率为所以此人随机投注一次他的奖金的期望为：元故答案为：1【点睛】本题主要考查了离散型解析：1 【分析】求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案. 【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题.14．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+；【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a b a b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值．【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】本题利用条件概率公式求解【详解】至少出现一个5点的情况有：至少出现一个5点的情况下三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点则另两个点数只能是4和6共有；②恰好出现两个5点则另一个点数也解析：113【分析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解．【详解】至少出现一个5点的情况有：336591-=，至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===，故答案为：113. 【点睛】本题考查条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想．16．105【解析】分析：先判断概率分别为二项分布再根据二项分布期望公式求结果详解：因为所以点睛：解析：105. 【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果. 详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-17．【解析】分析：由题意首先求得实数abc 的值然后利用期望公式求得期望值最后结合求得的期望值求解方差即可详解：由题意可得：解得：或互不相等则：分布列为：故其方差为：点睛：本题主要考查解析：5249【解析】分析：由题意首先求得实数a ,b ,c 的值，然后利用期望公式求得期望值，最后结合求得的期望值求解方差即可.详解：由题意可得：2231b ac a c b a b c ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得：131313a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或472717a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.a ，b ，c 互不相等，则：421,,777a b c ===，分布列为：故()0777E X =-++=-，其方差为： ()2222422215210277777749D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的计算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列： 0 1 2 3 4 P ∵∴即a=2∴∵故答案为11 解析：11【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列：()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，∵2,()1a E ηξη=-= ，∴3122a =⨯- ，即a=2，∴22,()1E ηξη=-= ，22222131113331311()234222021022020524D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∵11()4()4114D D ηξ==⨯= . 故答案为11.三、解答题19．（1）736；（2）分布列见解析，1225=EX ．【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解EX . 【详解】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率2123111274343336P C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：1111(0)43336P X ==⨯⨯=；1231112173(1)4334363==⨯⨯+⨯⨯⨯=P X C ；21221124(2)4393343⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭P X C ；3221(3)4333==⨯⨯=P X ．故X 的分布列为：所以360123369312=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．【点睛】本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题. 20．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列；（3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34，这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.21．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=，同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=；（2）X 的可能取值为0，1，2，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3112535P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 的数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=；（3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112≈%；女用户占4035.7112≈%，样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144≈%；女用户占8458.3144≈%， ∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 22．（1）813，（2）91，（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7．【分析】（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：53，则53μ=，由2362σ=，得19σ=，从而(91)(2)P Z P Z μσ=+，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，求出E ξ，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=，求出EX ，为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：20.1()n n +，设甲答完n 题的分数为()M n ，则2()1000.1() 1.5M n n n n =-++，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n 的值．【详解】解：（1）样本成绩不低于60分的学生有()0.01250.00752010040+⨯⨯=人其中成绩不低于80分的有0.00752010015⨯⨯=人则至少有1人成绩不低于80分的概率2252408113C P C =-=（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为100.1300.2500.3700.25900.1553⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以53μ=，2362σ=，所以19σ=所以()~53,362Z N ，则()()()191210.95440.02282P Z P Z μσ≥=≥+≈-= 故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022*******⨯≈人（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，且0.75E n ξ=，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=， 2 1.5EX E n ξ∴==，依题意为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：20.2(123)0.1()n n n ⨯+++⋯+=+，设甲答完n 题的分数为()M n ，则22()1000.1() 1.50.1(7)104.9M n n n n n =-++=--+，由于*n N ∈，∴当7n =时，()M n 取最大值104.9，即复赛成绩的最大值为104.9．∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7．【点睛】本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力． 23．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望. 【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()48E X =．【点睛】关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率. 24．（1）715；（2）0.22. 【分析】（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3，记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，利用条件概率和全概率公式可求得所求事件的概率；（2）求出()121P B B A 、()122P B B A 、()123P B B A ，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3，记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，由题意知1A 、2A 、3A 构成完备事件组，且()()()12313P A P A P A ===， ()11200.450P B A ==，()12120.430P B A ==，()13240.640P B A ==，由全概率公式得()()()()()()()()1111212313170.40.40.6315P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯++=；（2）因为()22012125038245C P B B A C ==，()21212223022145C P B B A C ==，()2241232402365C P B B A C ==，由全概率公式得()()()()()()()12112121223123P B B P A P B B A P A P B B A P A P B B A =++13822230.22324514565⎛⎫=⨯++≈ ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用条件概率和全概率公式计算事件的概率，解本题的关键在于确定一等品是从哪个箱子里取出的，再结合相应的知识求解.25．19218【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 26．（1）分布列答案见解析，数学期望：5；（2）1213n n B B -=-+，13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据题意，得到总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其数学期望；（2）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得出1213n n B B -+=，结合等比数列的定义，得到35n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，则总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6，则3311(3)C 327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12132162(4)C 33279P ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 122312124(5)C 33279P ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(6)C 327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以ξ的分布列为所以数学期望8()34565279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，其中113B =. 因为1213n n B B -+=，即1213n n B B -=-+，所以1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则35n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为134515B -=-，公比为23-的等比数列，所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.。

数学：第二章《随机变量及其分布》测试(1)(新人教A版选修2-3)

高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（）Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（）Ａ．706元Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元答案：Ａ二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果．则该公司一年后估计可获收益的均值是元．答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人．解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ，则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤．设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ．解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤．（2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．（1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值．解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=．（1）由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···．（2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。

第二章《随机变量及其分布》练习题

第二章《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望113161236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。

随机变量及其分布综合测试题一

随机变量及其分布综合测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2B ．8C ．18D ．202．离散型随机变量X 的概率分布列如下,则c 等于( ) A ．0.1B ．0.24C ．0.01D ．0.763．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454n 、p 的值分别是( ) A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，344．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.87．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( ) A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.58．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( ) A ．恰有1只是坏的 B ．4只全是好的 C ．恰有2只是好的 D ．至多有2只是坏的9．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数1X~B 5,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k5-k513P(X=k)=C ?44k ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭取最大值时k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53B.73 C ．3D.11312．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )X 1 2 3 4 P0.20.30.4c自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.14．一离散型随机变量X的概率分布列如下所示，且E(X)＝1.5，则a－b＝________.X 012 3P 0.1 a b 0.115．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)[答案]4 716．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．21.(本题满分12分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．22． (2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率； (2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.选修2-3第二章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20[答案] C;[解析] D (3X ＋2)＝9D (X )＝18.2．离散型随机变量X 的概率分布列如下,则c 等于( ) A ．0.1B ．0.24C ．0.01D ．0.76[答案] A[解析] c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454n 、p 的值分别是( ) A ．50，14 B ．60，14 C ．50，34D ．60，34[答案] B4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74%D ．31.74%[答案] B5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π[答案] C;[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点⎝⎛⎭⎫10，12知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π. 6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.8[答案] B[解析] 本题考查了方差及平均值的概念，数据设置便于运算属基础题，可各减去90，得0,0,3,4,3.3＋4＋3＋0＋05＝2，∴平均数为92，方差(2－0)2＋(2－0)2＋(2－3)2＋(2－4)2＋(2－3)25＝2.8，选B. 7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( ) A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5 [答案] D;设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概X 1 2 3 4 P0.20.30.4c率为P(A B＋A B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为() A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的[答案]C; [解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝C k7C4－k3C410k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝130，P(X＝2)＝310，P(X＝3)＝12，P(X＝4)＝16，∴选C.9．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为()A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)[答案] B[解析]每天平均使用的终端个数X～B(n，p)，每天平均使用的终端个数值即E(X)＝np，故答案选B.10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数1X~B5,4⎛⎫⎪⎝⎭，则k5-k513P(X=k)=C?44k⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值时k的值为()A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2.又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为() A.53 B.73C．3 D.113[答案]C12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4[答案] C [解析]A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7. A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.∴选方案A3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. [答案] 503 [解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16，∴E (X )＝100×16＝503.14．一离散型随机变量X 的概率分布列如下所示，且E (X )＝1.5，则a －b ＝________.X 0123P0.1 a b 0.1[答案] 0[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0.8a ＋2b ＋0.3＝1.5∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.4b ＝0.4 ∴a －b ＝0. 15．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)[答案] 47[解析] 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力．由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25； ②P (B |A 1)＝511； ③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件； ⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] 由条件概率知②正确．④显然正确．而且P (B )＝P (B ∩(A 1∪A 2∪A 3)) ＝P (B ∩A 1)＋P (B ∩A 2)＋P (B ∩A 3)＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922. 故①③⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．[解析] 取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差，可先求X 的分布列．P (X ＝1)＝15＝0.2， P (X ＝2)＝45×14＝0.2， P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2， P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2. 于是，我们得到随机变量X 的分布列X 1 2 3 4 5 P0.20.20.20.20.2由随机变量的均值和方差的定义可求得：E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2 ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D (X )＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. [点评] 把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是15，∴P (X ＝k )＝15，k ＝1、2、3、4、5. 18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率； (2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．[解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C 13×78×⎝⎛⎭⎫182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为⎝⎛⎭⎫783，所以有坑需要补种的概率为1－⎝⎛⎭⎫783≈0.330.19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值． [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38. Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以X ～B (3,0.3)，故E (X )＝np ＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ，则 P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.3，所以P (X ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝3)＝0.33＝0.027. 于是，E (X )＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X＝1)＝1－P (X ＝2)＝34X 的分布列为：21.(本题满分12分)2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 25＝20. 又μ(A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35. (2)因为μ(AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310.(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.解法二：因为μ(AB )＝6，μ(A )＝12，所以P (B |A )＝μ(AB )μ(A )＝612＝12.22．(本题满分14分)(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.[分析] 本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．解决的关键是理解题意，对于(1)问可借助对立事件解决，第(2)问的关键是分清每种情况的含义．[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝1324.(2)ξ可能取2,3,4，则P (ξ＝2)＝14×12＝18；P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38； P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12，所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。

第二章随机变量及其分布练习题

第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是〔〕Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于〔〕Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X ＋2)的值为 ( )．A.113 B ．9 C.133 D.734．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为〔〕Ａ．abＢ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.005 6．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于〔〕Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()．A.35 B.25 C.110 D.598．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)＝()．A.18 B.14 C.25 D.129．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.假设μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( ) A．0.135 9 B．0.135 8C．0.271 8 D．0.271 611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜．依据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：处字迹模糊，但能断定这两个“？〞处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，假设该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，假设中奖，商场返回忆客现金100元．某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发觉，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0．13 0．35 0．27 0．14 0．08 0．02 0．01 0 0〔1〕假设这段时间内，公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供给商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，假设3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)假设该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)假设该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件，当天营业结束后检查存货．假设发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。

高中数学第二章随机变量及其分布学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( C )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5X ，其中梅花的X 数服从超几何分布[解析] 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C ．2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( C )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[解析] 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111．3．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( A )A ．35 B ．815 C ．1415D ．1[解析] 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5．4．(2018·全国卷Ⅱ理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A ．112B ．114C ．115 D ．118[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115．故选C ．5．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04[解析] 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( C )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的[解析]X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310， P (X ＝3)＝12， P (X ＝4)＝16，∴选C ．7．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2，…，10x n 的方差为( C )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10[解析] 因为数据ax i ＋b i (i ＝1,2，…，n )的方差是数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差的a 2倍，所以所求数据方差为102×0.01＝1.故选C ．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4·(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．指出下列随机变量是离散型随机变量的是( AB ) A ．小明回答20道选择题，答对的题数 B ．某超市5月份每天的销售额C ．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差XD ．某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X 围内变化，该水位站所测水位X [解析] A 项，小明回答的题数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量；B 项，某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量；C 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，D 项，不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X 围内变化，不能按次序一一列举．故选AB ．10．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法中正确的是( ABC )A ．曲线C 2仍然是正态曲线B ．曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2D ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的方差大2 [解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标(即正态密⎭⎪⎫度函数的最大值12πσ不变，方差σ2也没有变化．设曲线C 1的对称轴为x ＝μ，那么曲线C 2的对称轴为x ＝μ＋2，说明期望从μ变到了μ＋2，增大了2．11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ACD )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12[解析] 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立；在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；在D中，2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( AD )A ．P (B )＝2330B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．事件B 与A 2事件相互独立D ．A 1，A 2互斥[解析] 由题意知P (A 1)＝35，P (A 2)＝25，P (B )＝P (B |A 1)＋P (B |A 2)＝35×56＋25×46＝＝2330，A 正确；又P (A 1B )＝12，因此P (A 1B )≠P (A 1)P (B )，B 错误；同理，C 错误；A 1，A 2不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则a ＝__0.2__，E (ξ)＝__1.8__.[解析] ；E (ξ)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B |A )＝__23__．[解析] 由条件知，P (A )＝34，P (AB )＝C 23C 24＝12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝23．15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．16．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__625__.(用数字作答)[解析] 由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)．{a n }的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23(25)2(12)1＝625．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23． P (B )＝1－P (B )＝13．(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49．(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127． 18．(本题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．[解析] (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．19．(本题满分12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.[解析]E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81．工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61．由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )． [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518．(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142．因此X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2． 21．(本题满分12分)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为X ，Y ． (1)写出X 的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (X )，E (Y )；(2)求D (X )，D (Y )．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛． [解析] (1)X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×5＝2．由题意得，Y ～B (3，23)，E (Y )＝3×23＝2．(2)由(1)得E (X )＝E (Y )．D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25．∵Y ～B (3，23)，∴D (Y )＝3×23×13＝23．∴D (X )<D (Y )．因此，建议该单位派甲参加竞赛．22．(本题满分12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．[解析] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的可能取值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115综上知，X 的分布列为：故E (X )＝0×715＋1×15＋2×15＝5．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件．答案：C2．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ( )解析：A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为222(2)4(2)4r r r ππ--=，D 游戏盘的中奖概率为221r r ππ= ，A 游戏盘的中奖概率最大．答案：A3．[理]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数 C 12·C 34＋C 22·C 24＝2×4＋1×6＝14. 法二：从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.答案：A4.[文]在△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内任投一点．那么点落在△ABD 内的概为( )解析：因为D 是BC 的中点，所以S △ABD ＝12S △ABC ，所以点落在△ABD 内的概率为12. 答案：B5．[理](2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 24＝70种．答案：A6.[文]两个骰子的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为 ( )解析：共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P ＝1936. 答案：C7．[理](2009·重庆高考)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4的系数是 ( )A ．16B ．70C ．560D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k⎝⎛⎭⎫2x k ＝2k C k 8x 16－3k .由16－3k ＝4，得k ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D[文]某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ( )解析：P ＝5－25＝35. 答案：B8.若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．9 B ．10 C ．6 D ．8 解析：由已知得4x ＋1y ＝1(x >0，y >0)，∴x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋xy )≥9. 答案：A9．[理]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C (A ，B ，C 互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ( ) 解析：P ＝7×68×7×6＝18. 答案：B10.[文]一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 ( )解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块．∴概率为8×121 000＝12125. 答案：D11．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P =2.142222ABC S S ππ∆==⨯半圆答案：D12．[理]在(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n ＝ ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k ＋1项T k ＋1＝C k n 2()n k x－·(－1x )k＝C k n 23(1)k n kx －－应有2n －3k ＝0，∴n ＝3k2，而n 是正整数，故k ＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k ＝4，n ＝6. 答案：D13.[文]已知直线y ＝x ＋b 的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是 ( )解析：P ＝2－12－(－3)＝15.答案：A14．[理]用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ( )A ．40B ．60C ．80D ．10解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A 22A 22＝4(个)，当2不在个位时，共有A 12·A 12·A 22·A 22＝16(个)，所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数．同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是40. 答案：A15.[文]若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为（）解析：P ＝510＝12. 答案：D16．[理]口袋中有4个白球，n 个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于，则n 的最小值为 ( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16解析：由已知条件可得C 24＋C 2nC 2n ＋4>，解之得n >12或n <1(舍去)，∴n 的最小值为13.答案：A17.[文]一个坛子里有编号为1,2…，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )解析：从12个球中任取两个的做法有66种．∴取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做法共有15－3＝12种， ∴P ＝1266＝211. 答案：D18．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是()解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C15A25＝100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b2≥4ac，当c＝0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A25个，当c≠0时，若b＝3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b＝4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b＝5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.答案：A19.[文]若－1≤a≤1，－1≤b≤1，则方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率等于()解析：方程x2+2ax+b2=0有实根时，应有4a2-4b2≥0，即|a|≥|b|，当-1≤a≤1，-1≤b≤1时，(a，b)对应的区域是一个正方形，满足|a|≥|b|的(a，b)对应的区域是如图所示的阴影部分，画出图形可得：P=1 . 2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 1．在平面直角坐标系x O y中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P=21. 4416ππ⨯=⨯答案：16π2．[理](2009·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝________，b＝________.X－1012P a b c 1 12解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a ·1＋c ·1＋112×22＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.答案：512 143.[文]如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =7.现在向该矩形内随机投一点P ，则∠APB >90°时的概率为 .解析：P =215()522.3556ππ⨯=答案：556π 4.．[理](2010·安徽师大附中模拟)a ＝0π⎰ (sin x ＋cos x )d x 则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2的项的系数是________．解析：a ＝0π⎰ (sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )|π0 ＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0) ＝(0＋1)－(0－1)＝2. 又∵T r ＋1＝C r 6(a x )6ra － (－1x)r＝C r 6 6ra － (－1)r x (6－r 2－r2) ＝C r 6 6ra－ (－1)r 3rx－.由3－r ＝2，解r ＝1，∴x 2项的系数为－C 16a 5＝－192.答案：－1925.[文]如图所示，a ，b ，c ，d 是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为 .解析：上个开关任意闭合2个，有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 共6种方案，电路被接通的条件是：①开关d 必须闭合；②开关a ，b ，c 中有一个闭合即电路被接通有ad 、bd 和cd 共3种方案，所以所求的概率是31.62=答案：126．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．解析：由题意知m ＝b a ，e ＝1＋m 2，仅当m ＝1或2时，1<e <3，∴e >3时的概率P ＝79. 答案：79三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)7．(本小题满分12分)设A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x ，y ∈N *}． (1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率； (2)从A 中任取一个元素，求x ＋y ≥10的概率； (3)[理]设Y 为随机变量，Y ＝x ＋y ，求E (Y )．解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ，则P (B )＝136，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为136.(2)设从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的事件为C ，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P (C )＝16，所以从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的概率为16. (3)[理]Y 可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. P (Y ＝2)＝136，P (Y ＝3)＝236，P (Y ＝4)＝336， P (Y ＝5)＝436，P (Y ＝6)＝536，P (Y ＝7)＝636， P (Y ＝8)＝536，P (Y ＝9)＝436，P (Y ＝10)＝336，P(Y＝11)＝236，P(Y＝12)＝136.则E(Y)＝2×136＋3×236＋4×336＋5×436＋6×536＋7×636＋8×536＋9×436＋10×336＋11×236＋12×136＝7.8．(本小题满分12分)如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于82的概率．解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P＝310. (2)连结MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD＝22，当S点在线段MP上时，S△ABS=12×2×2，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于2，而S阴影=S扇形OMP-S△OMP=12×2π×42-12×42=4π-8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于2的概率P=482. 82ππππ--=9．[理](本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名．(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C 48＋C 38C 12种选法．工人的配置合理的概率C 48＋C 38C 12C 410＝1315.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C 121315(1－1315)＝52225.10.[文](本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)， (4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2+y 2≤10上的点P 的坐标有： (0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种．故点P 落在区域C ：x 2+y 2≤10内的概率为49. (2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25. 11．[理](本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求X 的分布列及其数学期望．解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．它们是等可能的．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种； B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P (M )＝72420＝635. (2)随机变量X 的取值分别为0,1,2.则当X ＝0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，若A 、D 为同色时，共有4×3×2×1×2＝48种；若A 、D 为不同色时，共有4×3×2×1×1＝24种；即X ＝0所包含的基本事件有48＋24＝72种，所以P (X ＝0)＝72420＝635；由第(1)问得P (X ＝2)＝635；所以P (X ＝1)＝1－635－635＝2335. 从而随机变量X 的分布列为：所以，E (X )＝0×635＋1×2335＋2×635＝1.12.[文](本小题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记z ＝|x －2|＋|y －x |.求z 的所有可能的取值，并求出z 取相应值时的概率．解：z 的所有可能取值为0,1,2,3.当z ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，当z ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况，当z ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况，当z ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况， ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有9种． ∴P (z ＝0)＝19，P (z ＝1)＝49，P (z ＝2)＝29， P (z ＝3)＝29.13．[理](本小题满分12分)(2009·陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X 的概率分布如列下： (1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解：(1)由概率分布的性质有＋＋2a ＋a ＝1，解得a ＝.∴X 的概率分布列为∴E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)P (X ＝0)＝2××＝， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝＝， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝＋＝.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为.14.[文](本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件为什么(3)这种游戏规则公平吗试说明理由．解：(1)基本事件空间与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应．因为S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n ＝25. 事件A 包含的基本事件数共5个： (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次． (3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．15．[理](本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”．求：(1)不放回时，事件A 、B 的概率； (2)每次抽后放回时，A 、B 的概率．解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)， ∴P (A )＝72120＝35.第3次取到红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的13，每一次取到都是随机地等可能事件， ∴P (B )＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A 含基本事件3×2×4×4＝96种． ∴P (A )＝96216＝49.第三次抽到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}，B 4＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P (B 1)＝＝227，P (B 2)＝2×4×22164×4×2216＝427， P (B 3)＝4×2×2216＝227， P (B 4)＝2×2×2216＝127，∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＋P (B 4) ＝227＋427＋227＋127＝13.16.[文](本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率； (2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a ，第二次朝下面上的数字为纵坐标b ，求点(a ，b )落在直线x －y ＝1下方的概率．解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4}，{1,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P (A )＝34.(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B ，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P (B )＝616＝38.(3)记事件“抛掷后点(a ，b )在直线x －y ＝1的下方”为C ，要使点(a ，b )在直线x －y ＝1的下方，则需b ＜a －1，当b ＝1时，a ＝3或4；当b ＝2时，a ＝4. 则所求的概率P (C )＝316.一、选择题1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．答案：B2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22 解析：由分布列的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤1－2q ＜10≤q 2＜1＋1－2q ＋q 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜q ≤12，q ＝1±22.∴q ＝1－22.答案：C3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( ) 解析：P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316. 答案：A4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )解析：X ＝4表示取2个旧的，一个新的，∴P (X ＝4)＝C 23 ·C 19C 312＝27220.答案：C5．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为 ( ) 或13 D ．1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1， ∴c ＝13.答案：C6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为 ( )解析：由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16(3a ＋2b )24＝124，当且仅当a ＝16，b ＝14时取“等号”．答案：B 二、填空题7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝，那么n ＝________.解析：∵P (X ＝k )＝1n (k ＝1,2，…，n )，∴＝P (X ＜4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ，∴n ＝10. 答案：108．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为解析：当2球全为红球时C 23C 25＝，当2球全为白球时C 22C 25＝，当1红、1白时C 13·C 12C 25＝610＝.答案：9．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________．解析：设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，设失败的概率为p ，成功的概率为2p ，由p ＋2p ＝1，则p ＝13. 答案：13 三、解答题10．某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)签约人数X 的分布列．解：(1)至少有1人面试合格的概率为 P ＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927. (2)P (X ＝0)＝23×23×23＋23×13×23＋23×23×13＝1627. P (X ＝1)＝13×23×23＋13×23×13＋13×13×23＝827， P (X ＝2)＝23×13×13＝227. P (X ＝3)＝13×13×13＝127. 从而X 的分布列为11．(2010·南通模拟)甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是13，14.现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)．用X 表示乙的总得分，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记“3次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件A .由题意，得事件A 的概率P (A )＝13×23＝29；(2)由题意，X 的可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝13×13＋13×23×34＋23×34＝79； P (X ＝1)＝13×23×14＋23×14×34＝1372； P (X ＝2)＝23×14×14＝124. 所以，X 的分布列为：X 0 1 2 P79137212412．(2010·三亚模拟)为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：200元 300元 400元 500元老年中年青年某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点， (1)求这三人恰有两人消费额大于300元的概率； (2)求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；(3)设这三人中消费额大于300元的人数为X ，求X 的分布列．解：(1)P 1＝2×＋2×××＝；(2)消费总额为1500元的概率是：××＝消费总额为1400元的概率是：2×＋2×2×＝，消费总额为1300元的概率是：2×＋××＋××＋＋2××＝. 所以消费总额大于或等于1300元的概率是P 2＝； (3)P (X ＝0)＝××＝， P (X ＝1)＝×××2＋××＝， P (X ＝2)＝××＋×××2＝， P (X ＝3)＝××＝. 所以X 的分布列为：、。